Persamaan Kuadrat: Soal dan Pembahasan

Berikut ini adalah soal-soal materi persamaan kuadrat yang disertai dengan pembahasannya. Soal-soal ini bisa dijadikan sebagai bahan belajar dan pembelajaran di sekolah baik itu untuk siswa maupun untuk guru.

Nomor 1

Akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+ax-4=0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$. Jika $x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}=10a$, maka nilai $a=$ ....
A. $-2$ atau $-8$
B. $-2$ atau $8$
C. $2$ atau $8$
D. $-4$ atau $4$
E. $4$ saja

Pembahasan

$\begin{align*}x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}&=10a\\x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}&=10a\\(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}&=10a\\\left(\frac{-b}{a}\right)^{2}-4\left(\frac{c}{a}\right)&=10a\\(-a)^{2}-4(-4)&=10a\\a^{2}+16&=10a\\a^{2}-10a+16&=0\\(a-2)(a-8)&=0\\a=2\;\;\;\textrm{atau}\;\;\;a&=8\end{align*}$

Jadi, nilai $a$ yaitu $2$ atau $8$.

Nomor 2

TO UN MGMP DKI Jakarta 2019

Batas-batas nilai $m$ agar persamaan kuadrat $x{^2}+mx+(m+3)=0$ mempunyai akar-akar real adalah ....

A. $-2\leqslant m\leqslant 6$ 

B. $-6\leqslant m\leqslant 2$ 

C. $m\leqslant -2$ atau $m\geq 6$ 

D. $m\leq -6\;\textrm{atau}\;m\geq 2$ 

E. $m\leq 2\;\textrm{atau}\;m\geq 6$ 

Pembahasan

Syarat persamaan kuadrat mempunyai akar-akar real adalah $D\geq 0$ .

$\begin{align*} D&\geq 0\\ b^{2}-4ac&\geq 0\\ m^{2}-4(1)(m+3)&\geq0\\ m^{2}-4m-12&\geq0\\ (m+2)(m-6)&\geq0\\ m\leq -2\;\;\textrm{atau}\;\;m&\geq6 \end{align*}$ 

Jadi, batas-batas nilai $m$ adalah $m\leqslant -2$ atau $m\geq 6$ .

Nomor 3

Jika $R$ menyatakan rasio akar-akar persamaan $3m^{2}x^{2}+m(m-4)x+2=0$, dan $\begin{align*}R+\frac{1}{R}=1\end{align*}$, maka tentukan nilai $m$ terkecil yang mungkin.

Pembahasan
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat $3m^{2}x^{2}+m(m-4)x+2=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$, dengan $R$ adalah rasio akar-akarnya, maka:

$\begin{align*}R=\frac{α}{β}\end{align*}$

Diketahui pula $\begin{align*}R+\frac{1}{R}=1\end{align*}$, maka:
$\begin{align*}R+\frac{1}{R}&=1\\ \frac{α}{β}+\frac{β}{α}&=1\\\frac{α^{2}+β^{2}}{αβ}&=1\\α^{2}+β^{2}&=αβ\\(α+β)^{2}-2αβ&=αβ\\(α+β)^{2}&=3αβ\\ \left(\frac{-m(m-4)}{3m^{2}}\right)^{2}&=3\left(\frac{2}{3m^{2}}\right)\\ \frac{m^{2}-8m+16}{9m^{2}}&=\frac{2}{m^{2}}\\ m^{2}-8m+16&=18\\m^{2}-8m-2&=0\\ m_{1}=4-3\sqrt{2}\;\;\textrm{atau}\;\;m_{2}&=4+3\sqrt{2}\end{align*}$
Jadi, nilai $m$ terkecil yaitu $m=4-3\sqrt{2}$.

Nomor 4

Jika salah satu akar real dari persamaan $81x^{2}+kx+256=0$ adalah pangkat 3 dari akar yang lainnya, maka nilai $k$ yang memenuhi adalah ....
A. $144$
B. $100$
C. $-81$
D. $-181$
E. $-300$

Pembahasan
Misalkan salah satu akar real persamaan tersebut adalah $p$, maka akar yang lainnya adalah $p^{3}$.

$\begin{align*}p+p^{3}&=-\frac{k}{81}\;\;\;\;\;......(\textrm{i})\\p.p^{3}&=\frac{256}{81}\\p^{4}&=\frac{256}{81}\\p&=±\frac{4}{3}\;\;\;\;\;\;.....(\textrm{ii})\end{align*}$

Substitusi $(\textrm{ii})$ ke $(\textrm{i})$.
$\begin{align*}\textrm{untuk}\;p=-\frac{4}{3}⇒\;\;\;\;\;\;\;p+p^{3}&=-\frac{k}{81}\\-\frac{4}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{3}&=-\frac{k}{81}\\-\frac{4}{3}-\frac{64}{27}&=-\frac{k}{81}\\-\frac{36}{27}-\frac{64}{27}&=-\frac{k}{81}\\-\frac{100}{27}&=-\frac{k}{81}\\k&=-300\end{align*}$
Jadi, nilai $k=-300$.

