Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Setelah di postingan sebelumnya penulis membahas tentang kedudukan suatu titik terhadap lingkaran disini, maka pada tulisan kali ini kembali penulis memaparkan mengenai kedudukan suatu garis terhadap lingkaran.

Misalkan terdapat garis $g$ dengan persamaan $y=mx+n$ dan lingkaran $L$ dengan persamaan $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$. Kedudukan garis $g$ terhadap lingkaran $L$ dapat ditentukan dengan cara mensubstitusi persamaan garis $g$ ke persamaan lingkaran $L$. Perhatikan berikut.
$\begin{align*} x^{2}+y^{2}+Ax+By+C&=0\\ x^{2}+(mx+n)^{2}+Ax+B(mx+n)+C&=0\\ x^{2}+m^{2}x^{2}+2mnx+n^{2}+Ax+Bmx+Bn+C&=0\\ (1+m^{2})x^{2}+(2mn+A+Bm)x+(n^{2}+Bn+C)&=0 \end{align*}$ 

Persamaan terakhir dari uraian di atas merupakan persamaan kuadrat dalam variabel $x$. Kita tahu bahwa pada persamaan kuadarat:

$(a)$ Jika $D>0$ maka persamaan kuadarat memiliki dua akar real berlainan.

$(b)$ Jika $D=0$ maka persamaan kuadarat memiliki akar kembar.

$(c)$ Jika $D<0$ maka persamaan kuadarat tidak memiliki akar real (tidak punya penyelesaian)

Berdasarkan fakta ini, maka dapat dibuat kesimpulan sebagai berikut.

Kedudukan garis $g:y=mx+n$ terhadap lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ yaitu:

• Jika $D>0$ maka garis memotong lingkaran di dua titik berlainan;
• Jika $D=0$ maka garis memotong lingkaran di satu titik (menyinggung);
• Jika $D<0$ maka garis tidak memotong lingkaran.

Dengan $D$ adalah diskriminan persamaan kuadarat hasil substitusi garis $g$ ke lingkaran $L$, dimana $D=b^{2}-4ac$.

Ada pun kedudukan garis terhadap lingkaran seperti pada gambar berikut

gb. kedudukan garis terhadap lingkaran

 Perhatikanlah beberapa contoh soal di bawah ini.

Nomor 1

$a$. Tentukan kedudukan garis $3x+y-3=0$ terhada lingkaran $x^{2}+y^{2}=9$

$b$. Tentukan kedudukan garis $2x+y=5$ terhada lingkaran $x^{2}+y^{2}=5$

Baca Juga

Solusi bagian $(a)$

Persamaan garis $3x+y-3=0$ ekuivalen dengan $y=3-3x$,kemudian disubstitusi ke persamaan lingkaran sebagai berikut.

$\begin{align*} x^{2}+y^{2}&=9\\ x^{2}+(3-3x)^{2}&=9\\ x^{2}+9-18x+9x^{2}&=9\\ 10x^{2}-18x=0 \end{align*}$

Dari persamaan kuadrat $10x^{2}-18x+9=0$ diperoleh $a=10$, $b=-18$, dan $c=0$, sehingga:

$\begin{align*} D&=b^{2}-4ac\\ D&=(-18)^{2}-4(10)(0)\\ D&=324-0\\ D&=324 \end{align*}$

Oleh karena $D>0$ $(324>0)$ maka garis $3x+y-3=0$ memotong lingkaran $x^{2}+y^{2}=9$ di dua titik berlainan.

Solusi bagian $(b)$

Persamaan garis $2x+y=5$ ekuivalen dengan $y=5-2x$. Persamaan garis $y=5-2x$ kita substitusi ke persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}=5$, sebagai berikut.

