- Berikut adalah contoh-contoh soal tantangan. Dikatakan tantangan karena memang membutuhkan kesabaran dan ketekunan untuk menyelesaikannya...hehehe
Nomor 1 (Aljabar)
Solusi
Misalkan:
√a=x→x2=a
√b=y→y2=b
Maka persamaan semula menjadi:
x3+y3=183....(1)x2y+y2x=182⇒xy(x+y)=182....(2)
Kita gunakan identitas berikut.
(x+y)3=x3+y3+3(x2y+xy2)
Substitusi persamaan (1) dan (2) ke identitas di atas, maka diperoleh:
(x+y)3=x3+y3+3(x2y+xy2)(x+y)3=183+3(182)(x+y)3=729x+y=9....(3)
Substitusi persamaan (3) ke persamaan (2), diperoleh:
xy(x+y)=182xy(9)=182xy=1829....(4)
Perhatikan juga:
x2+y2=x2+y2(x−y)2+2xy=(x+y)2−2xy(x−y)2=(x+y)2−4xy(x−y)2=92−4(1829)(x−y)2=19x−y=±13∴
Eliminasi persamaan (3) dan (5), diperoleh nilai \begin{align*} x=\frac{14}{3},\;\textrm{dan}\;y=\frac{13}{3} \end{align*} .
Eliminasi persamaan (3) dan (6), diperoleh nilai \begin{align*} x=\frac{13}{3},\;\textrm{dan}\;y=\frac{14}{3} \end{align*}.
Dengan demikian, diperoleh:
\begin{align*} \frac{9}{5}(a+b)&=\frac{9}{5}(x^{2}+y^{2})\\ &=\frac{9}{5}\left ( \left ( \frac{13}{3}) \right )^{2}+\left ( \frac{13}{3}) \right )^{2} \right )\\ &=\frac{1}{5}(365)\\ &=73 \end{align*}
Jadi, nilai \begin{align*} \frac{9}{5}(a+b)&=73 \end{align*}
Nomor 2 (Aljabar)
Misalkan x dan y adalah bilangan-bilangan real yang memenuhi persamaan:
\begin{align*} \frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}=\frac{2}{xy+1} \end{align*}
dengan x\neq y.
Tentukan nilai dari ekspresi berikut.
\begin{align*} \frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{2}{xy+1} \end{align*}
Pembahasan
\begin{align*} \frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}&=\frac{2}{xy+1}\\ (y^{2}+1)(xy+1)+(x^{2}+1)(xy+1)&=2(x^{2}+1)(y^{2}+1)\\ xy^{3}+x^{3}y-2x^{2}y^{2}&=x^{2}-2xy+y^{2}\\ xy(x-y)^{2}&=(x-y)^{2}\\ xy&=1 \end{align*}
Misalkan \begin{align*} A&=\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{2}{xy+1}\\ \end{align*}, maka:
\begin{align*} A&=\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{2}{xy+1}\\ &=\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{2}{2}\\ &=\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+1\\ &=\frac{y^{2}+1+x^{2}+1}{(x^{2}+1)(y^{2}+1)}+1\\ &=\frac{x^{2}+y^{2}+2}{(xy)^{2}+x^{2}+y^{2}+1}+1\\ &=\frac{x^{2}+y^{2}+2}{x^{2}+y^{2}+2}+1\\ &=1+1\\ &=2 \end{align*}
Jadi, \begin{align*} \frac{1}{x^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+1}+\frac{2}{xy+1}=2 \end{align*} .
Nomor 3 (Aljabar)
Tentukan x real yang memenuhi dari persamaan berikut.
