Setelah di postingan sebelumnya penulis membahas tentang kedudukan suatu titik terhadap lingkaran disini, maka pada tulisan kali ini kembali penulis memaparkan mengenai kedudukan suatu garis terhadap lingkaran.

Misalkan terdapat garis $g$ dengan persamaan $y=mx+n$ dan lingkaran $L$ dengan persamaan $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$. Kedudukan garis $g$ terhadap lingkaran $L$ dapat ditentukan dengan cara mensubstitusi persamaan garis $g$ ke persamaan lingkaran $L$. Perhatikan berikut.
$\begin{align*} x^{2}+y^{2}+Ax+By+C&=0\\ x^{2}+(mx+n)^{2}+Ax+B(mx+n)+C&=0\\ x^{2}+m^{2}x^{2}+2mnx+n^{2}+Ax+Bmx+Bn+C&=0\\ (1+m^{2})x^{2}+(2mn+A+Bm)x+(n^{2}+Bn+C)&=0 \end{align*}$ 

Persamaan terakhir dari uraian di atas merupakan persamaan kuadrat dalam variabel $x$. Kita tahu bahwa pada persamaan kuadarat:
$(a)$ Jika $D>0$ maka persamaan kuadarat memiliki dua akar real berlainan.
$(b)$ Jika $D=0$ maka persamaan kuadarat memiliki akar kembar.
$(c)$ Jika $D<0$ maka persamaan kuadarat tidak memiliki akar real (tidak punya penyelesaian)

Berdasarkan fakta ini, maka dapat dibuat kesimpulan sebagai berikut.
Kedudukan garis $g:y=mx+n$ terhadap lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ yaitu:
  • Jika $D>0$ maka garis memotong lingkaran di dua titik berlainan;
  • Jika $D=0$ maka garis memotong lingkaran di satu titik (menyinggung);
  • Jika $D<0$ maka garis tidak memotong lingkaran.
Dengan $D$ adalah diskriminan persamaan kuadarat hasil substitusi garis $g$ ke lingkaran $L$, dimana $D=b^{2}-4ac$.
Ada pun kedudukan garis terhadap lingkaran seperti pada gambar berikut
gb. kedudukan garis terhadap lingkaran
 Perhatikanlah beberapa contoh soal di bawah ini.
Nomor 1
$a$. Tentukan kedudukan garis $3x+y-3=0$ terhada lingkaran $x^{2}+y^{2}=9$
$b$. Tentukan kedudukan garis $2x+y=5$ terhada lingkaran $x^{2}+y^{2}=5$

Solusi bagian $(a)$
Persamaan garis $3x+y-3=0$ ekuivalen dengan $y=3-3x$,kemudian disubstitusi ke persamaan lingkaran sebagai berikut.
$\begin{align*} x^{2}+y^{2}&=9\\ x^{2}+(3-3x)^{2}&=9\\ x^{2}+9-18x+9x^{2}&=9\\ 10x^{2}-18x=0 \end{align*}$
Dari persamaan kuadrat $10x^{2}-18x+9=0$ diperoleh $a=10$, $b=-18$, dan $c=0$, sehingga:
$\begin{align*} D&=b^{2}-4ac\\ D&=(-18)^{2}-4(10)(0)\\ D&=324-0\\ D&=324 \end{align*}$
Oleh karena $D>0$ $(324>0)$ maka garis $3x+y-3=0$ memotong lingkaran $x^{2}+y^{2}=9$ di dua titik berlainan.

Solusi bagian $(b)$
Persamaan garis $2x+y=5$ ekuivalen dengan $y=5-2x$. Persamaan garis $y=5-2x$ kita substitusi ke persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}=5$, sebagai berikut.
$\begin{align*} x^{2}+y^{2}&=5\\ x^{2}+(5-2x)^{2}&=5\\ x^{2}+25-20x+4x^{2}&=5\\ 5x^{2}-20x+20&=0\\ x^{2}-4x+4&=0 \end{align*}$
Dari persamaan kuadrat terakhir diperoleh $a=1$, $b=-4$, dan $c=4$,sehingga:
$\begin{align*}D&=b^{2}-4ac\\ D&=(-4)^{2}-4(1)(4)\\ D&=0 \end{align*}$
Karena $D=0$ maka garis $2x+y=5$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}=5$.
Nomor 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
$\begin{align*} \left\{\begin{matrix} 3x-y-16 =0& \\ x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0& \end{matrix}\right. \end{align*}$

