Nilai pengganti $x$ yang memenuhi persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ disebut akar atau penyelesaian persamaan kuadrat itu.
Contoh
Selidikilah apakah $x=2$ dan $x=-3$ merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat $x^{2}-x-2=0$.
Jawab
Substitusi $x=2$ ke persamaan kuadrat yang diberikan.
$\begin{align*}x^{2}-x-2&=0\\(2)^{2}-(2)-2&=0\\4-4&=0\end{align*}$
Untuk $x=2$ pernyataan bernilai benar maka $2$ adalah akar dari $x^{2}-x-2=0$.
Substitusi $x=-3$ ke persamaan kuadrat yang diberikan.
$\begin{align*}x^{2}-x-2&=0\\(-3)^{2}-(-3)-2&=0\\9+3-2&≠0\end{align*}$
Untuk $x=-3$ pernyataan bernilai salah maka $x=-3$ bukan akar dari persamaan kuadrat $x^{2}-x-2=0$.
Selanjutnya kita akan mempelajari "bagaimana cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat?". Akar-akar suatu persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan cara pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus kuadrat. Namun, dalam tulisan ini, penulis hanya akan membahas cara pemfaktoran dan rumus kuadrat saja.
Cara Pemfaktoran
a. Persamaan Kuadrat berbentuk $x^{2}+bx+c=0$
Bila bentuk $x^{2}+bx+c=0$ mempunyai akar-akar rasional maka bentuk itu dapat difaktorkan menjadi $(x+m)(x+n)=0$ dengan ketentuan:
a. Persamaan Kuadrat berbentuk $x^{2}+bx+c=0$
Bila bentuk $x^{2}+bx+c=0$ mempunyai akar-akar rasional maka bentuk itu dapat difaktorkan menjadi $(x+m)(x+n)=0$ dengan ketentuan:
$\begin{align*}m+n&=b\\mn&=c\end{align*}$
Contoh 1
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut.
(a). $x^{2}+8x+15=0$
(b). $y^{2}+y-2=0$
(c). $x^{2}-4x+3=0$
Jawab
(a)
$\begin{align*}x^{2}+8x+15&=0\\(x+3)(x+15)&=0\\x=-3\;atau\;x&=-5\end{align*}$
Jadi,akar-akar dari $x^{2}+8x+15=0$ adalah $-3$ dan $-5$.
(b)
$\begin{align*}y^{2}+y-2&=0\\(y-1)(y+2)&=0\\y=1\;\;atau\;\;y&=-2\end{align*}$
Jadi,akar-akar dari $y^{2}+y-2=0$ adalah $1$ dan $-2$.
(c)
$\begin{align*}x^{2}-4x+3&=0\\(x-1)(x-3)&=0\\x=1\;\;atau\;\;x&=3\end{align*}$
Jadi,akar-akar dari $x^{2}-4x+3=0$ adalah $1$ dan $3$
Contoh 2
Salah satu akar dari persamaan kuadrat $x^{2}-mx+18=0$ adalah $3$. Tentukan akar yang lainnya.
Jawab
Substitusi $x=3$ ke persamaan kuadrat.
$\begin{align*}x^{2}-mx+18&=0\\3^{2}-3m+18&=0\\9-3m+18&=0\\-3m&=-27\\m&=9\end{align*}$
Persamaan kuadrat tersebut menjadi $x^{2}-9x+18=0$, sehingga kita bisa menentukan akar yang lainnya,sebagai berikut.
$\begin{align*}x^{2}-9x+18&=0\\(x-3)(x-6)&=0\\x=3\;\;atau\;\;x&=6\end{align*}$
Jadi akar yang lainnya adalah $6$.
b. Persamaan kuadrat berbentuk $ax^{2}+bx+c=0$,dengan $a≠1$
Jika persamaan kuadrat berbentuk $ax^{2}+bx+c=0$ memiliki akar-akar rasional,maka bentuk itu dapat difaktorkan menjadi $\begin{align*}\frac{(ax+m)(ax+n)}{a}\end{align*}$ dengan ketentuan:
Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat $2x^{2}-7x+6=0$.
Jawab
$\begin{align*}2x^{2}-7x+6&=0\\\frac{(2x-4)(2x-3)}{2}&=0\\(x-2)(2x-3)&=0\\x=2\;\;atau\;\;x&=\frac{2}{3}\end{align*}$
Contoh 2
Salah satu akar persamaan kuadrat $(m-1)x^{2}+4x-m=0$ adalah $-2$. Tentukan nilai $m$ dan akar yang lainnya.
Jawab
Substitusi $x=-2$ ke persamaan kuadrat,maka diperoleh:
$\begin{align*}(m-1)x^{2}+4x-m&=0\\(m-1)(-2)^{2}+4(-2)-m&=0\\4m-4-8-m&=0\\3m-12&=0\\3m&=12\\m&=4\end{align*}$
Sehingga persamaan kuadrat tersebut menjadi $3x^{2}+4x-4=0$. Dengan demikian,akar yang lain dapat kita tentukan.
