Pada postingan artikel sebelumnya telah dibahas beberapa bentuk persamaan eksponen yang bisa kalian baca disini. Nah pada kesempatan kali ini akan dibahas beberapa bentuk persamaan eksponen lainnya.
Persamaan Eksponen Berbentuk $\left \{ h(x) \right \}^{f(x)}=\left \{ h(x) \right \}^{g(x)}$
Sifat
Jika $\left \{ h(x) \right \}^{f(x)}=\left \{ h(x) \right \}^{g(x)}$, maka kemungkinan penyelesaiannya adalah:
- $f(x)=g(x)$, asalkan $h(x)\neq0$ dan $h(x)\neq1$
- $h(x)=1$
- $h(x)=0$, asalkan $f(x)$ dan $g(x)$ keduanya positif
- $h(x)=-1$, asalkan $f(x)$ dan $g(x)$ keduanya ganjil atau $f(x)$ dan $g(x)$ keduanya genap.
Contoh 1
Kemungkinan $(2)$:
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $(2x-5)^{2x+1}=(2x-5)^{x-2}$
Penyelesaian
Misalkan: $h(x)=2x-5$, $f(x)=2x+1$, dan $g(x)=x-2$, maka penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
Kemungkinan $(1)$:
$\begin{align*} f(x)&=g(x)\\ 2x+1&=x-2\\ x&=-3 \end{align*}$
Substitusi $x=-3$ ke $h(x)$.
$\begin{align*} h(x)&=2x-5\\ h(-3)&=2(-3)-5\\ h(-3)&=-11\neq0\neq1 \end{align*}$
Karena untuk $x=-3$ menyebabkan $h(x)\neq0$ dan $h(x)\neq1$, maka $x=-3$ adalah penyelesaiannya.
Kemungkinan $(2)$:
$\begin{align*} h(x)&=1\\ 2x-5&=1\\ 2x&=6\\ x&=3 \end{align*}$
Kemungkinan $(3)$:
$\begin{align*}h(x)&=0\\ 2x-5&=0\\ 2x&=5\\ x&=\frac{5}{2} \end{align*}$
Kemungkinan $(3)$:
$\begin{align*}h(x)&=0\\ 2x-5&=0\\ 2x&=5\\ x&=\frac{5}{2} \end{align*}$
Untuk $\begin{align*} x&=\frac{5}{2} \end{align*}$ selanjutnya disubstitusi ke $f(x)$ dan $g(x)$.
$\begin{align*} f(x)&=2x+1\\ f\left ( \frac{5}{2} \right )&=2\left ( \frac{5}{2} \right )+1\\ f\left ( \frac{5}{2} \right )&=5+1\\ f\left ( \frac{5}{2} \right )&=6\;\;\;\;\;\;\;\;......\;\;\;\textrm{(positif)}\\ g(x)&=x-2\\ g\left ( \frac{5}{2} \right )&=\frac{5}{2}-2\\ g\left ( \frac{5}{2} \right )&=\frac{1}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;......\;\;\textrm{(positif)} \end{align*}$
Karena $f(x)$ dan $g(x)$ bernilai positif, maka $\begin{align*} x&=\frac{5}{2} \end{align*}$ adalah penyelesaiannya.
Kemungkinan $(4)$:
Kemungkinan $(4)$:
$\begin{align*} h(x)&=-1\\ 2x-5&=-1\\ 2x&=4\\ x&=2 \end{align*}$
Selanjutnya, $x=2$ disubstitusi ke $f(x)$ dan $g(x)$
$\begin{align*} f(x)&=2x+1\\ f(2)&=2(2)+1\\ f(2)&=5\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;.....\;\;\textrm{(ganjil)}\\ g(2)&=x-2\\ g(2)&=2-2\\ g(2)&=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;.....\;\;\textrm{(genap)} \end{align*}$
Selanjutnya, $x=2$ disubstitusi ke $f(x)$ dan $g(x)$
$\begin{align*} f(x)&=2x+1\\ f(2)&=2(2)+1\\ f(2)&=5\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;.....\;\;\textrm{(ganjil)}\\ g(2)&=x-2\\ g(2)&=2-2\\ g(2)&=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;.....\;\;\textrm{(genap)} \end{align*}$
Untuk $x=3$ diperoleh $f(x)$ genap dan $g(x)$ ganjil, sehingga $x=2$ bukan penyelesaiannya.Dari kemungkinan $(1),(2),(3)$, dan $(4)$ diperoleh nilai $x$ yang memenuhi yaitu $\left \{ -3,\;\frac{5}{2},\;3 \right \}$
Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\begin{align*} (x-5)^{(3x^{2}+5x-3)}&=(x-5)^{(x^{2}-x+5)} \end{align*}$
Penyelesaian
Misalkan $h(x)=x-5$, $f(x)=3x^{2}+5x-3$, dan $g(x)=x^{2}-x+5$
Kemungkinan $(1)$
$\begin{align*} f(x)&=g(x)\\ 3x^{2}+5x-3&=x^{2}-x+5\\ 2x^{2}+6x-8&=0\\ x^{2}+3x-4&=0\\ (x+4)(x-1)&=0\\ x=-4\;\;\;\;\textrm{atau}\;\;\;x&=1 \end{align*}$
Substitusi $x=-4$ dan $x=1$ ke $h(x)$
$\begin{align*} h(x)&=x-5\\ h(-4)&=-4-5\\ h(-4)&=-9\neq0\neq1\\ h(1)&=x-5\\ h(1)&=1-5\\ h(1)&=-4\neq0\neq1 \end{align*}$
Untuk $x=-4$ dan $x=1$ diperoleh $h(x)\neq0$ dan $h(x)\neq1$, maka $x=-4$ dan $x=1$ adalah penyelesaiannya.