$\begin{align*} x^{2}+y^{2}&=5\\ x^{2}+(5-2x)^{2}&=5\\ x^{2}+25-20x+4x^{2}&=5\\ 5x^{2}-20x+20&=0\\ x^{2}-4x+4&=0 \end{align*}$

Dari persamaan kuadrat terakhir diperoleh $a=1$, $b=-4$, dan $c=4$,sehingga:
$\begin{align*}D&=b^{2}-4ac\\ D&=(-4)^{2}-4(1)(4)\\ D&=0 \end{align*}$
Karena $D=0$ maka garis $2x+y=5$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}=5$.

Nomor 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari:
$\begin{align*} \left\{\begin{matrix} 3x-y-16 =0& \\ x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0& \end{matrix}\right. \end{align*}$

Jawab
Sistem persamaan tersebut terdiri dari persamaan garis dan persamaan lingkaran. Himpunan penyelesaiannya adalah titik potong garis dengan lingkaran.
$3x-y-16=0\rightarrow y=3x-16$
$\begin{align*}x^{2}+y^{2}-6x+4y-12&=0\\x^{2}+(3x-16)^{2}-6x+4(3x-16)-12&=0\\10x^{2}-90x+180&=0\\x^{2}-9x+18&=0\\(x-3)(x-6)&=0\\x=3\;\;\;atau\;\;x&=6\end{align*}$

$\begin{align*}x=3&\rightarrow y=3(3)-16=-7\\x=6&\rightarrow y=3(6)-16=2\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya $(3,-7)$ dan $(6,2)$.

Nomor 3

Tentukan nilai $p$ agar garis $y=x+9$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}+8x-10y+21-p=0$.

Jawab
Susbtitusi  $y=x+9$ ke persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}+8x-10y+21-p=0$ sebagai berikut.
$\begin{align*}x^{2}+y^{2}+8x-10y+21-p&=0\\x^{2}+(x+9)^{2}+8x-10(x+9)+21-p&=0\\2x^{2}+16x+12-p&=0\end{align*}$

Agar garis menyinggung lingkaran maka $D=0$.
$\begin{align*} D&=0\\ b^{2}-4ac&=0\\ 16^{2}-4(2)(12-p)&=0\\ 256-8(12-p)&=0\\ -8(12-p)&=-256\\ 12-p&=32\\ p&=-20 \end{align*}$
Jadi,nilai $p=-20$.

Nomor 4

Buktikan bahwa garis $y=2x+1$ memotong lingkaran $x^{2}+y^{2}+4x+6y+8=0$ di dua titik yang berbda dan tentukan pula titik potongnya.

Jawab
Substitusi $y=2x+1$ ke $x^{2}+y^{2}+4x+6y+8=0$ sebagai berikut.
$\begin{align*} x^{2}+y^{2}+4x+6y+8&=0\\ x^{2}+(2x+1)^{2}+4x+6(2x+1)+8&=0\\ x^{2}+4x^{2}+4x+1+4x+12x+6+8&=0\\ 5x^{2}+20x+15&=0\\ x^{2}+4x+3&=0 \end{align*}$

Akan ditunjukkan garis memotong lingkaran di dua titik,maka $D>0$.
$\begin{align*} D&>0\\ b^{2}-4ac&>0\\ 4^{2}-4(1)(3)&>0\\ 4&>0\;\;\;\;\;\;\;\;....(\textrm{terbukti}) \end{align*}$

Titik potong garis dan lingkaran
$\begin{align*} x^{2}+4x+3&=0\\ (x+1)(x+3)&=0\\ x=-1\;\;\;\textrm{atau}\;\;\;x&=-3\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \bullet \;\;\textrm{Untuk}\;\;x=-1\rightarrow y=2(-1)+1&=-1\\ \bullet \;\;\textrm{Untuk}\;\;x=-3\rightarrow y=2(-3)+1&=-5 \end{align*}$
Jadi, titik potong garis dan lingkaran adalah $(-1,-1)$ dan $(-3,-5)$.

Demikian tulisan ini diberikan, dan apabila ditemukan kesalahan baik itu uraian,jawaban maupun kekeliruan dalam penulisan, mohon segera dikomentari pada kolom komentar di bawah.

Semoga bermanfaat.

Salam Matematika.