Nomor 5

Tentukan nlai $m$ agar persamaan kuadrat $(1+2m)x^{2}-2(1+3m)x+4(1+m)$ selalu bernilai positif untuk setiap $x$ dengan $x∈R$.

Pembahasan
Syarat persamaan kuadrat definit positif yaitu $a>0$ dan $D<0$.
Syarat $(\textrm{i})$

$\begin{align*}a&>0\\1+2m&>0\\2m&>-1\\m&>-\frac{1}{2}\end{align*}$

Syarat $(\textrm{ii})$

$\begin{align*}D&<0\\b^{2}-4ac&<0\\(-2(1+3m))^{2}-4(1+2m)(4+4m)&<0\\4(1+6m+9m^{2})-4(4+12m+8m^{2})&<0\\ m^{2}-6m-3&<0\\3-\sqrt{12}<m&<3+\sqrt{12} \end{align*}$
Nilai $m$ yang memenuhi agar persamaan kuadrat tersebut definit positif adalah irisan dari $(\textrm{i})$ dan $(\textrm{ii})$, yaitu $3-\sqrt{12}<m<3+\sqrt{12}$.

Nomor 6

Syarat agar akar-akar persamaan kuadrat $(p-2)x^{2}+2px+p-1=0$ negatif dan berlainan adalah ....
A. $p>2$
B. $p<0$ atau $\begin{align*}p>\frac{2}{3}\end{align*}$
C. $\begin{align*}0<p<\frac{2}{3}\end{align*}$
D. $\begin{align*}\frac{2}{3}<p<1\end{align*}$
E. $\begin{align*}\frac{2}{3}<p<2\end{align*}$

Pembahasan
Ada 3 syarat agar suatu persamaan kuadrat memiliki akar-akar negatif dan berlainan, yaitu:

(i).   $D>0$

(ii).  $x_{1}+x_{2}<0$

(iii). $x_{1}x_{2}>0$

Syarat $(\textrm{i})$
$\begin{align*}D&>0\\b^{2}-4ac&>0\\(2p)^{2}-4(p-2)(p-1)&>0\\4p^{2}-(4p^{2}-12p+8)&>0\\12p-8&>0\\12p&>8\\p&>\frac{2}{3}\end{align*}$
Syarat $(\textrm{ii})$

$\begin{align*}x_{1}+x_{2}&<0\\\frac{-b}{a}&<0\\\frac{-2p}{p-2}&<0\\p<0\;\;\textrm{atau}\;\;p&>2\end{align*}$

Syarat $(\textrm{iii})$

Baca Juga

$\begin{align*}x_{1}x_{2}&>0\\\frac{c}{a}&>0\\\frac{p-1}{p-2}&>0\\1<p&<2\end{align*}$

Jadi, nilai $p$ yang memenuhi agar persamaan kuadrat tersebut memiliki akar-akar negatif dan berlainan adalah daerah irisan syarat (i), (ii), dan (iii), yaitu $p>2$.

Nomor 7

Jika $p$ dan $q$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+4x+(2k+5)=0$ dan $\textrm{log}\;p,\;\textrm{log}pq$, dan $\textrm{log}\;q$ membentuk barisan aritmetika, maka nilai $k=....$
A. $-2$
B. $-10$
C. $20$
D. $100$
E. $1000$

Pembahasan
$\begin{align*}U_{2}-U_{1}&=U_{3}-U_{2}\\\textrm{log}\;pq\;-\;\textrm{log}\;p&=\textrm{log}\;q\;-\;\textrm{log}\;pq\\\textrm{log}\left(\frac{pq}{p}\right)&=\textrm{log}\left(\frac{q}{pq}\right)\\\frac{pq}{p}&=\frac{q}{pq}\\pq&=(pq)^{2}\\pq&=1\\2k+5&=1\\2k&=-4\\k&=-2 \end{align*}$
Jadi, nilai $k=-2$.

Nomor 8

Jika $α$ dan $β$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-5x+16=0$. Sedangkan $(α^{2}+β^{2})$ dan $\begin{align*}\frac{αβ}{2}\end{align*}$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $x^{2}+px+q=0$, maka tentukan nilai $2p-q$ !

Pembahasan
Perhatikan persamaan kuadrat $x^{2}-5x+16=0$.

