Algebra: Problems and Solutions

1. Berikut adalah contoh-contoh soal tantangan. Dikatakan tantangan karena memang membutuhkan kesabaran dan ketekunan untuk menyelesaikannya...hehehe

Nomor 1 (Aljabar)

Diketahui $a\sqrt{a}+ b\sqrt{b}=183$ dan $a\sqrt{b}+b\sqrt{a}=182$. Tentukan nilai dari $\begin{align*}\frac{9}{5}(a+b)\end{align*}$.
Sumber: Disini

Solusi

Misalkan: 

$\sqrt{a}=x \rightarrow x^{2}=a$

$\sqrt{b}=y\rightarrow y^{2}=b$

Maka persamaan semula menjadi:

$\begin{align*} x^{3}+y^{3}&=183\;\;\;\;\;\;....(1)\\ x^{2}y+y^{2}x=182\;\Rightarrow xy(x+y)&=182\;\;\;\;\;\;.... (2)\\ \end{align*}$

Kita gunakan identitas berikut.

$\begin{align*} (x+y)^{3}&=x^{3}+y^{3}+3(x^{2}y+xy^{2}) \end{align*}$ 

Substitusi persamaan $(1)$ dan $(2)$ ke identitas di atas, maka diperoleh:

$\begin{align*} (x+y)^{3}&=x^{3}+y^{3}+3(x^{2}y+xy^{2})\\ (x+y)^{3}&=183+3(182)\\ (x+y)^{3}&=729\\ x+y&=9\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;....(3) \end{align*}$

Substitusi persamaan $(3)$ ke persamaan $(2)$, diperoleh:

$\begin{align*} xy(x+y)&=182\\ xy(9)&=182\\ xy&=\frac{182}{9}\;\;\;\;\;\;\;\;....(4) \end{align*}$

Perhatikan juga:

$\begin{align*} x^{2}+y^{2}&=x^{2}+y^{2}\\ (x-y)^{2}+2xy&=(x+y)^{2}-2xy\\ (x-y)^{2}&=(x+y)^{2}-4xy\\ (x-y)^{2}&=9^{2}-4\left(\frac{182}{9} \right )\\ (x-y)^{2}&=\frac{1}{9}\\ x-y&=\pm\frac{1}{3}\\ \therefore x-y&=\frac{1}{3}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;....(5)\\ x-y&=-\frac{1}{3}\;\;\;\;\;\;\;....(6)\\ \end{align*}$ 

Eliminasi persamaan $(3)$ dan $(5)$, diperoleh nilai $\begin{align*} x=\frac{14}{3},\;\textrm{dan}\;y=\frac{13}{3} \end{align*}$ .

Eliminasi persamaan $(3)$ dan $(6)$, diperoleh nilai $\begin{align*} x=\frac{13}{3},\;\textrm{dan}\;y=\frac{14}{3} \end{align*}$.

Dengan demikian, diperoleh:

$\begin{align*} \frac{9}{5}(a+b)&=\frac{9}{5}(x^{2}+y^{2})\\ &=\frac{9}{5}\left ( \left ( \frac{13}{3}) \right )^{2}+\left ( \frac{13}{3}) \right )^{2} \right )\\ &=\frac{1}{5}(365)\\ &=73 \end{align*}$ 

Jadi, nilai $\begin{align*} \frac{9}{5}(a+b)&=73 \end{align*}$

Nomor 2 (Aljabar)

Misalkan $x$ dan $y$ adalah bilangan-bilangan real yang memenuhi persamaan:

$\begin{align*} \frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}=\frac{2}{xy+1} \end{align*}$ 

dengan $x\neq y$.

Tentukan nilai dari ekspresi berikut.