Jawab
Sistem persamaan tersebut terdiri dari persamaan garis dan persamaan lingkaran. Himpunan penyelesaiannya adalah titik potong garis dengan lingkaran.
$3x-y-16=0\rightarrow y=3x-16$
$\begin{align*}x^{2}+y^{2}-6x+4y-12&=0\\x^{2}+(3x-16)^{2}-6x+4(3x-16)-12&=0\\10x^{2}-90x+180&=0\\x^{2}-9x+18&=0\\(x-3)(x-6)&=0\\x=3\;\;\;atau\;\;x&=6\end{align*}$

$\begin{align*}x=3&\rightarrow y=3(3)-16=-7\\x=6&\rightarrow y=3(6)-16=2\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya $(3,-7)$ dan $(6,2)$.
Nomor 3
Tentukan nilai $p$ agar garis $y=x+9$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}+8x-10y+21-p=0$.

Jawab
Susbtitusi  $y=x+9$ ke persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}+8x-10y+21-p=0$ sebagai berikut.
$\begin{align*}x^{2}+y^{2}+8x-10y+21-p&=0\\x^{2}+(x+9)^{2}+8x-10(x+9)+21-p&=0\\2x^{2}+16x+12-p&=0\end{align*}$

Agar garis menyinggung lingkaran maka $D=0$.
$\begin{align*} D&=0\\ b^{2}-4ac&=0\\ 16^{2}-4(2)(12-p)&=0\\ 256-8(12-p)&=0\\ -8(12-p)&=-256\\ 12-p&=32\\ p&=-20 \end{align*}$
Jadi,nilai $p=-20$.
Nomor 4
Buktikan bahwa garis $y=2x+1$ memotong lingkaran $x^{2}+y^{2}+4x+6y+8=0$ di dua titik yang berbda dan tentukan pula titik potongnya.

Jawab
Substitusi $y=2x+1$ ke $x^{2}+y^{2}+4x+6y+8=0$ sebagai berikut.
$\begin{align*} x^{2}+y^{2}+4x+6y+8&=0\\ x^{2}+(2x+1)^{2}+4x+6(2x+1)+8&=0\\ x^{2}+4x^{2}+4x+1+4x+12x+6+8&=0\\ 5x^{2}+20x+15&=0\\ x^{2}+4x+3&=0 \end{align*}$

Akan ditunjukkan garis memotong lingkaran di dua titik,maka $D>0$.
$\begin{align*} D&>0\\ b^{2}-4ac&>0\\ 4^{2}-4(1)(3)&>0\\ 4&>0\;\;\;\;\;\;\;\;....(\textrm{terbukti}) \end{align*}$

Titik potong garis dan lingkaran
$\begin{align*} x^{2}+4x+3&=0\\ (x+1)(x+3)&=0\\ x=-1\;\;\;\textrm{atau}\;\;\;x&=-3\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \;\;\textrm{Untuk}\;\;x=-1\rightarrow y=2(-1)+1&=-1\\ \bullet \;\;\textrm{Untuk}\;\;x=-3\rightarrow y=2(-3)+1&=-5 \end{align*}$
Jadi, titik potong garis dan lingkaran adalah $(-1,-1)$ dan $(-3,-5)$.
Demikian tulisan ini diberikan, dan apabila ditemukan kesalahan baik itu uraian,jawaban maupun kekeliruan dalam penulisan, mohon segera dikomentari pada kolom komentar di bawah.
Semoga bermanfaat.
Salam Matematika.

4 Komentar

  1. Terima kasih, sangat bermanfaat. Dan salam kenal, saya pengelola blog https://m-murjani.blogspot.com , jk berkenan, bsa berkunjung ke blog saya sewaktu2😊

    BalasHapus
  2. mas yan.. ijin download soal2 UN nya ya.. :) thank u very much

    BalasHapus
  3. Anonim11/2/21

    Thanks, membantu banget

    BalasHapus

Posting Komentar

Lebih baru Lebih lama