Bagian II: Persamaan Eksponen

Pada postingan artikel sebelumnya telah dibahas beberapa bentuk persamaan eksponen yang bisa kalian baca disini. Nah pada kesempatan kali ini akan dibahas beberapa bentuk persamaan eksponen lainnya. 

Persamaan Eksponen Berbentuk $\left \{ h(x) \right \}^{f(x)}=\left \{ h(x) \right \}^{g(x)}$

Sifat

 Jika $\left \{ h(x) \right \}^{f(x)}=\left \{ h(x) \right \}^{g(x)}$, maka kemungkinan penyelesaiannya adalah:

1. $f(x)=g(x)$, asalkan $h(x)\neq0$ dan $h(x)\neq1$
2. $h(x)=1$
3. $h(x)=0$, asalkan $f(x)$ dan $g(x)$ keduanya positif
4. $h(x)=-1$, asalkan $f(x)$ dan $g(x)$ keduanya ganjil atau $f(x)$ dan $g(x)$ keduanya genap.
   

Agar lebih jelas, perhatikanlah beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh 1

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $(2x-5)^{2x+1}=(2x-5)^{x-2}$

Penyelesaian

Misalkan: $h(x)=2x-5$, $f(x)=2x+1$, dan $g(x)=x-2$, maka penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

Kemungkinan $(1)$:

$\begin{align*} f(x)&=g(x)\\ 2x+1&=x-2\\ x&=-3 \end{align*}$

Substitusi $x=-3$ ke $h(x)$. 

$\begin{align*} h(x)&=2x-5\\ h(-3)&=2(-3)-5\\ h(-3)&=-11\neq0\neq1 \end{align*}$

Karena untuk $x=-3$ menyebabkan $h(x)\neq0$ dan $h(x)\neq1$, maka $x=-3$ adalah penyelesaiannya. 

Kemungkinan $(2)$:

$\begin{align*} h(x)&=1\\ 2x-5&=1\\ 2x&=6\\ x&=3 \end{align*}$

Kemungkinan $(3)$:
$\begin{align*}h(x)&=0\\ 2x-5&=0\\ 2x&=5\\ x&=\frac{5}{2} \end{align*}$ 

Untuk $\begin{align*} x&=\frac{5}{2} \end{align*}$ selanjutnya disubstitusi ke $f(x)$ dan $g(x)$.

$\begin{align*} f(x)&=2x+1\\ f\left ( \frac{5}{2} \right )&=2\left ( \frac{5}{2} \right )+1\\ f\left ( \frac{5}{2} \right )&=5+1\\ f\left ( \frac{5}{2} \right )&=6\;\;\;\;\;\;\;\;......\;\;\;\textrm{(positif)}\\ g(x)&=x-2\\ g\left ( \frac{5}{2} \right )&=\frac{5}{2}-2\\ g\left ( \frac{5}{2} \right )&=\frac{1}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;......\;\;\textrm{(positif)} \end{align*}$ 

Karena $f(x)$ dan $g(x)$ bernilai positif, maka $\begin{align*} x&=\frac{5}{2} \end{align*}$ adalah penyelesaiannya.

Baca Juga

• Bagian II: Persamaan Eksponen

Kemungkinan $(4)$:

$\begin{align*} h(x)&=-1\\ 2x-5&=-1\\ 2x&=4\\ x&=2 \end{align*}$
Selanjutnya, $x=2$ disubstitusi ke $f(x)$ dan $g(x)$
$\begin{align*} f(x)&=2x+1\\ f(2)&=2(2)+1\\ f(2)&=5\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;.....\;\;\textrm{(ganjil)}\\ g(2)&=x-2\\ g(2)&=2-2\\ g(2)&=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;.....\;\;\textrm{(genap)} \end{align*}$

Untuk $x=3$ diperoleh $f(x)$ genap dan $g(x)$ ganjil, sehingga $x=2$ bukan penyelesaiannya.Dari kemungkinan $(1),(2),(3)$, dan $(4)$ diperoleh nilai $x$ yang memenuhi yaitu $\left \{ -3,\;\frac{5}{2},\;3 \right \}$ 

Contoh 2
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\begin{align*} (x-5)^{(3x^{2}+5x-3)}&=(x-5)^{(x^{2}-x+5)} \end{align*}$ 
Penyelesaian
Misalkan $h(x)=x-5$, $f(x)=3x^{2}+5x-3$, dan $g(x)=x^{2}-x+5$
Kemungkinan $(1)$
$\begin{align*} f(x)&=g(x)\\ 3x^{2}+5x-3&=x^{2}-x+5\\ 2x^{2}+6x-8&=0\\ x^{2}+3x-4&=0\\ (x+4)(x-1)&=0\\ x=-4\;\;\;\;\textrm{atau}\;\;\;x&=1 \end{align*}$ 
Substitusi $x=-4$ dan $x=1$ ke $h(x)$
$\begin{align*} h(x)&=x-5\\ h(-4)&=-4-5\\ h(-4)&=-9\neq0\neq1\\ h(1)&=x-5\\ h(1)&=1-5\\ h(1)&=-4\neq0\neq1 \end{align*}$ 
Untuk $x=-4$ dan $x=1$ diperoleh $h(x)\neq0$ dan $h(x)\neq1$, maka $x=-4$ dan $x=1$ adalah penyelesaiannya.

Kemungkinan $(2)$

$\begin{align*} h(x)&=1\\ x-5&=1\\ x&=6 \end{align*}$ 

Kemungkinan $(3)$

$\begin{align*} h(x)&=0\\ x-5&=0\\ x&=5 \end{align*}$ 

Substitusi $x=5$ ke $f(x)$ dan $g(x)$

$\begin{align*} f(x)&=3x^{2}+5x-3\\ f(5)&=3(5)^{2}+5(5)-3\\ f(5)&=75+25-3\\ f(5)&=97\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;.....\;\textrm{(positif)}\\ g(x)&=x^{2}-x+5\\ g(5)&=5^{2}-5+5\\ g(5)&=25-5+5\\ g(5)&=25\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;.....\;\textrm{(positif)}\\ \end{align*}$

Karena untuk $x=5$, $f(x)>0$ dan $g(x)>0$, maka $x=5$ adalah penyelesaiannya.

Kemungkinan $(4)$

$\begin{align*} h(x)&=-1\\ x-5&=-1\\ x&=4 \end{align*}$ 

Substitusi $x=4$ ke $f(x)$ dan $g(x)$

$\begin{align*} f(x)&=3x^{2}+5x-3\\ f(4)&=3(4)^{2}+5(4)-3\\ f(4)&=48+20-3\\ f(4)&=65\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;.....\;\textrm{(ganjil)}\\ g(x)&=x^{2}-4x+3\\ g(4)&=(4)^{2}-4(4)+3\\ g(4)&=16-16+3\\ g(4)&=3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;.....\;\textrm{(ganjil)}\\ \end{align*}$ 

Karena untuk $x=4$ $f(x)$ dan $g(x)$ kedua-duanya ganjil, maka $x=4$ adalah penyelesaiannya.

Dari $(1),\;(2),\;(3)$, dan $(4)$, diperoleh himpunan penyelesaiannya yaitu  $\left \{ -4,1,4,5,6 \right \}$

Semoga bermanfaat!