Langsung ke konten utama

Diskriminan Persamaan Kuadrat

Pada artikel sebelumnya yang bisa kalian baca disini telah dibahas tentang cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat,yang salah satunya adalah rumus $abc$, yaitu $\begin{align*}x_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\end{align*}$. Dari rumus ini tampak bahwa akar-akar suatu persamaan kuadrat sangat ditentujan oleh nilai $b^{2}-4ac$. Bentuk $b^{2}-4ac$ inilah yang dinamakan dengan diskriminanpersamaan kuadrat yang sering dinotasikan dengan $D$. Diskriminan artinya pembeda, jadi nilai diskriminan ini yang membedakan jenis akar-akar persamaan kuadrat.
Nilai diskriminan persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ ditentukan oleh rumus:
$D=b^{2}-4ac$
Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat ditinjau dari Nilai Diskriminannya Jika $D≥0$ maka persamaan kuadrat memiliki akar real.Jika $D>0$ maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan.Jika $D=0$ maka persamaan kuadrat memiliki dua akar yang sama,real dan rasional.Jika $D<0$ maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar-akar real atau imajiner.  …

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Nilai pengganti $x$ yang memenuhi persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ disebut akar atau penyelesaian persamaan kuadrat itu. 

Contoh
Selidikilah apakah $x=2$ dan $x=-3$ merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat $x^{2}-x-2=0$.

Jawab
Substitusi $x=2$ ke persamaan kuadrat yang diberikan.
$\begin{align*}x^{2}-x-2&=0\\(2)^{2}-(2)-2&=0\\4-4&=0\end{align*}$
Untuk $x=2$ pernyataan bernilai benar maka $2$ adalah akar dari $x^{2}-x-2=0$.

Substitusi $x=-3$ ke persamaan kuadrat yang diberikan.
$\begin{align*}x^{2}-x-2&=0\\(-3)^{2}-(-3)-2&=0\\9+3-2&≠0\end{align*}$
Untuk $x=-3$ pernyataan bernilai salah maka $x=-3$ bukan akar dari persamaan kuadrat $x^{2}-x-2=0$.

Selanjutnya kita akan mempelajari "bagaimana cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat?". Akar-akar suatu persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan cara pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan menggunakan rumus kuadrat. Namun, dalam tulisan ini, penulis hanya akan membahas cara pemfaktoran dan rumus kuadrat saja.

Cara Pemfaktoran
a. Persamaan Kuadrat berbentuk $x^{2}+bx+c=0$
Bila bentuk $x^{2}+bx+c=0$ mempunyai akar-akar rasional maka bentuk itu dapat difaktorkan menjadi $(x+m)(x+n)=0$ dengan ketentuan:
$\begin{align*}m+n&=b\\mn&=c\end{align*}$

Contoh 1
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut.
(a). $x^{2}+8x+15=0$
(b). $y^{2}+y-2=0$
(c). $x^{2}-4x+3=0$

Jawab
(a)
$\begin{align*}x^{2}+8x+15&=0\\(x+3)(x+15)&=0\\x=-3\;atau\;x&=-5\end{align*}$
Jadi,akar-akar dari $x^{2}+8x+15=0$ adalah $-3$ dan $-5$.

(b)
$\begin{align*}y^{2}+y-2&=0\\(y-1)(y+2)&=0\\y=1\;\;atau\;\;y&=-2\end{align*}$
Jadi,akar-akar dari $y^{2}+y-2=0$ adalah $1$ dan $-2$.

(c)
$\begin{align*}x^{2}-4x+3&=0\\(x-1)(x-3)&=0\\x=1\;\;atau\;\;x&=3\end{align*}$
Jadi,akar-akar dari $x^{2}-4x+3=0$ adalah $1$ dan $3$

Contoh 2
Salah satu akar dari persamaan kuadrat $x^{2}-mx+18=0$ adalah $3$. Tentukan akar yang lainnya.