$\begin{align*}3x^{2}+4x-4&=0\\\frac{(3x-2)(3x+6)}{3}&=\\(3x-2)(x+2)&=0\\x=\frac{2}{3}\;\;atau\;\;x&=-2\end{align*}$
Jadi,akar yang lainnya adalah $\begin{align*}\frac{2}{3}\end{align*}$.
Dengan Cara Rumus Kuadrat
Selain dengan cara memfaktorkan,akar-akar suatu persamaan kuadrat jga bisa ditentukan dengan menggunakan rumus kuadrat atau rumus $abc$.
(a). $x^{2}+8x+15=0$
(b). $y^{2}+y-2=0$
(c). $x^{2}-4x+3=0$
Jawab
(a)
$\begin{align*}x^{2}+8x+15&=0\\(x+3)(x+15)&=0\\x=-3\;atau\;x&=-5\end{align*}$
Jadi,akar-akar dari $x^{2}+8x+15=0$ adalah $-3$ dan $-5$.
(b)
$\begin{align*}y^{2}+y-2&=0\\(y-1)(y+2)&=0\\y=1\;\;atau\;\;y&=-2\end{align*}$
Jadi,akar-akar dari $y^{2}+y-2=0$ adalah $1$ dan $-2$.
(c)
$\begin{align*}x^{2}-4x+3&=0\\(x-1)(x-3)&=0\\x=1\;\;atau\;\;x&=3\end{align*}$
Jadi,akar-akar dari $x^{2}-4x+3=0$ adalah $1$ dan $3$
Contoh 2
Salah satu akar dari persamaan kuadrat $x^{2}-mx+18=0$ adalah $3$. Tentukan akar yang lainnya.
Jawab
Substitusi $x=3$ ke persamaan kuadrat.
$\begin{align*}x^{2}-mx+18&=0\\3^{2}-3m+18&=0\\9-3m+18&=0\\-3m&=-27\\m&=9\end{align*}$
Persamaan kuadrat tersebut menjadi $x^{2}-9x+18=0$, sehingga kita bisa menentukan akar yang lainnya,sebagai berikut.
$\begin{align*}x^{2}-9x+18&=0\\(x-3)(x-6)&=0\\x=3\;\;atau\;\;x&=6\end{align*}$
Jadi akar yang lainnya adalah $6$.
b. Persamaan kuadrat berbentuk $ax^{2}+bx+c=0$,dengan $a≠1$
Jika persamaan kuadrat berbentuk $ax^{2}+bx+c=0$ memiliki akar-akar rasional,maka bentuk itu dapat difaktorkan menjadi $\begin{align*}\frac{(ax+m)(ax+n)}{a}\end{align*}$ dengan ketentuan:
$\begin{align*}m+n&=b\\mn&=ac\end{align*}$
Contoh 1Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat $2x^{2}-7x+6=0$.
Jawab
$\begin{align*}2x^{2}-7x+6&=0\\\frac{(2x-4)(2x-3)}{2}&=0\\(x-2)(2x-3)&=0\\x=2\;\;atau\;\;x&=\frac{2}{3}\end{align*}$
Contoh 2
Salah satu akar persamaan kuadrat $(m-1)x^{2}+4x-m=0$ adalah $-2$. Tentukan nilai $m$ dan akar yang lainnya.
Jawab
Substitusi $x=-2$ ke persamaan kuadrat,maka diperoleh:
$\begin{align*}(m-1)x^{2}+4x-m&=0\\(m-1)(-2)^{2}+4(-2)-m&=0\\4m-4-8-m&=0\\3m-12&=0\\3m&=12\\m&=4\end{align*}$
Sehingga persamaan kuadrat tersebut menjadi $3x^{2}+4x-4=0$. Dengan demikian,akar yang lain dapat kita tentukan.
$\begin{align*}3x^{2}+4x-4&=0\\\frac{(3x-2)(3x+6)}{3}&=\\(3x-2)(x+2)&=0\\x=\frac{2}{3}\;\;atau\;\;x&=-2\end{align*}$
Jadi,akar yang lainnya adalah $\begin{align*}\frac{2}{3}\end{align*}$.
Dengan Cara Rumus Kuadrat
Selain dengan cara memfaktorkan,akar-akar suatu persamaan kuadrat jga bisa ditentukan dengan menggunakan rumus kuadrat atau rumus $abc$.
Jika diketahui persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ dengan $a≠0$, maka akar-akar persamaan kuadrat tersebut ditentukan oleh rumus:
$\begin{align*}x_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\end{align*}$
Perhatikan contoh soal berikut.
Contoh
Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut dengan rumus $abc$.
