Persamaan Garis Singgung Lingkaran (PGSL)

Kita telah mengetahui bahwa ada tiga kemungkinan kedudukan suatu garis terhadap lingkaran,yaitu memotong lingkaran di dua titik berlainan, memotong lingkaran di satu titik (menyinggung), dan tidak memotong lingkaran. Garis yang menyinggung lingkaran inilah yang dinamakan dengan Garis Singgung Lingkaran.

1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik pada Lingkaran
Perhatikan gambar berikut!

Lingkaran berpusat di $P(a,b)$ dan berjari-jari $r$. Garis $g$ disebut garis singgung lingkaran di titik $A(x_{1},y_{1})$ dan $AP$ tegak lurus $g$. Persamaan garis singgung lingkaran di titik $A(x_{1},y_{1})$ diperlihatkan pada tabel berikut.

2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu

Perhatikan gambar berikut.

Lingkaran berpusat di $(a,b)$ berjari-jari $r$. $g$ adalah garis singgung lingkaran dengan gradien $m$. Persamaan garis singgung lingkaran dengan titik pusat $(a,b)$ dan bergradien $m$ diperlihat pada tabel berikut.

3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui suatu Titik di Luar Lingkaran

Melalui suatu titik di luar lingkaran dapat dibuat dua buah garis singgung lingkaran.

Persamaan umum garis singgung lingkaran melalui sebuah titik $C(x_{1},y_{1})$ yang terletak di luar lingkaran adalah :

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$

Dimana $m$ adalah gradien garis singgung dan dapat ditentukan dengan cara berikut.

• substitusi persamaan $y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh suatu persamaan kuadrat.
• dari persamaan kuadrat pada point pertama, dengan mengambil nilai $D=0$ maka akan diperoleh nilai $m$.

Berikut beberapa contoh soal terkait Persamaan Garis Singgung Lingkaran.

Contoh 1
Tentukan persamaan garis singgung lingkatan $x^{2}+y^{2}=13$ di titik $A(2,-3)$.

Jawab
Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ ditentukan oleh rumus:

$x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$

Substitusi titik $A(2,-3)$ ke rumus diperoleh:

$\begin{align*}x_{1}x+y_{1}y&=r^{2}\\2x+(-3)y&=13\\2x-3y&=13\end{align*}$

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah $2x-3y=13$.

Contoh 2
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=20$ di titik $(4,-5)$.

Jawab

Persamaan garis singgung lingkaran $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ di titik $(x_{1},y_{1})$ ditentukan oleh rumus:

$(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}$

Substitusi titik $(4,-5)$ ke rumus tersebut,maka diperoleh:
$\begin{align*}(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)&=r^{2}\\(4-2)(x-1)+(-5-1)(y+1)&=20\\2(x-1)-6(y+1)&=20\\2x-2-6y-6&=20\\2x-6y-28&=0\end{align*}$
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah $2x-6y-28=0$.

Contoh 3
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+4x-6y-27=0$ di titik $(4,1)$.

Jawab
Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+B+C=0$ di titik $(x_{1},y_{1})$ ditentukan oleh rumus:

$x_{1}x+y_{1}y+\frac{A}{2}(x+x_{1})+\frac{B}{2}(y+y_{1})+C=0$

Substitusi titik $(4,1)$ ke rumus tersebut maka diperoleh:
$\begin{align*} x_{1}x+y_{1}y+\frac{A}{2}(x+x_{1})+\frac{B}{2}(y+y_{1})+C&=0\\4x+y+\frac{4}{2}(x+4)+\frac{-6}{2}(y+1)-27&=0\\4x+y+2x+8-3y-3-27&=0\\6x-2y-22&=0 \end{align*}$
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah $\begin{align*} 6x-2y-22&=0 \end{align*}$ .

Contoh 4
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}=9$ dengan gradien $2$.

Baca Juga

Jawab
Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ dan bergradien $m$ ditentukan oleh rumus berikut:

$\begin{align*} y&=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}} \end{align*}$

Dari soal tersebut, kita peroleh $m=2$, dan $r=3$, kemudian disubstitusi ke rumus sehingga diperoleh:

$\begin{align*} y&=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}\\ y&=2x\pm 3\sqrt{1+2^{2}}\\ y&=2x\pm 3\sqrt{5} \end{align*}$ 

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran tersebut ada dua, yaitu $\begin{align*} y&=2x+\sqrt{5}\;\textrm{dan}\;y=2x-3\sqrt{5} \end{align*}$

Contoh 5

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0$ yang sejajar dengan dengan garis $5x-12y+15=0$ adalah ....

A. $5x-12y+10=0$

B. $5x-12y-10=0$

C. $5x+12y-10=0$

D. $5x+12y+10=0$

E. $5x-12y+68=0$

Jawab

Misalkan gradien garis $5x-12y+15=0$ adalah $m_{2}$ dan gradien garis singgung lingkaran adalah $m_{2}$. Oleh karena sejajar maka:

$m_{2}=m_{1}$

Kita tahu bahwa, gradien garis $ax+by+c=0$ adalah $m=-\frac{a}{b}$, sehingga:

$\begin{align*} 5x-12y+15=0\Rightarrow m_{1}&=-\frac{a}{b}\\ m_{1}&=-\frac{5}{-12}\\ m_{1}&=\frac{5}{2} \end{align*}$

Sehingga gradien garis singgung lingkaran adalah:

$\begin{align*} m_{2}=m_{1}\Rightarrow m_{2}=\frac{5}{12} \end{align*}$  

Pusat Lingkaran

$\begin{align*} P(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2})&=(-\frac{2}{-2},-\frac{4}{2})\\&=(1,-2)\\ \end{align*}$

Jari-Jari Lingkaran

$\begin{align*} r&=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\\ r&=\sqrt{\frac{(-2)^{2}}{4}+\frac{4^{2}}{4}-(-4)}\\ r&=\sqrt{1+4+4}\\ r&=9 \end{align*}$

Selanjutnya menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang bergradien $\begin{align*} m=\frac{5}{12} \end{align*}$ sebagai berikut.