\begin{align*}x+\sqrt{(x+1)(x+2)}+\sqrt{(x+2)(x+3)}+\sqrt{(x+3)(x+1)}=4\end{align*}
Pembahasan
Misalkan y=x+2, maka persamaan semula menjadi:
\begin{align*} x+\sqrt{(x+1)(x+2)}+\sqrt{(x+2)(x+3)}+\sqrt{(x+3)(x+1)}&=4\\ x+\sqrt{y(y-1)}+\sqrt{(y+1)(y+2)}+\sqrt{(y+1)(y-1)}&=4\\ \end{align*}
Tambahkan 2 pada setiap ruas, maka diperoleh:
\begin{align*} x+2+\sqrt{y(y-1)}+\sqrt{(y+1)(y+2)}+\sqrt{(y+1)(y-1)}&=6\\ y+\sqrt{y(y-1)}+\sqrt{(y+1)(y+2)}+\sqrt{(y+1)(y-1)}&=6\\ (\sqrt{y}+\sqrt{y+1})(\sqrt{y}+\sqrt{y-1})&=6 \end{align*}
Setiap ruas kalikan dengan (\sqrt{y+1}-\sqrt{y}), sehingga diperoleh:
\begin{align*} (\sqrt{y}+\sqrt{y-1})&=6(\sqrt{y+1}-\sqrt{y})\\ \sqrt{y}+\sqrt{y-1}&=6\sqrt{y+1}-6\sqrt{y}\\ 7\sqrt{y}&=6\sqrt{y+1}-\sqrt{y-1}\\ \end{align*}
Kemudian kuadratkan kedua ruas, sehingga diperoleh:
\begin{align*} (7\sqrt{y})^{2}&=(6\sqrt{y+1}-\sqrt{y-1})^{2}\\ 49y&=36(y+1)-12\sqrt{(y^{2}-1)}+(y-1)\\ 49y&=36y+36-12\sqrt{y^{2}-1}+y-1\\ 12y-35&=-12\sqrt{y^{2}-1} \end{align*}
Kuadratkan sekali lagi kedua ruas agar bentuk akar di ruas kanan hilang, sehingga diperoleh:
\begin{align*} (12y-35)^{2}&=(-12\sqrt{y^{2}-1})^{2}\\ (12y)^{2}-2.12.35.y+35^{2}&=12^{2}(y^{2}-1)\\ (12y)^{2}-2.12.35.y+35^{2}&=(12y)^{2}-12^{2}\\ 35^{2}+12^{2}&=2.12.35y\\ 1369&=840y\\ y&=\frac{1369}{840} \end{align*}
Kembalikan ke pemisalan untuk memperoleh nilai x.
\begin{align*} y&=\frac{1369}{840}\\ x+2&=\frac{1369}{840}\\ x&=-\frac{311}{840} \end{align*}
Jadi, \begin{align*} x&=-\frac{311}{840} \end{align*}
Nomor 4 (Ajabar)
Tentukan junlah solusi positf dari persamaan:
Pembahasan
Misalkan y=x^{2}-10x-29, maka \begin{align*}x^{2}-10x-45&=y-16,\;\; \textrm{dan}\;\;x^{2}-10x-69&=y-40\end{align*}
Dari pemisalan tersebut, maka bentuk persamaan semula menjadi:
\begin{align*}\frac{1}{y}+\frac{1}{y-16}-\frac{2}{y-40}&=0\\(y-16)(y-40)+y(y-40)-2y(y-16)&=0\\-64y&=640\\y&=10\end{align*}
Substitusi kembali y=10 ke pemisalan tadi sehingga diperoleh:
\begin{align*}x^{2}-10x-29&=y\\x^{2}-10x-29&=10\\x^{2}-10x-39&=0\\(x+3)(x-13)&=0\\x=-3\;\;\;atau\;\;x&=13\end{align*}
Oleh karena hanya memiliki dua solusi, maka jumlah solusi postif yang memenuhi sama dengan 13.
Nomor 5
Diketahui x, y, dan z adalah bilangan-bilangan real. Tentukan nilai terbesar z sehingga x+y+z=5 dan xy+yz+xz=3.
(Sumber: Muhammad Hafid, MATEMATIKA-FISIKA,11-04-2018)
Pembahasan
\begin{align*}x+y+z&=5\;\;\;\;\;....(1)\\xy+yz+xz&=3\;\;\;\;\;....(2)\end{align*}
Pada persamaan (1) x+y+z=5 ekuivalen dengan x+y=5-z atau x=5-y-z.
