Processing math: 100%

Kita telah mengetahui bahwa ada tiga kemungkinan kedudukan suatu garis terhadap lingkaran,yaitu memotong lingkaran di dua titik berlainan, memotong lingkaran di satu titik (menyinggung), dan tidak memotong lingkaran. Garis yang menyinggung lingkaran inilah yang dinamakan dengan Garis Singgung Lingkaran.

1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik pada Lingkaran
Perhatikan gambar berikut!

Lingkaran berpusat di P(a,b) dan berjari-jari r. Garis g disebut garis singgung lingkaran di titik A(x1,y1) dan AP tegak lurus g. Persamaan garis singgung lingkaran di titik A(x1,y1) diperlihatkan pada tabel berikut.

2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu
Perhatikan gambar berikut.
Lingkaran berpusat di (a,b) berjari-jari r. g adalah garis singgung lingkaran dengan gradien m. Persamaan garis singgung lingkaran dengan titik pusat (a,b) dan bergradien m diperlihat pada tabel berikut.

3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui suatu Titik di Luar Lingkaran
Melalui suatu titik di luar lingkaran dapat dibuat dua buah garis singgung lingkaran.


Persamaan umum garis singgung lingkaran melalui sebuah titik C(x1,y1) yang terletak di luar lingkaran adalah :
yy1=m(xx1)
Dimana m adalah gradien garis singgung dan dapat ditentukan dengan cara berikut.
  • substitusi persamaan yy1=m(xx1) ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh suatu persamaan kuadrat.
  • dari persamaan kuadrat pada point pertama, dengan mengambil nilai D=0 maka akan diperoleh nilai m.

Berikut beberapa contoh soal terkait Persamaan Garis Singgung Lingkaran.

Contoh 1
Tentukan persamaan garis singgung lingkatan x2+y2=13 di titik A(2,3).

Jawab
Persamaan garis singgung lingkaran x2+y2=r2 ditentukan oleh rumus:
x1x+y1y=r2
Substitusi titik A(2,3) ke rumus diperoleh:
x1x+y1y=r22x+(3)y=132x3y=13
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah 2x3y=13.

Contoh 2
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x2)2+(y+1)2=20 di titik (4,5).

Jawab
Persamaan garis singgung lingkaran (xa)2+(yb)2=r2 di titik (x1,y1) ditentukan oleh rumus:
(x1a)(xa)+(y1b)(yb)=r2
Substitusi titik (4,5) ke rumus tersebut,maka diperoleh:
(x1a)(xa)+(y1b)(yb)=r2(42)(x1)+(51)(y+1)=202(x1)6(y+1)=202x26y6=202x6y28=0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah 2x6y28=0.

Contoh 3
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2+y2+4x6y27=0 di titik (4,1).

Jawab
Persamaan garis singgung lingkaran x2+y2+Ax+B+C=0 di titik (x1,y1) ditentukan oleh rumus:
x1x+y1y+A2(x+x1)+B2(y+y1)+C=0
Substitusi titik (4,1) ke rumus tersebut maka diperoleh:
x1x+y1y+A2(x+x1)+B2(y+y1)+C=04x+y+42(x+4)+62(y+1)27=04x+y+2x+83y327=06x2y22=0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran tersebut adalah 6x2y22=0 .

Contoh 4
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2+y2=9 dengan gradien 2.
Jawab
Persamaan garis singgung lingkaran x2+y2=r2 dan bergradien m ditentukan oleh rumus berikut:
y=mx±r1+m2
Dari soal tersebut, kita peroleh m=2, dan r=3, kemudian disubstitusi ke rumus sehingga diperoleh:
y=mx±r1+m2y=2x±31+22y=2x±35 
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran tersebut ada dua, yaitu y=2x+5dany=2x35

Contoh 5
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran pada lingkaran x2+y22x+4y4=0 yang sejajar dengan dengan garis 5x12y+15=0 adalah ....
A. 5x12y+10=0
B. 5x12y10=0
C. 5x+12y10=0
D. 5x+12y+10=0
E. 5x12y+68=0

Jawab
Misalkan gradien garis 5x12y+15=0 adalah m2 dan gradien garis singgung lingkaran adalah m2. Oleh karena sejajar maka:
m2=m1
Kita tahu bahwa, gradien garis ax+by+c=0 adalah m=ab, sehingga:
5x12y+15=0m1=abm1=512m1=52
Sehingga gradien garis singgung lingkaran adalah:
m2=m1m2=512  

Pusat Lingkaran
P(A2,B2)=(22,42)=(1,2)

Jari-Jari Lingkaran
r=A24+B24Cr=(2)24+424(4)r=1+4+4r=9

Selanjutnya menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang bergradien m=512 sebagai berikut.
yb=m(xa)±r1+m2y(2)=512(x1)±31+(512)2y+2=512x512±3169144y+2=512x512±3(1312)y+2=512x512±3912 

Ada dua PGS yang mungkin yaitu;
PGS I
y+2=512x512+3912y+2=512x+341212y+24=5x+345x12y+10=0 

PGS II
y+2=512x5123912y+2=512x441212y+24=5x445x12y68=0 

Jadi, jawaban yang tepat adalah opsi A

Contoh 6
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2+y210x+4y+19=0 yang sejajar dengan garis 2y+6x5=0.

Jawab
Misalkan gradien garis 2y+6x5=0 adalah m1 dan gradien garis singgung lingkaram m2.
m1=62=3
Garis singgung lingkaran sejajar dengan garis 2y+6x5=0, maka m2=m1=3.
Titik pusat lingkaran
P=(12A,12B)=(12(10),12(4))=(5,2)

Jari-jari lingkaran
r=A24+B24Cr=(10)24+(4)2419r=25+419r=10

Persamaan garis singgung
yb=m(xa)±rm2+1y+2=3(x5)±10(3)2+1y+2=3x+15±1010y+2=3x+15±10

PGS I
y+2=3x+15+10y+3x23=0
PGS II
y+2=3x+1510y+3x3=0
Jadi persamaan garis singgung lingkaran yang dimaksud adalah y+3x23=0 dan y+3x3=0.

Contoh 7
Tunjukkan bahwa garis lurus 7yx=5 menyinggung lingkaran Lx2+y25x+5y=0 dan carilah koordinat titik singgungnya.

Jawab.
Substitusi 7yx=5y=x+57 ke persamaan lingkaran.
x2+y25x+5y=0x2+(x+57)25x+5(x+57)=0x2+x2+10x+25495x+5x+257=049x2+x2+10x+25245x+35x+175=050x2200x+200=0x24x+4=0

Nilai diskriminan persamaan kuadrat x24x+4=0 sebagai berikut:
D=b24ac=(4)24(1)(4)=1616=0
Oleh karena D=0 maka benar bahwa 7yx=5 menyinggung lingkaran Lx2+y25x+5y=0.

Persamaan kuadrat x24x+4=0 mempunyai penyelesaian x=2. Substitusi x=2 ke 7yx=5 diperoleh nilai y=1. Dengan demikian, koordinat titik singgung garis 7yx=5 dan lingkaran Lx2+y25x+5y=0 adalah (2,1). Tampilan geometrisnya sebagai berikut.

Semoga bermanfaat.
Salam Matematika...

1 تعليقات

إرسال تعليق

أحدث أقدم