$\begin{align*}α+β&=5\\αβ&=16\end{align*}$

Perhatikan persamaan kuadrat $x^{2}+px+q=0$.
$\begin{align*}p&=(α^{2}+β^{2})+\left(\frac{αβ}{2}\right)\\&=((α+β)^{2}-2αβ)+\left(\frac{αβ}{2}\right)\\&=((5^{2}-2(16))+\left(\frac{16}{2}\right)\\&=(25-32)+18\\&=1\\ q&=(α^{2}+β^{2})\left(\frac{αβ}{2}\right)\\&=((α+β)^{2}-2αβ)\left(\frac{αβ}{2}\right)\\&=(5^{2}-2(16))\left(\frac{16}{2}\right)\\&=(25-32)(8)\\&=-56\end{align*}$
Dengan demikian, $2p-q=2(1)-56=-54$.

Nomor 9

UTUL UGM 2003_MATEMATIKA IPA
Akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}+6x+c=0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$. Jika $u$ dan $v$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $x^{2}-\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)x+4=0$ dan $u+v=uv$, maka $x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}x_{2}^{3}= ....$

Pembahasan
Perhatikan $x^{2}+6x+c=0$, akar-akarnyanya $x_{1}$ dan $x_{2}$, sehingga:

$\begin{align*}x_{1}+x_{2}&=-6\\x_{1}x_{2}&=c\\x_{1}^{2}+x_{2}^{2}&=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2x_{1}x_{2}\\&=(-6)^{2}-2c\\&=36-2c\end{align*}$

Substitusi $\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)=36-2c$ ke persamaan $x^{2}-\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)x+4=0$, maka persamaan tersebut menjadi $x^{2}-(36-2c)x+4=0$.
Selanjutnya diketahui bahwa $u+v=uv$, sehingga:

$\begin{align*}u+v&=uv\\36-2c&=4\\-2c&=-32\\c&=16\end{align*}$

Diperoleh $c=16$, maka persamaan kuadrat $x^{2}+6x+c=0$ menjadi $x^{2}+6x+16=0$. Dengan demikian:
$\begin{align*}x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}x_{2}^{3}&=x_{1}x_{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\\&=(16)(4)\\&=64\end{align*}$
Jadi, $x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}x_{2}^{3}=64$.

Nomor 10

SBMPTN 2014
Diketahui $m$ dan $n$ akar-akar persamaan $ax^{2}+bx+c=0$. Jika $m+2$ dan $n+2$ akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+qx+r=0$, maka $q+r=\;....$
A. $c+3b$
B. $c-b+4a$
C. $c-b$
D. $c-b+8a$
E. $c+b+8a$

Pembahasan
Perhatikan persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$.

$\begin{align*}m+n&=\frac{-b}{a}\\mn&=\frac{c}{a}\end{align*}$

Selanjutnya perhatikan persamaan kuadrat $ax^{2}+qx+r=0$.
$\begin{align*}☞\;\;(m+2)+(n+2)&=\frac{-q}{a}\\m+n+4&=\frac{-q}{a}\\\frac{-b}{a}+4&=\frac{-q}{a}\\\frac{-b+4a}{a}&=\frac{-q}{a}\\-b+4a&=-q\\q&=b-4a\;\;\;\;\;\;....(*)\end{align*}$
$\begin{align*}☞ \;\;(m+2)+n+2)&=\frac{r}{a}\\mn+2(m+n)+4&=\frac{r}{a}\\\frac{c}{a}+2\left(\frac{-b}{a}\right)+4&=\frac{r}{a}\\\frac{c}{a}-\frac{2b}{a}+4&=\frac{r}{a}\\\frac{4a-2b+c}{a}&=\frac{r}{a}\\r&=4a-2b+c\;\;\;\;....(**)\end{align*}$
Dari $(*)$ dan $(**)$, diperoleh:

$\begin{align*}q+r&=b-4a+4a-2b+c\\&=c-b\end{align*}$

Nomor 11

UM UNDIP_MATEMATIKA IPA
Persamaan kuadrat $x^{2}+(2m-1)x-2m=0$ mempunyai akar-akar nyata dan berlainan. Batas-batas nilai $m$ yang memenuhi adalah ....
A. $\begin{align*}m<-\frac{1}{2}\end{align*}$
B. $\begin{align*}-\frac{1}{2}<m<\frac{1}{2}\end{align*}$
C. $\begin{align*}m<\frac{1}{2}\end{align*}$ atau $\begin{align*}m>\frac{1}{2}\end{align*}$
D. $\begin{align*}m>\frac{1}{2}\end{align*}$ atau $\begin{align*}m<-\frac{1}{2}\end{align*}$
E. $\begin{align*}m<-\frac{1}{2}\end{align*}$ atau $\begin{align*}m>-\frac{1}{2}\end{align*}$

Pembahasan
Syarat supaya persamaan kuadrat memiliki akar-akar real dan berlainan adalah $D≥0$.

