Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js


Berikut ini adalah soal-soal materi persamaan kuadrat yang disertai dengan pembahasannya. Soal-soal ini bisa dijadikan sebagai bahan belajar dan pembelajaran di sekolah baik itu untuk siswa maupun untuk guru.

Nomor 1
Akar-akar persamaan kuadrat x2+ax−4=0 adalah x1 dan x2. Jika x21−2x1x2+x22=10a, maka nilai a= ....
A. −2 atau −8
B. −2 atau 8
C. 2 atau 8
D. −4 atau 4
E. 4 saja

Pembahasan
x21−2x1x2+x22=10ax21+x22−2x1x2=10a(x1+x2)2−4x1x2=10a(−ba)2−4(ca)=10a(−a)2−4(−4)=10aa2+16=10aa2−10a+16=0(a−2)(a−8)=0a=2ataua=8
Jadi, nilai a yaitu 2 atau 8.
Nomor 2
TO UN MGMP DKI Jakarta 2019
Batas-batas nilai m agar persamaan kuadrat x2+mx+(m+3)=0 mempunyai akar-akar real adalah ....
A. −2⩽m⩽6 
B. −6⩽m⩽2 
C. m⩽−2 atau m≥6 
D. m≤−6ataum≥2 
E. m≤2ataum≥6 

Pembahasan
Syarat persamaan kuadrat mempunyai akar-akar real adalah D≥0 .
D≥0b2−4ac≥0m2−4(1)(m+3)≥0m2−4m−12≥0(m+2)(m−6)≥0m≤−2ataum≥6 
Jadi, batas-batas nilai m adalah m⩽−2 atau m≥6 .
Nomor 3
Jika R menyatakan rasio akar-akar persamaan 3m2x2+m(m−4)x+2=0, dan R+1R=1, maka tentukan nilai m terkecil yang mungkin.

Pembahasan
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat 3m2x2+m(m−4)x+2=0 adalah α dan β, dengan R adalah rasio akar-akarnya, maka:
R=αβ
Diketahui pula R+1R=1, maka:
R+1R=1αβ+βα=1α2+β2αβ=1α2+β2=αβ(α+β)2−2αβ=αβ(α+β)2=3αβ(−m(m−4)3m2)2=3(23m2)m2−8m+169m2=2m2m2−8m+16=18m2−8m−2=0m1=4−3√2ataum2=4+3√2
Jadi, nilai m terkecil yaitu m=4−3√2.
Nomor 4
Jika salah satu akar real dari persamaan 81x2+kx+256=0 adalah pangkat 3 dari akar yang lainnya, maka nilai k yang memenuhi adalah ....
A. 144
B. 100
C. −81
D. −181
E. −300

Pembahasan
Misalkan salah satu akar real persamaan tersebut adalah p, maka akar yang lainnya adalah p3.
p+p3=−k81......(i)p.p3=25681p4=25681p=±43.....(ii)
Substitusi (ii) ke (i).
untukp=−43⇒p+p3=−k81−43+(−43)3=−k81−43−6427=−k81−3627−6427=−k81−10027=−k81k=−300
Jadi, nilai k=−300.
Nomor 5
Tentukan nlai m agar persamaan kuadrat (1+2m)x2−2(1+3m)x+4(1+m) selalu bernilai positif untuk setiap x dengan x∈R.

Pembahasan
Syarat persamaan kuadrat definit positif yaitu a>0 dan D<0.
Syarat (i)
a>01+2m>02m>−1m>−12
Syarat (ii)
D<0b2−4ac<0(−2(1+3m))2−4(1+2m)(4+4m)<04(1+6m+9m2)−4(4+12m+8m2)<0m2−6m−3<03−√12<m<3+√12
Nilai m yang memenuhi agar persamaan kuadrat tersebut definit positif adalah irisan dari (i) dan (ii), yaitu 3−√12<m<3+√12.
Nomor 6
Syarat agar akar-akar persamaan kuadrat (p−2)x2+2px+p−1=0 negatif dan berlainan adalah ....
A. p>2
B. p<0 atau p>23
C. 0<p<23
D. 23<p<1
E. 23<p<2

Pembahasan
Ada 3 syarat agar suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar negatif dan berlainan, yaitu:
(i).   D>0
(ii).  x1+x2<0
(iii). x1x2>0

Syarat (i)
D>0b2−4ac>0(2p)2−4(p−2)(p−1)>04p2−(4p2−12p+8)>012p−8>012p>8p>23
Syarat (ii)
x1+x2<0−ba<0−2pp−2<0p<0ataup>2
Syarat (iii)
x1x2>0ca>0p−1p−2>01<p<2
Jadi, nilai p yang memenuhi agar persamaan kuadrat tersebut memiliki akar-akar negatif dan berlainan adalah daerah irisan syarat (i), (ii), dan (iii), yaitu p>2.
Nomor 7
Jika p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat x2+4x+(2k+5)=0 dan logp,logpq, dan logq membentuk barisan aritmetika, maka nilai k=....
A. −2
B. −10
C. 20
D. 100
E. 1000

Pembahasan
U2−U1=U3−U2logpq−logp=logq−logpqlog(pqp)=log(qpq)pqp=qpqpq=(pq)2pq=12k+5=12k=−4k=−2
Jadi, nilai k=−2.
Nomor 8
Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat x2−5x+16=0. Sedangkan (α2+β2) dan αβ2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x2+px+q=0, maka tentukan nilai 2p−q !