Kemungkinan $(2)$
Kemungkinan $(3)$
Kemungkinan $(4)$
Semoga bermanfaat!Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\begin{align*} (x-5)^{(3x^{2}+5x-3)}&=(x-5)^{(x^{2}-x+5)} \end{align*}$
Penyelesaian
Misalkan $h(x)=x-5$, $f(x)=3x^{2}+5x-3$, dan $g(x)=x^{2}-x+5$
Kemungkinan $(1)$
$\begin{align*} f(x)&=g(x)\\ 3x^{2}+5x-3&=x^{2}-x+5\\ 2x^{2}+6x-8&=0\\ x^{2}+3x-4&=0\\ (x+4)(x-1)&=0\\ x=-4\;\;\;\;\textrm{atau}\;\;\;x&=1 \end{align*}$
Substitusi $x=-4$ dan $x=1$ ke $h(x)$
$\begin{align*} h(x)&=x-5\\ h(-4)&=-4-5\\ h(-4)&=-9\neq0\neq1\\ h(1)&=x-5\\ h(1)&=1-5\\ h(1)&=-4\neq0\neq1 \end{align*}$
Untuk $x=-4$ dan $x=1$ diperoleh $h(x)\neq0$ dan $h(x)\neq1$, maka $x=-4$ dan $x=1$ adalah penyelesaiannya.
Kemungkinan $(2)$
$\begin{align*} h(x)&=1\\ x-5&=1\\ x&=6 \end{align*}$
Kemungkinan $(3)$
$\begin{align*} h(x)&=0\\ x-5&=0\\ x&=5 \end{align*}$
Substitusi $x=5$ ke $f(x)$ dan $g(x)$
$\begin{align*} f(x)&=3x^{2}+5x-3\\ f(5)&=3(5)^{2}+5(5)-3\\ f(5)&=75+25-3\\ f(5)&=97\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;.....\;\textrm{(positif)}\\ g(x)&=x^{2}-x+5\\ g(5)&=5^{2}-5+5\\ g(5)&=25-5+5\\ g(5)&=25\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;.....\;\textrm{(positif)}\\ \end{align*}$
Karena untuk $x=5$, $f(x)>0$ dan $g(x)>0$, maka $x=5$ adalah penyelesaiannya.
Kemungkinan $(4)$
$\begin{align*} h(x)&=-1\\ x-5&=-1\\ x&=4 \end{align*}$
Substitusi $x=4$ ke $f(x)$ dan $g(x)$
$\begin{align*} f(x)&=3x^{2}+5x-3\\ f(4)&=3(4)^{2}+5(4)-3\\ f(4)&=48+20-3\\ f(4)&=65\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;.....\;\textrm{(ganjil)}\\ g(x)&=x^{2}-4x+3\\ g(4)&=(4)^{2}-4(4)+3\\ g(4)&=16-16+3\\ g(4)&=3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;.....\;\textrm{(ganjil)}\\ \end{align*}$
Karena untuk $x=4$ $f(x)$ dan $g(x)$ kedua-duanya ganjil, maka $x=4$ adalah penyelesaiannya.
Dari $(1),\;(2),\;(3)$, dan $(4)$, diperoleh himpunan penyelesaiannya yaitu $\left \{ -4,1,4,5,6 \right \}$
Posting Komentar