Perhatikan pula pada persamaan (2).
\begin{align*}xy+yz+xz&=3\\y(x+z)+xz&=3\\y(5-y)+(5-y-z)z&=3\\5y-5y^{2}+5z-yz-z^{2}&=3\\y^{2}-5y+yz+z^{2}-5z+3&=0\\y^{2}-(5-z)y+(z^{2}-5z+3)&=0\;\;\;\;\;....(3)\end{align*}
Persamaan (3) merupakan persamaan kuadrat dalam variabel y. Agar persamaan kuadrat tersebut memiliki solusi real,maka D≥0.
\begin{align*}D&≥0\\b^{2}-4ac&≥0\\(-(5-z))^{2}-4(1)(z^{2}-5z+3)&≥0\\-3z^{2}+10z+13&≥0\\3z^{2}-10z-13&≤0\\(z+1)(3z-13)≤0\\-1≤z≤\frac{13}{3}\end{align*}
Dengan demikian,nilai terbesar (maksimum) z adalah \begin{align*}\frac{13}{3}\end{align*}.
Nomor 6
Sebuah fungsi f(x) memenuhi f(1)=3600, dan
Sumber: Soumil Jain, Quant100,16 - 04 - 2018
Pembahasan
Nomor 7
Diketahui p(x)=x^{2}+ax+b adalah persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisiennya bernilai real. Misalkan terdapat bilangan real s≠t sedemikian yang memenuhi p(t)=t dan p(s)=s. Buktikan bahwa b-st adalah akar dari persamaan kuadrat x^{2}+ax+b-st=0.
Pembahasan
\begin{align*}p(t)=t ⇒ t^{2}+at+b=t\;\;\;\;\;\;....(1)\end{align*}
\begin{align*}p(s)=s⇒s^{2}+as+b=s\;\;\;\;....(2)\end{align*}
Jumlahkan kedua persamaan, kita peroleh:
s(s+a)+t(t + a)+2b=s+t \;\;\;\;\;....(3)
Selanjutnya, kurangkan kedua persamaan kemudian faktorkan, kita peroleh:
\begin{align*}(s^{2}-t^{2})+a(s-t)&=s-t\\(s^{2}+t^{2})+a(s-t)-(s-t)&=0\\(a+s+t+1)(s-t)&=0\\a+s+t+1=0\;\textrm{atau}\;s-t&=0\end{align*}
Oleh karena s≠t, maka a+s+t+1=0 memenuhi.
Dari persamaan a+s+t+1=0, didapat:
\begin{align*}a+s&=-t-1\;\;\;....(*)\\a+t&=-1-s\;\;\;....(**)\\s+t&=-1-a\;\;\;....(***)\end{align*}
Substitusi persamaan (*), (**), dan (***) ke persamaan (3).
\begin{align*}s(a+s)+t(a+t)+2b&=s+t\\s(-t-1)+t(-s-1)+2b&=s+t\\-st-s-st-t+2b&=s+t\\-2st-(s+t)+2b&=s+t\\b-st&=s+t\\b-st&=-1-a\\1+a+b-st&=0\end{align*}
Kita akan tunjukkan bahwa b-st adalah akar dari Q(x)=x^{2}+ax+b-st. Substitusi x=1 ke Q(x), diperoleh:
\begin{align*}Q(1)&=1+a+b-st\\Q(1)&=0\end{align*}.
Jadi, x_{1}=1 adalah akar dari Q(x). Misalkan akar lainnya adalah x_{2}, maka dari sifat hasil kali akar-akar PK, diperoleh:
\begin{align*}x_{1}.x_{2}&=\frac{b-st}{1}\\1.x_{2}&=b-st\\x_{2}&=b-st\end{align*}
Jadi, terbukti bahwa b-st adalah akar dari persamasn kuadrat x^{2}+ax+b-st=0.
Nomor 8
Tentukan banyak pasangan (x,y) untuk x dan y yang memenuhi persamaan x^{2}-y^{2}-2y-13=0.