Jawab
Substitusi $x=3$ ke persamaan kuadrat.
$\begin{align*}x^{2}-mx+18&=0\\3^{2}-3m+18&=0\\9-3m+18&=0\\-3m&=-27\\m&=9\end{align*}$
Persamaan kuadrat tersebut menjadi $x^{2}-9x+18=0$, sehingga kita bisa menentukan akar yang lainnya,sebagai berikut.
$\begin{align*}x^{2}-9x+18&=0\\(x-3)(x-6)&=0\\x=3\;\;atau\;\;x&=6\end{align*}$
Jadi akar yang lainnya adalah $6$.

b. Persamaan kuadrat berbentuk $ax^{2}+bx+c=0$,dengan $a≠1$
Jika persamaan kuadrat berbentuk $ax^{2}+bx+c=0$ memiliki akar-akar rasional,maka bentuk itu dapat difaktorkan menjadi $\begin{align*}\frac{(ax+m)(ax+n)}{a}\end{align*}$ dengan ketentuan:
$\begin{align*}m+n&=b\\mn&=ac\end{align*}$

Contoh 1
Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat $2x^{2}-7x+6=0$.

Jawab
$\begin{align*}2x^{2}-7x+6&=0\\\frac{(2x-4)(2x-3)}{2}&=0\\(x-2)(2x-3)&=0\\x=2\;\;atau\;\;x&=\frac{2}{3}\end{align*}$

Contoh 2
Salah satu akar persamaan kuadrat $(m-1)x^{2}+4x-m=0$ adalah $-2$. Tentukan nilai $m$ dan akar yang lainnya.

Jawab
Substitusi $x=-2$ ke persamaan kuadrat,maka diperoleh:
$\begin{align*}(m-1)x^{2}+4x-m&=0\\(m-1)(-2)^{2}+4(-2)-m&=0\\4m-4-8-m&=0\\3m-12&=0\\3m&=12\\m&=4\end{align*}$
Sehingga persamaan kuadrat tersebut menjadi $3x^{2}+4x-4=0$. Dengan demikian,akar yang lain dapat kita tentukan.
$\begin{align*}3x^{2}+4x-4&=0\\\frac{(3x-2)(3x+6)}{3}&=\\(3x-2)(x+2)&=0\\x=\frac{2}{3}\;\;atau\;\;x&=-2\end{align*}$
Jadi,akar yang lainnya adalah $\begin{align*}\frac{2}{3}\end{align*}$.

Dengan Cara Rumus Kuadrat
Selain dengan cara memfaktorkan,akar-akar suatu persamaan kuadrat jga bisa ditentukan dengan menggunakan rumus kuadrat atau rumus $abc$.
Jika diketahui persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ dengan $a≠0$, maka akar-akar persamaan kuadrat tersebut ditentukan oleh rumus:
$\begin{align*}x_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\end{align*}$ 

Perhatikan contoh soal berikut.
Contoh
Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut dengan rumus $abc$.
(1) $x^{2}-3x-18=0$
(2) $4p^{2}+3p-10=0$
(3) $3x^{2}-6x+2=0$
Jawab
(1) Dari persamaan kuadrat $x^{2}-3x-18=0$ diketahui:
$a=1$, $b=-3$, dan $c=-18$
maka akar-akarnya:
$\begin{align*}x_{1,2}&=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\&=\frac{-(-3)±\sqrt{(-3)^{2}-4(1)(-18)}}{2.1}\\&=\frac{3±\sqrt{9+72}}{2}\\&=\frac{3±\sqrt{81}}{2}\\&=\frac{3±9}{2}\end{align*}$
$\begin{align*}x_{1}=\frac{3+9}{2}=6\end{align*}$ atau $\begin{align*}x_{2}=\frac{3-9}{2}=-3\end{align*}$
Jadi,penyelesaiannya adalah $6$ dan $-3$.

(2) Dari persamaan kuadrat $4p^{2}+3p-10=0$ diperoleh $a=4$, $b=3$, dan $c=-10$. Maka penyelesaiannya:
$\begin{align*}p_{1,2}&=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\&=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4(4)(-10)}}{2.4}\\&=\frac{3±\sqrt{9+160}}{8}\\&=\frac{3±\sqrt{169}}{8}\\&=\frac{3±13}{8}\end{align*}$
$\begin{align*}p_{1}=\frac{16}{8}=2\end{align*}$ atau $\begin{align*}p_{2}=\frac{-10}{8}=-\frac{5}{4}\end{align*}$.
Jadi,penyelesaian persamaan kuadrat tersebut adalah $2$ dan $\begin{align*}-\frac{5}{4}\end{align*}$.

