Kesamaan Pada Suku Banyak

Misalkan terdapat dua suku banyak yaitu suku banyak $f(x)$ dan $g(x)$. Suku banyak $f(x)$ dan $g(x)$ dikatakan sama jika kedua suku banyak tersebut mempunyai nilai yang sama untuk variabel $x$ pada bilangan real. Kesamaan dua suku banyak $f(x)$ dan $g(x)$ ditulis $\begin{align*} f(x)\equiv g(x) \end{align*}$ .

Perhatiakan dua suku banyak $f(x)$ dan $g(x)$ dalam bentuk umum sebagai berikut.

$\begin{align*} f(x)&=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{1}x+a_{0}\\ g(x)&=b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+...+b_{1}x+b_{0}\\ \end{align*}$

Jika $f(x)$ dan $g(x)$ mempunyai nilai yang sama untuk $(n+1)$ nilai $x$ yang berbeda, maka berlaku hubungan:

$\begin{align*} a_{n}=b_{n},\;a_{n-1}=b_{n-1},...\;a_{1}=b_{1},\;a_{0}=b_{0} \end{align*}$

Kesamaan suku banyak di atas dapat digunakan untuk mengetahui koefisien-koefisien tak tentu suatu bentuk aljabar, yaitu koefisien yang belum diketahui nilainya. Supaya lebih jelas, perhatikanlah beberapa contoh soal berikut.

Soal 1

Tentukan nilai $a$ dari kesamaan $x^{2}-3x + 14≡(x - 1)(x - 2) + 3a$

Pembahasan
$\begin{align*}x^{2}-3x+14&≡(x-1)(x-2)+3a\\&≡x^{2}-3x+2+3a\\&≡x^{2}-3x+(2+3a)\end{align*}$
Perhatikan, $(2+3a)$ adalah konstanta suku banyak di ruas kanan dan konstanta di ruas kiri adalah  $14$,maka dengan ketentuaan kesamaan nilai $a$ ditentukan sebagai betikut.
$\begin{align*}14&=2+3a\\3a&=12\\a&=4\end{align*}$

Soal 2

Tentukan nilai $p$ dan $q$ dari kesamaan suku banyak berikut.

$\begin{align*} \frac{p}{(x-1)}+\frac{q}{(x+2)}=\frac{2x}{(x-1)(x+2)} \end{align*}$

Pembahasan
Yang diminta adalah nilai $p$ dan $q$ yang mana keduanya ada di ruas kiri. Perhatikan kesamaan ini,yaitu kesamaan suku banyak dalam bentuk pecahan. Perlu diingat aturan operasi penjumlahan pada pecahan, yaitu: $\begin{align*} \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd} \end{align*}$ .
Dengan demikian:
$\begin{align*} \frac{p}{(x+3)}+\frac{q}{(x-2)}&=\frac{2x}{(x+3)(x-2)}\\\frac{p(x-2)+q(x+3)}{(x-1)(x+2)}&=\frac{2x}{(x+3)(x-2)}\\ p(x-2)+q(x+3)&=2x\\ px-2p+qx+3q&=2x\\ px+qx-2p+3p&=2x\\ (p+q)x-2p+3q&=2x \end{align*}$

Berdasarkan ketentuan dua suku banyak, maka diperoleh:

$\begin{align*} p+q&=2\;\;\;\;\;\;\;...(1)\\ -2p+3q&=0\;\;\;\;\;\;\;...(2) \end{align*}$ 

Substitusi persamaan $(1)$ ke persamaan $(2) 
$\begin{align*} p+q &=2\Rightarrow q=2-p \end{align*}$  

Baca Juga

$\begin{align*} -2p+3q=0&\Leftrightarrow -2p+3(2-p)=0\\ &\Leftrightarrow -2p+6-3p=0\\ &\Leftrightarrow -5p=-6\\ &\Leftrightarrow p=\frac{6}{5}\\ p+q=2&\Leftrightarrow \frac{6}{5}+q=2\\ &\Leftrightarrow q=-\frac{4}{5} \end{align*}$
Jadi, nilai $\begin{align*} p=\frac{6}{5} \end{align*}$  dan $\begin{align*} q=-\frac{4}{5} \end{align*}$  

Soal 1

Tentukan nilai $a,b$, dan $c$ dari kesamaan:

$x^{2}-2x+7=(x+3)(ax+b)+c$

Pembahasan
$\begin{align*} x^{2}-2x+7&=(x+3)(ax+b)+c\\ &=ax^{2}+3ax+bx+3b+c\\ &=ax^{2}+(3a+b)x+3b+c \end{align*}$

Dari kesamaan suku banyak diperoleh:

$\begin{align*} a&=1\\ 3a+b&=-2\\ 3b+c&=7 \end{align*}$ 

$\begin{align*} a=1\Rightarrow 3a+b&=-2\\ 3(1)+b&=-2\\ b&=-5\\ b=-5\Rightarrow 3b+c&=7\\ 3(-5)+c&=7\\ -15+c&=7\\ c&=22 \end{align*}$

Jadi, nilai $a,b$ dan $c$ berturut-turut adalah $1,\;5$ dan 22.

Soal 4

Jika $\begin{align*} \frac{4x^{2}+3x+1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\equiv \frac{a}{x-1}+\frac{bx+c}{x^{2}+x+1} \end{align*}$, tentukan nilai $a+b+c$.

Pembahasan
$\begin{align*} \textrm{Kiri}&=\frac{a}{x-1}+\frac{bx+c}{x^{2}+x+1}\\ &=\frac{a(x^{2}+x+1)+(bx+c)(x-1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\\ &=\frac{(ax^{2}+ax+a)+(bx^{2}-bx+cx-c)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\\ &=\frac{ax^{2}+bx^{2}+ax-bx+cx+a-c}{(x-1)(x^{2}+x+1)}\\ &=\frac{(a+b)x^{2}+(a-b+c)x+a-c}{(x-1)(x^{2}+x+1)} \end{align*}$

$\begin{align*} \textrm{Kanan}&\equiv \textrm{Kiri}\\ \frac{4x^{2}+3x+1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}&\equiv \frac{(a+b)x^{2}+(a-b+c)x+a-c}{(x-1)(x^{2}+x+1)} \end{align*}$ 

Dari kententuan pada suku banyak, diperoleh:

$\begin{align*} a+b&=4\;\;\;\;\;...(1)\\ a-b+c&=3\;\;\;\;\;...(2)\\ a-c&=1\;\;\;\;\;...(3) \end{align*}$ 

Jumlahkan ketiga persamaan:

$\begin{align*} 3a=8&\Rightarrow a=\frac{8}{3}\\ a-c=1&\Rightarrow \frac{8}{3}-c=1\\ &\Rightarrow c=\frac{5}{3}\\ a+b=4&\Rightarrow \frac{8}{3}+b=4\\ b&\Rightarrow b=\frac{4}{3} \end{align*}$

Jadi, $\begin{align*} a+b+c=\frac{8}{3}+\frac{4}{3}+\frac{5}{3}=\frac{17}{3} \end{align*}$

Demikianlah ulasan materi serta contoh soal tentang kesamaan pada suku banyak. Apabila dalam tulisan ini ditemukan kesalahan atau pun kekeliruan dalam penulisan, kritik, saaran serta masukan dari para pembaca sangat diharapkan. Silakan ditulis pada kolom komentar.

Terimas kasih.