Jarak Titik dengan Titik pada Dimensi 3

Secara sederhana, jarak dua titik adalah jarak terpendek yang menghubungkan kedua titik tersebut.  Sebagai ilustrasi, untuk menentukan jarak titik $A$ dan titik $B$ pada gambar berikut, kita bisa terlebih dahulu menghitung jarak terdekat dari titik $A$ ke titik $B$.

 

Dari titik $A$ ke titik $B$ dapat dilalui dengan beberapa cara (lintasan), yaitu: 

• $A-P-Q-B$
• $A-R-B$
• $A-B$

Dari ketiga lintasan tersebut, lintasan $A-B$ merupakan jarak terpendek yang menghubungkan titik $A$ dan titik $B$.

Defenisi

Berangkat dari ilustrasi di atas, jarak dua titik dapat didefenisikan sebagai berikut.

Misalkan terdapat 2 buah titik $A$ dan $B$ sedemikian, maka jarak titik $A$ dan $B$ adalah panjang ruas garis terpendek penghubung titik $A$ dan $B$.

Terkait dengan jarak titik pada bangun ruang, erhatikan gambar kubus berikut.

• Jarak titik $A$ dan titik $G$ pada kubus $ABCD.EFGH$ tersebut sama dengan panjang garis $AG$.
• Jarak titik $E$ dan titik $A$ sama dengan panjang garis $EA$.
• Jarak titik $B$ dan titik $G$ sama dengan panjang garis $EA$.

Pada umumnya saat menentukan jarak dua buah titik, baik itu pada bangun datar maupun bangun ruang, hal pertama yang harus dilakukan adalah membuat garis-garis bantu sehingga terbentuk segitiga (akan lebih mudah jika segitiga siku-siku), sehingga jarak yang akan ditentukan akan dapat dengan mudah dicari. Pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai jarak titik dan titik pada bangun ruang (dimensi 3). Perhatikanlah beberapa contoh soal berikut.

Soal 1
Perhatikan kubus $ABCD.EFGH$ berikut.

Jika panjang rusuk kubus $8$ cm, tentukan:

a. Jarak titik $C$ dan $G$

b. Jarak titik $A$ dan $C$

c. Jarak titik $A$ dan $G$

Pembahasan
Untuk menjawab ketiga pertanyaan di atas, perhatikan gambar kubus berikut.

Baca Juga

• Jarak Dua Bidang Sejajar pada Dimensi Tiga
• Jarak Garis dengan Bidang pada DImensi 3
• Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga

a. Jarak titik $C$ ke titik $G$ sama dengan panjang garis $CG$, yaitu $8$ cm.

b. Jarak titik $A$ ke titik $C$ sama dengan panjang garis $AC$.

Untuk menentukan panjang $AC$, perhatikan segitiga siku-siku $ABC$, sehingga dengan teorema pythagoras dapat ditentukan, sebagai berikut.

$\begin{align*}AC&=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}\\AC&=\sqrt{8^{2}+8^{2}}\\AC&=\sqrt{{64+64}}\\AC&=\sqrt{128}\\AC&=8\sqrt{2} \end{align*}$ 

Jadi, jarak titik $A$ ke titik $C$ adalah $9\sqrt{2}$ cm.

c. Jarak titik titik $A$ dan $G$ sama dengan panjang garis $AG$.

Untuk menentukan panjang $AG$ perhatikan segitiga siku-siku $ACG$, sehingga dengan teorema pythagoras dapat ditentukan, sebagai berikut.

$\begin{align*}AG&=\sqrt{AC^{2}+CG^{2}}\\AG&=\sqrt{(8\sqrt{{2}})^{2}+8^{2}}\\AG&=\sqrt{{128+64}}\\AG&=\sqrt{192}\\AG&=8\sqrt{3} \end{align*}$

Jadi, jarak titik $A$ dan titik $G$ sama adalah $8\sqrt{3}$

Contoh 2
Kamar sarah berbentu balok dengan panjang $4$ m, lebar $3$ m, dan tinggi $3$ m. Sarah memasang lampu di tengah-tengah rusuk tegak salah satu pertemuan dua dinding kamarnya. Jarak sinar lampu terjauh di kamar Sarah adalah ....
A. $\begin{align*}\frac{1}{4}\sqrt{106}\end{align*}$ m
B. $\begin{align*}\frac{1}{4}\sqrt{109}\end{align*}$ m
C. $\begin{align*}\frac{1}{2}\sqrt{91}\end{align*}$ m
D. $\begin{align*}\frac{1}{2}\sqrt{106}\end{align*}$ m
E. $\begin{align*}\frac{1}{2}\sqrt{109}\end{align*}$ m

Pembahasan
Misalkan lampu yang dipasang oleh Sarah terletak pada rusuk $AE$ dan lampu tersebut dimisalkan sebagai titik $L$ seperti pada gambar berikut.

Dari gambar tampak bahwa titik terjauh pada kamar Sarah adalah titik $G$ atau titik $C$. Dengan demikian, jarak sinar lampu terjauh sama dengan panjang garis $LG$. Perhatikan segitiga siku-siku $LEG$ siku-siku di $E$.

$\begin{align*}EG&=\sqrt{4^{2}+3^{2}}\\&=\sqrt{16+9}\\&=\sqrt{25}\\&=5\end{align*}$

Titik $L$ adalah titik tengan rusuk $AE$, maka $\begin{align*}LE=\frac{3}{2}\end{align*}$. Panjang $LG$ adalah sebagai berikut.

$\begin{align*}LG&=\sqrt{EG^{2}+EL^{2}}\\LG&=\sqrt{5^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}\\LG&=\sqrt{25+\frac{9}{4}}\\LG&=\sqrt{\frac{109}{4}}\\LG&=\frac{1}{2}\sqrt{109}\end{align*}$

Jadi, jarak sinar lampu terjauh pada kamar Sarah adalah $\begin{align*}\frac{1}{2}\sqrt{109}\end{align*}$ meter.

Contoh3
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $4$ cm. Titik $M$ di tengah $AH$ dan titik $N$ terletak pada $AC$ dengan $AN:AC=1:4$. Jarak $M$ ke $N$ adalah ....
A. $\sqrt{16}$
B. $\sqrt{12}$
C. $\sqrt{10}$
D. $\sqrt{9}$
E. $\sqrt{6}$

Pembahasan

Jarak titik $M$ dan $N$ dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku $MON$. Namun sebelum itu, sisi $ON$ dan $OM$ harus dicari terlebih dahulu. Titik $O$ adalah titik tengah $AD$ maka $AO=2$ cm. $M$ adalah titik tengah $AH$ atau titik tengah bidang $ADHE$, maka $OM=2$ cm.

Selanjutnya perhatikan segitiga siku-siku $AON$. Diketahui $AN:AC=1:4$, maka $\begin{align*}AN=\frac{1}{4}AC=\sqrt{2}\end{align*}$.

$\begin{align*}ON&=\sqrt{AO^{2}-AN^{2}}\\&=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{2})^{2}}\\&=\sqrt{4-2}\\&=\sqrt{2}\end{align*}$

Jarak titik $M$ dan $N$, perhatikan segitiga siku-siku $MON$.

$\begin{align*}MN&=\sqrt{OM^{2}+ON^{2}}\\&=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{2})^{2}}\\&=\sqrt{4+2}\\&=\sqrt{6}\end{align*}$

Jadi, jarak titik $M$ dan $N$ adalah $\sqrt{6}$ cm.

Demikianlah sedikit penjelasan jarak titik dan titik pada dimensi tiga. Contoh soal akan terus diupdate. Semoga bermanfaat bagi yang memerlukan.