$\begin{align*} \frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{2}{xy+1} \end{align*}$

Pembahasan

$\begin{align*} \frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}&=\frac{2}{xy+1}\\ (y^{2}+1)(xy+1)+(x^{2}+1)(xy+1)&=2(x^{2}+1)(y^{2}+1)\\ xy^{3}+x^{3}y-2x^{2}y^{2}&=x^{2}-2xy+y^{2}\\ xy(x-y)^{2}&=(x-y)^{2}\\ xy&=1 \end{align*}$ 

Misalkan $\begin{align*} A&=\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{2}{xy+1}\\ \end{align*}$, maka:

$\begin{align*} A&=\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{2}{xy+1}\\ &=\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{2}{2}\\ &=\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+1\\ &=\frac{y^{2}+1+x^{2}+1}{(x^{2}+1)(y^{2}+1)}+1\\ &=\frac{x^{2}+y^{2}+2}{(xy)^{2}+x^{2}+y^{2}+1}+1\\ &=\frac{x^{2}+y^{2}+2}{x^{2}+y^{2}+2}+1\\ &=1+1\\ &=2 \end{align*}$

Jadi, $\begin{align*} \frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{2}{xy+1}=2 \end{align*}$ .

Nomor 3 (Aljabar)
Tentukan $x$ real yang memenuhi dari persamaan berikut.
$\begin{align*}x+\sqrt{(x+1)(x+2)}+\sqrt{(x+2)(x+3)}+\sqrt{(x+3)(x+1)}=4\end{align*}$

Pembahasan
Misalkan $y=x+2$, maka persamaan semula menjadi:
$\begin{align*} x+\sqrt{(x+1)(x+2)}+\sqrt{(x+2)(x+3)}+\sqrt{(x+3)(x+1)}&=4\\ x+\sqrt{y(y-1)}+\sqrt{(y+1)(y+2)}+\sqrt{(y+1)(y-1)}&=4\\ \end{align*}$ 

Tambahkan $2$ pada setiap ruas, maka diperoleh:
$\begin{align*} x+2+\sqrt{y(y-1)}+\sqrt{(y+1)(y+2)}+\sqrt{(y+1)(y-1)}&=6\\ y+\sqrt{y(y-1)}+\sqrt{(y+1)(y+2)}+\sqrt{(y+1)(y-1)}&=6\\ (\sqrt{y}+\sqrt{y+1})(\sqrt{y}+\sqrt{y-1})&=6 \end{align*}$  

Setiap ruas kalikan dengan $(\sqrt{y+1}-\sqrt{y})$, sehingga diperoleh:
$\begin{align*} (\sqrt{y}+\sqrt{y-1})&=6(\sqrt{y+1}-\sqrt{y})\\ \sqrt{y}+\sqrt{y-1}&=6\sqrt{y+1}-6\sqrt{y}\\ 7\sqrt{y}&=6\sqrt{y+1}-\sqrt{y-1}\\ \end{align*}$

Kemudian kuadratkan kedua ruas, sehingga diperoleh:
$\begin{align*} (7\sqrt{y})^{2}&=(6\sqrt{y+1}-\sqrt{y-1})^{2}\\ 49y&=36(y+1)-12\sqrt{(y^{2}-1)}+(y-1)\\ 49y&=36y+36-12\sqrt{y^{2}-1}+y-1\\ 12y-35&=-12\sqrt{y^{2}-1} \end{align*}$  

Kuadratkan sekali lagi kedua ruas agar bentuk akar di ruas kanan hilang, sehingga diperoleh:

Baca Juga

$\begin{align*} (12y-35)^{2}&=(-12\sqrt{y^{2}-1})^{2}\\ (12y)^{2}-2.12.35.y+35^{2}&=12^{2}(y^{2}-1)\\ (12y)^{2}-2.12.35.y+35^{2}&=(12y)^{2}-12^{2}\\ 35^{2}+12^{2}&=2.12.35y\\ 1369&=840y\\ y&=\frac{1369}{840} \end{align*}$ 

Kembalikan ke pemisalan untuk memperoleh nilai $x$.
$\begin{align*} y&=\frac{1369}{840}\\ x+2&=\frac{1369}{840}\\ x&=-\frac{311}{840} \end{align*}$