Pembahasan
\begin{align*}x^{2}-y^{2}-2y-13&=0\\x^{2}-(y+1)^{2}&=13\\(x+y+1)(x-y-1)&=12\end{align*}
Persamaan terakhir akan memiliki solusi bulat jika memenuhi sistem persamaan berikut:
\begin{align*}(\textrm{i})\;\;x+y+1&=6\\x-y-1&=2\\(\textrm{ii})\;\;x+y+1&=-6\\x-y-1&=-2\\(\textrm{iii})\;\;x+y+1&=2\\x-y-1&=6\\(\textrm{iv})\;\;x+y+1&=-2\\x-y-1&=-6\end{align*}
Dengan menyelesaikan siatem persamaan (i), (ii), (iii), dan (iv) di atas diperoleh penyelesaian berturut-turut {(4,1),(-4,-3),(4,-3),(-4,1)}. Jadi, ada 4 pasang (x,y) bulat yang memenuhi persamaan x^{2}-y^{2}-2y-13=0.
Cukup sekian...
Jika ditemukan kesalahan dalam penulisan atau pun pembahsannya, segera dikomentari di kolom komentar di bawah agar secepatnya diperbaiki.
Semoga bermanfaat.
Salam Matematika..
ttd
Yan Fardian
Kembalikan ke pemisalan untuk memperoleh nilai x.
\begin{align*} y&=\frac{1369}{840}\\ x+2&=\frac{1369}{840}\\ x&=-\frac{311}{840} \end{align*}
Jadi, \begin{align*} x&=-\frac{311}{840} \end{align*}
Nomor 4 (Ajabar)
Tentukan junlah solusi positf dari persamaan:
\frac{1}{x^{2}-10x-29}+\frac{1}{x^{2}-10x-45}-\frac{2}{x^{2}-10x-69}=0
(Sumber Soal: Angkur Sharma_Tempomath)Pembahasan
Misalkan y=x^{2}-10x-29, maka \begin{align*}x^{2}-10x-45&=y-16,\;\; \textrm{dan}\;\;x^{2}-10x-69&=y-40\end{align*}
Dari pemisalan tersebut, maka bentuk persamaan semula menjadi:
\begin{align*}\frac{1}{y}+\frac{1}{y-16}-\frac{2}{y-40}&=0\\(y-16)(y-40)+y(y-40)-2y(y-16)&=0\\-64y&=640\\y&=10\end{align*}
Substitusi kembali y=10 ke pemisalan tadi sehingga diperoleh:
\begin{align*}x^{2}-10x-29&=y\\x^{2}-10x-29&=10\\x^{2}-10x-39&=0\\(x+3)(x-13)&=0\\x=-3\;\;\;atau\;\;x&=13\end{align*}
Oleh karena hanya memiliki dua solusi, maka jumlah solusi postif yang memenuhi sama dengan 13.
Nomor 5
Diketahui x, y, dan z adalah bilangan-bilangan real. Tentukan nilai terbesar z sehingga x+y+z=5 dan xy+yz+xz=3.
(Sumber: Muhammad Hafid, MATEMATIKA-FISIKA,11-04-2018)
Pembahasan
\begin{align*}x+y+z&=5\;\;\;\;\;....(1)\\xy+yz+xz&=3\;\;\;\;\;....(2)\end{align*}
Pada persamaan (1) x+y+z=5 ekuivalen dengan x+y=5-z atau x=5-y-z.
Perhatikan pula pada persamaan (2).
\begin{align*}xy+yz+xz&=3\\y(x+z)+xz&=3\\y(5-y)+(5-y-z)z&=3\\5y-5y^{2}+5z-yz-z^{2}&=3\\y^{2}-5y+yz+z^{2}-5z+3&=0\\y^{2}-(5-z)y+(z^{2}-5z+3)&=0\;\;\;\;\;....(3)\end{align*}
Persamaan (3) merupakan persamaan kuadrat dalam variabel y. Agar persamaan kuadrat tersebut memiliki solusi real,maka D≥0.
\begin{align*}D&≥0\\b^{2}-4ac&≥0\\(-(5-z))^{2}-4(1)(z^{2}-5z+3)&≥0\\-3z^{2}+10z+13&≥0\\3z^{2}-10z-13&≤0\\(z+1)(3z-13)≤0\\-1≤z≤\frac{13}{3}\end{align*}
Dengan demikian,nilai terbesar (maksimum) z adalah \begin{align*}\frac{13}{3}\end{align*}.