$\begin{align*}D&≥0\\b^{2}-4ac&≥0\\(2m-1)^{2}-4(1)(-2m)&≥0\\4m^{2}-4m+1+8m&≥0\\4m^{2}+4m+1&≥0\\(2m+1)(2m+1)&≥0\\m≤-\frac{1}{2}\;\;\textrm{atau}\;\;m&≥-\frac{1}{2}\end{align*}$

Jadi, batas-batas nilai $m$ adalah $\begin{align*}m≤-\frac{1}{2}\end{align*}$ atau $\begin{align*}m≥-\frac{1}{2}\end{align*}$.

Nomor 12

Persamaan kuadrat $x^{2}-px-2p=0$ mempunyai dua akar real $\alpha$ dan $\beta$. Jika $\alpha^{3}+\beta^{3}=16$, maka hasil tambahan semua nilai $p$ yang memenuhi adalah ....
A. $-2-2\sqrt{3}$
B. $-2+2\sqrt{3}$
C. $0$
D. $-6$
E. $-4$

Pembahasan
Dari persamaan kuadrat tersebut, didapat:

$\begin{align*}\alpha+\beta&=p\\ \alpha.\beta&=-2p \end{align*}$

Selanjutnya:

$\begin{align*} \alpha^{3}+\beta^{3}&=16\\ (\alpha+\beta)^{3}-3\alpha\beta(\alpha+\beta)&=16\\ (p)^{3}-3(-2p)(p)&=0\\ p^{3}+6p^{2}&=16\\ p^{3}+6p^{2}-16&=0\\ \end{align*}$ 

Berdasarkan sifat jumlah akar-akar pada persamaan kubik diperoleh jumlah nilai $p$ yang memenuhi adalah $-6$.

Nomor 13

Diketahui $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar dari persamaan $m^{2}(x^{2}-x)+2mx+3=0$, dimana $m≠0$, dan $m_{1},\;m_{2}$ adalah dua nilai dari $m$. Jika $\begin{align*}\left(\frac{α}{β}+\frac{β}{α}\right)=\frac{4}{3}\end{align*}$, dan $\begin{align*}P=\frac{m_{1}^{2}}{m_{2}}+\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}}\end{align*}$, tentuka nilai $\begin{align*}-\frac{3P}{17}\end{align*}$.

Pembahasan

$\begin{align*}m^{2}(x^{2}-x)+2mx+3&=0\\m^{2}x^{2}-m^{2}x+2mx+3&=0\\m^{2}x^{2}-(m^{2}-2m)x+3&=0\end{align*}$

Persamaan kuadrat tersebut memiliki akar-akar $\alpha$ dan $\beta$.

$\begin{align*}\alpha+\beta&=\frac{m^{2}-2m}{m^{2}}=\frac{m-2}{m}\\\alpha\beta&=\frac{3}{m^{2}}\end{align*}$

Sementara itu:

$\begin{align*}\frac{α}{β}+\frac{β}{α}&=\frac{4}{3}\\\frac{α^{2}+β^{2}}{αβ}&=\frac{4}{3}\\\frac{(α+β)^{2}-2αβ}{αβ}&=\frac{4}{3}\\3(α+β)^{2}-6αβ&=4αβ\\3(α+β)^{2}-10αβ&=0\\3\left(\frac{m-2}{m}\right)^{2}-10\left(\frac{3}{m^{2}}\right)&=0\\3\left(\frac{m^{2}-4m+4}{m^{2}}\right)-\frac{30}{m^{2}}&=0\\3m^{2}-12m-18&=0\\m^{2}-4m-6&=0\end{align*}$

Persamaan terakhir adalah persamaan kuadrat dalam variabel $m$ dengan akar-akarnya $m_{1}$ dan $m_{2}$.

$\begin{align*}m_{1}+m_{2}&=4\\m_{1}m_{2}&=-6\end{align*}$

Selanjutnya, perhatikan bahwa:

$\begin{align*}P&=\frac{m_{1}^{2}}{m_{2}}+\frac{m_{2}^{2}}{m_{1}}\\&=\frac{m_{1}^{3}+m_{2}^{3}}{m_{1}m_{2}}\\&=\frac{(m_{1}+m_{2})^{3}-3m_{1}m_{2}(m_{1}+m_{2})}{m_{1}m_{2}}\\&=\frac{(4)^{3}-3(-6)(4)}{-6}\\&=\frac{64+72}{-6}\\&=\frac{136}{-6}\\P&=-\frac{68}{3}\end{align*}$

Dengan demikian;

$\begin{align*}-\frac{3P}{17}=-\frac{3\left(-\frac{68}{3}\right)}{17}=\frac{68}{17}=4\end{align*}$

Jika ditemukan kesalahan pada soal maupun pada pembahasan soal, segera komentari pada kolom komentar agar segera diperbaiki. Semoga bermanfaat.