Jadi, $\begin{align*} x&=-\frac{311}{840} \end{align*}$  

Nomor 4 (Ajabar)
Tentukan junlah solusi positf dari persamaan:

$\frac{1}{x^{2}-10x-29}+\frac{1}{x^{2}-10x-45}-\frac{2}{x^{2}-10x-69}=0$

(Sumber Soal: Angkur Sharma_Tempomath)

Pembahasan
Misalkan $y=x^{2}-10x-29$, maka $\begin{align*}x^{2}-10x-45&=y-16,\;\; \textrm{dan}\;\;x^{2}-10x-69&=y-40\end{align*}$

Dari pemisalan tersebut, maka bentuk persamaan semula menjadi:
$\begin{align*}\frac{1}{y}+\frac{1}{y-16}-\frac{2}{y-40}&=0\\(y-16)(y-40)+y(y-40)-2y(y-16)&=0\\-64y&=640\\y&=10\end{align*}$

Substitusi kembali $y=10$ ke pemisalan tadi sehingga diperoleh:
$\begin{align*}x^{2}-10x-29&=y\\x^{2}-10x-29&=10\\x^{2}-10x-39&=0\\(x+3)(x-13)&=0\\x=-3\;\;\;atau\;\;x&=13\end{align*}$
Oleh karena hanya memiliki dua solusi, maka jumlah solusi postif yang memenuhi sama dengan $13$.

Nomor 5
Diketahui $x$, $y$, dan $z$ adalah bilangan-bilangan real. Tentukan nilai terbesar $z$ sehingga $x+y+z=5$ dan $xy+yz+xz=3$.
(Sumber: Muhammad Hafid, MATEMATIKA-FISIKA,11-04-2018)

Pembahasan
$\begin{align*}x+y+z&=5\;\;\;\;\;....(1)\\xy+yz+xz&=3\;\;\;\;\;....(2)\end{align*}$

Pada persamaan $(1)$ $x+y+z=5$ ekuivalen dengan $x+y=5-z$ atau $x=5-y-z$.
Perhatikan pula pada persamaan $(2)$.
$\begin{align*}xy+yz+xz&=3\\y(x+z)+xz&=3\\y(5-y)+(5-y-z)z&=3\\5y-5y^{2}+5z-yz-z^{2}&=3\\y^{2}-5y+yz+z^{2}-5z+3&=0\\y^{2}-(5-z)y+(z^{2}-5z+3)&=0\;\;\;\;\;....(3)\end{align*}$
Persamaan $(3)$ merupakan persamaan kuadrat dalam variabel $y$. Agar persamaan kuadrat tersebut memiliki solusi real,maka $D≥0$.
$\begin{align*}D&≥0\\b^{2}-4ac&≥0\\(-(5-z))^{2}-4(1)(z^{2}-5z+3)&≥0\\-3z^{2}+10z+13&≥0\\3z^{2}-10z-13&≤0\\(z+1)(3z-13)≤0\\-1≤z≤\frac{13}{3}\end{align*}$
Dengan demikian,nilai terbesar (maksimum) $z$ adalah $\begin{align*}\frac{13}{3}\end{align*}$.

Nomor 6
Sebuah fungsi $f(x)$ memenuhi $f(1)=3600$, dan

 $f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)=n^{2}f(n)$

untuk setiap bilangan bulat $n>1$. Berapakah nilai dari $f(9)$?
Sumber: Soumil Jain, Quant100,16 - 04 - 2018

Pembahasan

Nomor 7
Diketahui $p(x)=x^{2}+ax+b$ adalah persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisiennya bernilai real. Misalkan terdapat bilangan real $s≠t$ sedemikian yang memenuhi $p(t)=t$ dan $p(s)=s$. Buktikan bahwa $b-st$ adalah akar dari persamaan kuadrat $x^{2}+ax+b-st=0$.