Nomor 6
Sebuah fungsi f(x) memenuhi f(1)=3600, dan
f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)=n^{2}f(n)
untuk setiap bilangan bulat n>1. Berapakah nilai dari f(9)?Sumber: Soumil Jain, Quant100,16 - 04 - 2018
Pembahasan
Nomor 7
Diketahui p(x)=x^{2}+ax+b adalah persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisiennya bernilai real. Misalkan terdapat bilangan real s≠t sedemikian yang memenuhi p(t)=t dan p(s)=s. Buktikan bahwa b-st adalah akar dari persamaan kuadrat x^{2}+ax+b-st=0.
Pembahasan
\begin{align*}p(t)=t ⇒ t^{2}+at+b=t\;\;\;\;\;\;....(1)\end{align*}
\begin{align*}p(s)=s⇒s^{2}+as+b=s\;\;\;\;....(2)\end{align*}
Jumlahkan kedua persamaan, kita peroleh:
s(s+a)+t(t + a)+2b=s+t \;\;\;\;\;....(3)
Selanjutnya, kurangkan kedua persamaan kemudian faktorkan, kita peroleh:
\begin{align*}(s^{2}-t^{2})+a(s-t)&=s-t\\(s^{2}+t^{2})+a(s-t)-(s-t)&=0\\(a+s+t+1)(s-t)&=0\\a+s+t+1=0\;\textrm{atau}\;s-t&=0\end{align*}
Oleh karena s≠t, maka a+s+t+1=0 memenuhi.
Dari persamaan a+s+t+1=0, didapat:
\begin{align*}a+s&=-t-1\;\;\;....(*)\\a+t&=-1-s\;\;\;....(**)\\s+t&=-1-a\;\;\;....(***)\end{align*}
Substitusi persamaan (*), (**), dan (***) ke persamaan (3).
\begin{align*}s(a+s)+t(a+t)+2b&=s+t\\s(-t-1)+t(-s-1)+2b&=s+t\\-st-s-st-t+2b&=s+t\\-2st-(s+t)+2b&=s+t\\b-st&=s+t\\b-st&=-1-a\\1+a+b-st&=0\end{align*}
Kita akan tunjukkan bahwa b-st adalah akar dari Q(x)=x^{2}+ax+b-st. Substitusi x=1 ke Q(x), diperoleh:
\begin{align*}Q(1)&=1+a+b-st\\Q(1)&=0\end{align*}.
Jadi, x_{1}=1 adalah akar dari Q(x). Misalkan akar lainnya adalah x_{2}, maka dari sifat hasil kali akar-akar PK, diperoleh:
\begin{align*}x_{1}.x_{2}&=\frac{b-st}{1}\\1.x_{2}&=b-st\\x_{2}&=b-st\end{align*}
Jadi, terbukti bahwa b-st adalah akar dari persamasn kuadrat x^{2}+ax+b-st=0.
Nomor 8
Tentukan banyak pasangan (x,y) untuk x dan y yang memenuhi persamaan x^{2}-y^{2}-2y-13=0.
Pembahasan
\begin{align*}x^{2}-y^{2}-2y-13&=0\\x^{2}-(y+1)^{2}&=13\\(x+y+1)(x-y-1)&=12\end{align*}
Persamaan terakhir akan memiliki solusi bulat jika memenuhi sistem persamaan berikut:
\begin{align*}(\textrm{i})\;\;x+y+1&=6\\x-y-1&=2\\(\textrm{ii})\;\;x+y+1&=-6\\x-y-1&=-2\\(\textrm{iii})\;\;x+y+1&=2\\x-y-1&=6\\(\textrm{iv})\;\;x+y+1&=-2\\x-y-1&=-6\end{align*}
Dengan menyelesaikan siatem persamaan (i), (ii), (iii), dan (iv) di atas diperoleh penyelesaian berturut-turut {(4,1),(-4,-3),(4,-3),(-4,1)}. Jadi, ada 4 pasang (x,y) bulat yang memenuhi persamaan x^{2}-y^{2}-2y-13=0.
Cukup sekian...
Jika ditemukan kesalahan dalam penulisan atau pun pembahsannya, segera dikomentari di kolom komentar di bawah agar secepatnya diperbaiki.
Semoga bermanfaat.
Salam Matematika..
ttd
Yan Fardian