(1) $x^{2}-3x-18=0$
(2) $4p^{2}+3p-10=0$
(3) $3x^{2}-6x+2=0$
Jawab
(1) Dari persamaan kuadrat $x^{2}-3x-18=0$ diketahui:
$a=1$, $b=-3$, dan $c=-18$
maka akar-akarnya:
$\begin{align*}x_{1,2}&=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\&=\frac{-(-3)±\sqrt{(-3)^{2}-4(1)(-18)}}{2.1}\\&=\frac{3±\sqrt{9+72}}{2}\\&=\frac{3±\sqrt{81}}{2}\\&=\frac{3±9}{2}\end{align*}$
$\begin{align*}x_{1}=\frac{3+9}{2}=6\end{align*}$ atau $\begin{align*}x_{2}=\frac{3-9}{2}=-3\end{align*}$
Jadi,penyelesaiannya adalah $6$ dan $-3$.
(2) Dari persamaan kuadrat $4p^{2}+3p-10=0$ diperoleh $a=4$, $b=3$, dan $c=-10$. Maka penyelesaiannya:
$\begin{align*}p_{1,2}&=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\&=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4(4)(-10)}}{2.4}\\&=\frac{3±\sqrt{9+160}}{8}\\&=\frac{3±\sqrt{169}}{8}\\&=\frac{3±13}{8}\end{align*}$
$\begin{align*}p_{1}=\frac{16}{8}=2\end{align*}$ atau $\begin{align*}p_{2}=\frac{-10}{8}=-\frac{5}{4}\end{align*}$.
Jadi,penyelesaian persamaan kuadrat tersebut adalah $2$ dan $\begin{align*}-\frac{5}{4}\end{align*}$.
(3) Dari persamaan kuadrat $3x^{2}-6x+2=0$ diperoleh $a=3$, $b=-6$, dan $c=2$, maka:
$\begin{align*}x_{1,2}&=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\&=\frac{-(-6)±\sqrt{(-6)^{2}-4(3)(2)}}{2.3}\\&=\frac{6±\sqrt{36-24}}{6}\\&=\frac{6±\sqrt{12}}{6}\\&=\frac{6±2\sqrt{3}}{6}\end{align*}$
$\begin{align*}x_{1}=\frac{6+2\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{3}(3+\sqrt{3})\end{align*}$ atau $\begin{align*}x_{2}=\frac{6-2\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{3}(3-\sqrt{3})\end{align*}$.
Jadi,akar-akar persamaan kuadrat tersebut adlalah $\begin{align*}\frac{1}{3}(3+\sqrt{3})\end{align*}$ dan $\begin{align*}\frac{1}{3}(3-\sqrt{3})\end{align*}$.
Dua cara di atas tentu memiliki kelebihan dan kekurangannya masing-masing. Rumus $abc$ biasanya digunakan saat suatu persamaan kuadrat sulit difaktorkan.
(2) Dari persamaan kuadrat $4p^{2}+3p-10=0$ diperoleh $a=4$, $b=3$, dan $c=-10$. Maka penyelesaiannya:
$\begin{align*}p_{1,2}&=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\&=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4(4)(-10)}}{2.4}\\&=\frac{3±\sqrt{9+160}}{8}\\&=\frac{3±\sqrt{169}}{8}\\&=\frac{3±13}{8}\end{align*}$
$\begin{align*}p_{1}=\frac{16}{8}=2\end{align*}$ atau $\begin{align*}p_{2}=\frac{-10}{8}=-\frac{5}{4}\end{align*}$.
Jadi,penyelesaian persamaan kuadrat tersebut adalah $2$ dan $\begin{align*}-\frac{5}{4}\end{align*}$.
(3) Dari persamaan kuadrat $3x^{2}-6x+2=0$ diperoleh $a=3$, $b=-6$, dan $c=2$, maka:
$\begin{align*}x_{1,2}&=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\&=\frac{-(-6)±\sqrt{(-6)^{2}-4(3)(2)}}{2.3}\\&=\frac{6±\sqrt{36-24}}{6}\\&=\frac{6±\sqrt{12}}{6}\\&=\frac{6±2\sqrt{3}}{6}\end{align*}$
$\begin{align*}x_{1}=\frac{6+2\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{3}(3+\sqrt{3})\end{align*}$ atau $\begin{align*}x_{2}=\frac{6-2\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{3}(3-\sqrt{3})\end{align*}$.
Jadi,akar-akar persamaan kuadrat tersebut adlalah $\begin{align*}\frac{1}{3}(3+\sqrt{3})\end{align*}$ dan $\begin{align*}\frac{1}{3}(3-\sqrt{3})\end{align*}$.
Dua cara di atas tentu memiliki kelebihan dan kekurangannya masing-masing. Rumus $abc$ biasanya digunakan saat suatu persamaan kuadrat sulit difaktorkan.
Demikianlah beberapa cara dan contoh soal menentukan akar atau penyelesaian suatu persamaan kuadrat. Jika ada kekeliruan mohon segera dikomentari karena kritik dan saran pengunjung sangat diharapkan untuk bisa lebih baik lagi.