(3) Dari persamaan kuadrat $3x^{2}-6x+2=0$ diperoleh $a=3$, $b=-6$, dan $c=2$, maka:
$\begin{align*}x_{1,2}&=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\&=\frac{-(-6)±\sqrt{(-6)^{2}-4(3)(2)}}{2.3}\\&=\frac{6±\sqrt{36-24}}{6}\\&=\frac{6±\sqrt{12}}{6}\\&=\frac{6±2\sqrt{3}}{6}\end{align*}$
$\begin{align*}x_{1}=\frac{6+2\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{3}(3+\sqrt{3})\end{align*}$ atau $\begin{align*}x_{2}=\frac{6-2\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{3}(3-\sqrt{3})\end{align*}$.
Jadi,akar-akar persamaan kuadrat tersebut adlalah $\begin{align*}\frac{1}{3}(3+\sqrt{3})\end{align*}$ dan $\begin{align*}\frac{1}{3}(3-\sqrt{3})\end{align*}$.

Dari kedua cara di atas,jelas bahwa RUMUS $abc$ memiliki kelebihan dibandingkan dengan cara memfaktorkan. Cara yang manakah yang lebih mudah,itu semua tergantung yang menyelesaikan soal.

Demikianlah beberapa cara dan contoh soal menentukan akar atau penyelesaian suatu persamaan kuadrat. Jika ada kekeliruan mohon segera dikomentari karena kritik dan saran pengunjung sangat diharapkan untuk bisa lebih baik lagi.

Postingan populer dari blog ini

Modul Belajar Matematika

Berikut ini beberapa file penting yang bisa didownload.Caranya tinggal klik saja tulisan "download" tersebut.
Khusus SMP 1. Modul OSN SMP klik Download 2. Solusi OSK SMP 2018 Download 3. Soal final Try Out UN 2018 SMP DKI JAKARTA Download 4. Rangkuman dan Soal Matematika SMP Download 5. Ebook Aljabar Persiapan OSN SMP Download 6. Ebook Geometri Untuk OSN Download


Khusus SMA 1. Koleksi Soal Tipe Olimpiade oleh Aldhi Prastya Download
2. Pembahasan soal Tipe Olimpiade oleh Aldhi Prastya Download. Soal2nya di nomor 1
3. Soal Try Out Ujian Nasional DKI Jakarta 2018:

Paket 1 DownloadPaket 2 DownloadPaket 3 Download Paket 4 Download 4. Soal Try Out OSP Prov.Jatim 2018 Bidang Matematika Download
5. Pembahasan Try Out OSP Prov. Jatim 2018 Bidang Matematika Download
7. Soal-soal Geometry dari Wardaya Collage Download
8. Soal OSP Matematika SMA Thn 2018 Download
9. Geometri: Power of A Point Download

SBMPTN
1. Soal dan Solusi Download
2. Limit: Soal dan Pembahasan Download

Pembelajaran Kai…

Soal-Soal KSM 2018

Berikut ini penulis bagikan beberapa naskah asli soal Kompetisi Sains Madrasah atau yang lebih sering dikenal dengan KSM.  KSM adalah sebuah kompetisi antar siswa yang setara dengan OSN yang dikhususkan kepada anak-anak Madrasah. Soal-soal berikut adalah soal-soal KSM tahun 2018. Kalian bisa download secara gratis dengan cara klik pada tulisan "Download".


Soal KSM MA Tingkat Kabupaten/Kota 1. Soal KSM Bidang Matematika: Download
2. Soal KSM Bidang Fisika: Download 3. Soal KSM Bidang Kimia: Download 4. Soal KSM Bidang Ekonomi: Download 5. Soal KSM Bidang Geografi: Download
6. Soal KSM Bidang Biologi: Download 7. Kunci Jawaban: Download

Jika kalian menginginkan soal-soal OSK,OSP serta modul-modul belajar Matematika lainnya, kalian bisa Kesini.

Jika hal ini bermanfaat,silakan dishare.
Terima kasih.

Soal SBMPTN 2018

Berikut beberapa naskah asli soal SBMPTN 2018 yang bisa pengunjung download secara gratis. Caranya klik pada tulisan "Download".

TKD Saintek 1. TKD Saintek_459: Download 2. TKD Saintek_453: Download
3. TKD Saintek: Download
4. TKD Saintek_460: Download
5. TKD Saintek_457: Download
6. TKD Saintek_460: Download
7. TKD Saintek_417: Download
8. TKD Saintek_418: Download
9. TKD Saintek_419: Download
10. TKD Saintek_420: Download
11. TKD Saintek_421: Download
12. TKD Saintek_422: Download
13. TKD Saintek_423: Download
14. TKD Saintek_428: Download

TKD Soshum
1. TKD Soshum_653: Download
2. TKD Soshum_657: Download