Pembahasan
Perhatikan persamaan kuadrat x2−5x+16=0.
α+β=5αβ=16
Perhatikan persamaan kuadrat x2+px+q=0.
p=(α2+β2)+(αβ2)=((α+β)2−2αβ)+(αβ2)=((52−2(16))+(162)=(25−32)+18=1q=(α2+β2)(αβ2)=((α+β)2−2αβ)(αβ2)=(52−2(16))(162)=(25−32)(8)=−56
Dengan demikian, 2p−q=2(1)−56=−54.

Nomor 9
UTUL UGM 2003_MATEMATIKA IPA
Akar-akar persamaan kuadrat x2+6x+c=0 adalah x1 dan x2. Jika u dan v adalah akar-akar persamaan kuadrat x2−(x21+x22)x+4=0 dan u+v=uv, maka x31x2+x1x32=....

Pembahasan
Perhatikan x2+6x+c=0, akar-akarnyanya x1 dan x2, sehingga:
x1+x2=−6x1x2=cx21+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−6)2−2c=36−2c
Substitusi (x21+x22)=36−2c ke persamaan x2−(x21+x22)x+4=0, maka persamaan tersebut menjadi x2−(36−2c)x+4=0.
Selanjutnya diketahui bahwa u+v=uv, sehingga:
u+v=uv36−2c=4−2c=−32c=16
Diperoleh c=16, maka persamaan kuadrat x2+6x+c=0 menjadi x2+6x+16=0. Dengan demikian:
x31x2+x1x32=x1x2(x21+x22)=(16)(4)=64
Jadi, x31x2+x1x32=64.
Nomor 10
SBMPTN 2014
Diketahui m dan n akar-akar persamaan ax2+bx+c=0. Jika m+2 dan n+2 akar-akar persamaan kuadrat ax2+qx+r=0, maka q+r=....
A. c+3b
B. c−b+4a
C. c−b
D. c−b+8a
E. c+b+8a

Pembahasan
Perhatikan persamaan kuadrat ax2+bx+c=0.
m+n=−bamn=ca
Selanjutnya perhatikan persamaan kuadrat ax2+qx+r=0.
☞(m+2)+(n+2)=−qam+n+4=−qa−ba+4=−qa−b+4aa=−qa−b+4a=−qq=b−4a....(∗)
☞(m+2)+n+2)=ramn+2(m+n)+4=raca+2(−ba)+4=raca−2ba+4=ra4a−2b+ca=rar=4a−2b+c....(∗∗)
Dari (∗) dan (∗∗), diperoleh:
q+r=b−4a+4a−2b+c=c−b
Nomor 11
UM UNDIP_MATEMATIKA IPA
Persamaan kuadrat x2+(2m−1)x−2m=0 mempunyai akar-akar nyata dan berlainan. Batas-batas nilai m yang memenuhi adalah ....
A. m<−12
B. −12<m<12
C. m<12 atau m>12
D. m>12 atau m<−12
E. m<−12 atau m>−12

Pembahasan
Syarat supaya persamaan kuadrat memiliki akar-akar real dan berlainan adalah D≥0.
D≥0b2−4ac≥0(2m−1)2−4(1)(−2m)≥04m2−4m+1+8m≥04m2+4m+1≥0(2m+1)(2m+1)≥0m≤−12ataum≥−12
Jadi, batas-batas nilai m adalah m≤−12 atau m≥−12.
Nomor 12
Persamaan kuadrat x2−px−2p=0 mempunyai dua akar real α dan β. Jika α3+β3=16, maka hasil tambahan semua nilai p yang memenuhi adalah ....
A. −2−2√3
B. −2+2√3
C. 0
D. −6
E. −4

Pembahasan
Dari persamaan kuadrat tersebut, didapat:
α+β=pα.β=−2p
Selanjutnya:
α3+β3=16(α+β)3−3αβ(α+β)=16(p)3−3(−2p)(p)=0p3+6p2=16p3+6p2−16=0 
Berdasarkan sifat jumlah akar-akar pada persamaan kubik diperoleh jumlah nilai p yang memenuhi adalah −6.
Nomor 13
Diketahui α dan β adalah akar-akar dari persamaan m2(x2−x)+2mx+3=0, dimana m≠0, dan m1,m2 adalah dua nilai dari m. Jika (αβ+βα)=43, dan P=m21m2+m22m1, tentuka nilai −3P17.

Pembahasan
m2(x2−x)+2mx+3=0m2x2−m2x+2mx+3=0m2x2−(m2−2m)x+3=0
Persamaan kuadrat tersebut memiliki akar-akar α dan β.
α+β=m2−2mm2=m−2mαβ=3m2
Sementara itu:
αβ+βα=43α2+β2αβ=43(α+β)2−2αβαβ=433(α+β)2−6αβ=4αβ3(α+β)2−10αβ=03(m−2m)2−10(3m2)=03(m2−4m+4m2)−30m2=03m2−12m−18=0m2−4m−6=0
Persamaan terakhir adalah persamaan kuadrat dalam variabel m dengan akar-akarnya m1 dan m2.
m1+m2=4m1m2=−6
Selanjutnya, perhatikan bahwa:
P=m21m2+m22m1=m31+m32m1m2=(m1+m2)3−3m1m2(m1+m2)m1m2=(4)3−3(−6)(4)−6=64+72−6=136−6P=−683
Dengan demikian;
−3P17=−3(−683)17=6817=4

Jika ditemukan kesalahan pada soal maupun pada pembahasan soal, segera komentari pada kolom komentar agar segera diperbaiki. Semoga bermanfaat.

Post a Comment

Lebih baru Lebih lama