$\begin{align*} y-b&=m(x-a)\pm r\sqrt{1+m^{2}}\\ y-(-2)&=\frac{5}{12}(x-1)\pm 3\sqrt{1+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}}\\ y+2&=\frac{5}{12}x-\frac{5}{12}\pm3\sqrt{\frac{169}{144}}\\ y+2&=\frac{5}{12}x-\frac{5}{12}\pm3\left(\frac{13}{12} \right )\\ y+2&=\frac{5}{12}x-\frac{5}{12}\pm\frac{39}{12} \end{align*}$ 

Ada dua PGS yang mungkin yaitu;

PGS I

$\begin{align*} y+2&=\frac{5}{12}x-\frac{5}{12}+\frac{39}{12}\\ y+2&=\frac{5}{12}x+\frac{34}{12}\\ 12y+24&=5x+34\\ 5x-12y+10&=0 \end{align*}$ 

PGS II

$\begin{align*} y+2&=\frac{5}{12}x-\frac{5}{12}-\frac{39}{12}\\ y+2&=\frac{5}{12}x-\frac{44}{12}\\ 12y+24&=5x-44\\ 5x-12y-68&=0 \end{align*}$ 

Jadi, jawaban yang tepat adalah opsi A

Contoh 6
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-10x+4y+19=0$ yang sejajar dengan garis $2y+6x-5=0$.

Jawab
Misalkan gradien garis $2y+6x-5=0$ adalah $m_{1}$ dan gradien garis singgung lingkaram $m_{2}$.

$\begin{align*}m_{1}=-\frac{6}{2}=-3\end{align*}$

Garis singgung lingkaran sejajar dengan garis $2y+6x-5=0$, maka $m_{2}=m_{1}=-3$.
Titik pusat lingkaran
$\begin{align*}P&=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\right)\\&=\left(-\frac{1}{2}(-10),-\frac{1}{2}(4)\right)\\&=(5,-2)\end{align*}$

Jari-jari lingkaran
$\begin{align*}r&=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\\r&=\sqrt{\frac{(-10)^{2}}{4}+\frac{(4)^{2}}{4}-19}\\r&=\sqrt{25+4-19}\\r&=\sqrt{10}\end{align*}$

Persamaan garis singgung
$\begin{align*}y-b&=m(x-a)±r\sqrt{m^{2}+1}\\y+2&=-3(x-5)±\sqrt{10}\sqrt{(-3)^{2}+1}\\y+2&=-3x+15±\sqrt{10}\sqrt{10}\\y+2&=-3x+15±10\end{align*}$

PGS I
$\begin{align*}y +2&=-3x+15+10\\y+3x-23&=0\end{align*}$
PGS II
$\begin{align*}y+2&=-3x+15-10\\y+3x-3&=0\end{align*}$
Jadi persamaan garis singgung lingkaran yang dimaksud adalah $y+3x-23=0$ dan $y+3x-3=0$.

Contoh 7
Tunjukkan bahwa garis lurus $7y-x=5$ menyinggung lingkaran $L≡x^{2}+y^{2}-5x+5y=0$ dan carilah koordinat titik singgungnya.

Jawab.
Substitusi $\begin{align*}7y-x=5⇔y=\frac{x+5}{7}\end{align*}$ ke persamaan lingkaran.
$\begin{align*}x^{2}+y^{2}-5x+5y&=0\\x^{2}+\left(\frac{x+5}{7}\right)^{2}-5x+5\left(\frac{x+5}{7}\right)&=0\\x^{2}+\frac{x^{2}+10x+25}{49}-5x+\frac{5x+25}{7}&=0\\49x^{2}+x^{2}+10x+25-245x+35x+175&=0\\50x^{2}-200x+200&=0\\x^{2}-4x+4&=0\end{align*}$

Nilai diskriminan persamaan kuadrat $x^{2}-4x+4=0$ sebagai berikut:

$\begin{align*}D&=b^{2}-4ac\\&=(-4)^{2}-4(1)(4)\\&=16-16\\&=0\end{align*}$

Oleh karena $D=0$ maka benar bahwa $7y-x=5$ menyinggung lingkaran $L≡x^{2}+y^{2}-5x+5y=0$.

Persamaan kuadrat $x^{2}-4x+4=0$ mempunyai penyelesaian $x=2$. Substitusi $x=2$ ke $7y-x=5$ diperoleh nilai $y=1$. Dengan demikian, koordinat titik singgung garis $7y-x=5$ dan lingkaran $L≡x^{2}+y^{2}-5x+5y=0$ adalah $(2,1)$. Tampilan geometrisnya sebagai berikut.

Semoga bermanfaat.
Salam Matematika...