Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/fonts/TeX/fontdata.js

Setelah di postingan sebelumnya penulis membahas tentang kedudukan suatu titik terhadap lingkaran disini, maka pada tulisan kali ini kembali penulis memaparkan mengenai kedudukan suatu garis terhadap lingkaran.

Misalkan terdapat garis g dengan persamaan y=mx+n dan lingkaran L dengan persamaan x2+y2+Ax+By+C=0. Kedudukan garis g terhadap lingkaran L dapat ditentukan dengan cara mensubstitusi persamaan garis g ke persamaan lingkaran L. Perhatikan berikut.
x2+y2+Ax+By+C=0x2+(mx+n)2+Ax+B(mx+n)+C=0x2+m2x2+2mnx+n2+Ax+Bmx+Bn+C=0(1+m2)x2+(2mn+A+Bm)x+(n2+Bn+C)=0 

Persamaan terakhir dari uraian di atas merupakan persamaan kuadrat dalam variabel x. Kita tahu bahwa pada persamaan kuadarat:
(a) Jika D>0 maka persamaan kuadarat memiliki dua akar real berlainan.
(b) Jika D=0 maka persamaan kuadarat memiliki akar kembar.
(c) Jika D<0 maka persamaan kuadarat tidak memiliki akar real (tidak punya penyelesaian)

Berdasarkan fakta ini, maka dapat dibuat kesimpulan sebagai berikut.
Kedudukan garis g:y=mx+n terhadap lingkaran L:x2+y2+Ax+By+C=0 yaitu:
  • Jika D>0 maka garis memotong lingkaran di dua titik berlainan;
  • Jika D=0 maka garis memotong lingkaran di satu titik (menyinggung);
  • Jika D<0 maka garis tidak memotong lingkaran.
Dengan D adalah diskriminan persamaan kuadarat hasil substitusi garis g ke lingkaran L, dimana D=b24ac.
Ada pun kedudukan garis terhadap lingkaran seperti pada gambar berikut
gb. kedudukan garis terhadap lingkaran
 Perhatikanlah beberapa contoh soal di bawah ini.
Nomor 1
a. Tentukan kedudukan garis 3x+y3=0 terhada lingkaran x2+y2=9
b. Tentukan kedudukan garis 2x+y=5 terhada lingkaran x2+y2=5
Solusi bagian (a)
Persamaan garis 3x+y3=0 ekuivalen dengan y=33x,kemudian disubstitusi ke persamaan lingkaran sebagai berikut.
x2+y2=9x2+(33x)2=9x2+918x+9x2=910x218x=0
Dari persamaan kuadrat 10x218x+9=0 diperoleh a=10, b=18, dan c=0, sehingga:
D=b24acD=(18)24(10)(0)D=3240D=324
Oleh karena D>0 (324>0) maka garis 3x+y3=0 memotong lingkaran x2+y2=9 di dua titik berlainan.

Solusi bagian (b)
Persamaan garis 2x+y=5 ekuivalen dengan y=52x. Persamaan garis y=52x kita substitusi ke persamaan lingkaran x2+y2=5, sebagai berikut.
x2+y2=5x2+(52x)2=5x2+2520x+4x2=55x220x+20=0x24x+4=0
Dari persamaan kuadrat terakhir diperoleh a=1, b=4, dan c=4,sehingga:
D=b24acD=(4)24(1)(4)D=0
Karena D=0 maka garis 2x+y=5 menyinggung lingkaran x2+y2=5.
Nomor 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
{3xy16=0x2+y26x+4y12=0

Jawab
Sistem persamaan tersebut terdiri dari persamaan garis dan persamaan lingkaran. Himpunan penyelesaiannya adalah titik potong garis dengan lingkaran.
3xy16=0y=3x16
x2+y26x+4y12=0x2+(3x16)26x+4(3x16)12=010x290x+180=0x29x+18=0(x3)(x6)=0x=3ataux=6

x=3y=3(3)16=7x=6y=3(6)16=2
Jadi, himpunan penyelesaiannya (3,7) dan (6,2).
Nomor 3
Tentukan nilai p agar garis y=x+9 menyinggung lingkaran x2+y2+8x10y+21p=0.

Jawab
Susbtitusi  y=x+9 ke persamaan lingkaran x2+y2+8x10y+21p=0 sebagai berikut.
x2+y2+8x10y+21p=0x2+(x+9)2+8x10(x+9)+21p=02x2+16x+12p=0

Agar garis menyinggung lingkaran maka D=0.
D=0b24ac=01624(2)(12p)=02568(12p)=08(12p)=25612p=32p=20
Jadi,nilai p=20.
Nomor 4
Buktikan bahwa garis y=2x+1 memotong lingkaran x2+y2+4x+6y+8=0 di dua titik yang berbda dan tentukan pula titik potongnya.

Jawab
Substitusi y=2x+1 ke x2+y2+4x+6y+8=0 sebagai berikut.
x2+y2+4x+6y+8=0x2+(2x+1)2+4x+6(2x+1)+8=0x2+4x2+4x+1+4x+12x+6+8=05x2+20x+15=0x2+4x+3=0

Akan ditunjukkan garis memotong lingkaran di dua titik,maka D>0.
D>0b24ac>0424(1)(3)>04>0....(terbukti)

Titik potong garis dan lingkaran
x2+4x+3=0(x+1)(x+3)=0x=1ataux=3
Untukx=1y=2(1)+1=1Untukx=3y=2(3)+1=5
Jadi, titik potong garis dan lingkaran adalah (1,1) dan (3,5).
Demikian tulisan ini diberikan, dan apabila ditemukan kesalahan baik itu uraian,jawaban maupun kekeliruan dalam penulisan, mohon segera dikomentari pada kolom komentar di bawah.
Semoga bermanfaat.
Salam Matematika.

4 تعليقات

  1. Terima kasih, sangat bermanfaat. Dan salam kenal, saya pengelola blog https://m-murjani.blogspot.com , jk berkenan, bsa berkunjung ke blog saya sewaktu2😊

    ردحذف
  2. mas yan.. ijin download soal2 UN nya ya.. :) thank u very much

    ردحذف
  3. غير معرف11/2/21

    Thanks, membantu banget

    ردحذف

إرسال تعليق

أحدث أقدم