Pembahasan
$\begin{align*}p(t)=t ⇒ t^{2}+at+b=t\;\;\;\;\;\;....(1)\end{align*}$
$\begin{align*}p(s)=s⇒s^{2}+as+b=s\;\;\;\;....(2)\end{align*}$
Jumlahkan kedua persamaan, kita peroleh:
$s(s+a)+t(t + a)+2b=s+t \;\;\;\;\;....(3)$
Selanjutnya, kurangkan kedua persamaan kemudian faktorkan, kita peroleh:
$\begin{align*}(s^{2}-t^{2})+a(s-t)&=s-t\\(s^{2}+t^{2})+a(s-t)-(s-t)&=0\\(a+s+t+1)(s-t)&=0\\a+s+t+1=0\;\textrm{atau}\;s-t&=0\end{align*}$
Oleh karena $s≠t$, maka $a+s+t+1=0$ memenuhi.
Dari persamaan $a+s+t+1=0$, didapat:
$\begin{align*}a+s&=-t-1\;\;\;....(*)\\a+t&=-1-s\;\;\;....(**)\\s+t&=-1-a\;\;\;....(***)\end{align*}$

Substitusi persamaan $(*)$, $(**)$, dan $(***)$ ke persamaan $(3)$.
$\begin{align*}s(a+s)+t(a+t)+2b&=s+t\\s(-t-1)+t(-s-1)+2b&=s+t\\-st-s-st-t+2b&=s+t\\-2st-(s+t)+2b&=s+t\\b-st&=s+t\\b-st&=-1-a\\1+a+b-st&=0\end{align*}$

Kita akan tunjukkan bahwa $b-st$ adalah akar dari $Q(x)=x^{2}+ax+b-st$. Substitusi $x=1$ ke $Q(x)$, diperoleh:
$\begin{align*}Q(1)&=1+a+b-st\\Q(1)&=0\end{align*}$.
Jadi, $x_{1}=1$ adalah akar dari $Q(x)$. Misalkan akar lainnya adalah $x_{2}$, maka dari sifat hasil kali akar-akar PK, diperoleh:
$\begin{align*}x_{1}.x_{2}&=\frac{b-st}{1}\\1.x_{2}&=b-st\\x_{2}&=b-st\end{align*}$
Jadi, terbukti bahwa $b-st$ adalah akar dari persamasn kuadrat $x^{2}+ax+b-st=0$.

Nomor 8
Tentukan banyak pasangan $(x,y)$ untuk $x$ dan $y$ yang memenuhi persamaan $x^{2}-y^{2}-2y-13=0$.

Pembahasan
$\begin{align*}x^{2}-y^{2}-2y-13&=0\\x^{2}-(y+1)^{2}&=13\\(x+y+1)(x-y-1)&=12\end{align*}$
Persamaan terakhir akan memiliki solusi bulat jika memenuhi sistem persamaan berikut:
$\begin{align*}(\textrm{i})\;\;x+y+1&=6\\x-y-1&=2\\(\textrm{ii})\;\;x+y+1&=-6\\x-y-1&=-2\\(\textrm{iii})\;\;x+y+1&=2\\x-y-1&=6\\(\textrm{iv})\;\;x+y+1&=-2\\x-y-1&=-6\end{align*}$
Dengan menyelesaikan siatem persamaan (i), (ii), (iii), dan (iv) di atas diperoleh penyelesaian berturut-turut ${(4,1),(-4,-3),(4,-3),(-4,1)}$. Jadi, ada $4$ pasang $(x,y)$ bulat yang memenuhi persamaan $x^{2}-y^{2}-2y-13=0$.

Cukup sekian...
Jika ditemukan kesalahan dalam penulisan atau pun pembahsannya, segera dikomentari di kolom komentar di bawah agar secepatnya diperbaiki.
Semoga bermanfaat.
Salam Matematika..

ttd
Yan Fardian