Soal dan Pembahasan Ujian Nasional SMA Tahun 2017 Program IPA Bagian II

Pada kesempatanan kali ini kembali penulis mncoba memberikan pembahasan soal ujian nasional tahun 2017 tingkat SMA program IPA yang merupakan kelanjutan dari pembahasan soal pada postingan terdahulu. Dalam pembahasan ini, penulis tidak memberikan Trik Cepat dalam mengerjakan soal, namum lebih mengutamakan urutan langkah-langkah dalam penyelesaian soal.

Nomor 11

Hadi, Yuda, dan Toni menabung di bank. Jumlah uang tabungan Yuda dan dua kali uang Toni, Rp150.000,00 lebih banyak dari uang tabungan Hadi. Jumlah uang tabungan Hadi dan Toni adalah Rp1.450.000,00. Jumlah uang tabungan mereka bertiga Rp2.000.000,00. Jumlah uang Yuda dan Toni adalah ....

(A) Rp1.650.000,00
(B) Rp1.450.000,00
(C) Rp1.200.000,00
(D) Rp900.000,00
(E) Rp750.000,00

Pembahasan

Misalkan $a$ uang Hadi, $b$ uang Yuda, dan $c$ uang Toni. Kemudian kita buat model matematika yang sesuai berdasarkan keterangan dari soal. Setelah itu kita selesaikan dengan metode sistem persamaan linier tiga variabel.
$$\begin{align} b+2c=a+150.000\rightarrow b+2c-a&=150.000\\ a+c&=1.450.000\\ a+b+c&=2.000.000 \end{align}$$  
Substitusi pers.$(2)$ ke pers.$(3)$, diperoleh nilai $b$ sebagai berikut.
$\begin{align*} a+b+c&=2.000.000\\ 1.450.000+b&=2.000.000\\ b&=550.000 \end{align*}$
Jumlahkan pers.$(1)$ dan $(2)$.
$\underline{\begin{align*} b+2c-a &=\;\;\;150.000 \\ a+c&=1.450.000 \end{align*}}_{-}\\ \begin{align*} b+3c&=1.600.000\;\;\;\;\;\;(4) \end{align*}$

Substitusi nilai $b=550.000$ ke pers.$4$ sebagai berikut.
$\begin{align*} b+3c&=1.600.000\\ 550.000+3c&=1.600.000\\ 3c&=1.050.000\\ c&=350.000 \end{align*}$
Sekarang kita telah memperoleh uang Yuda dan Toni berturut-turut Rp$550.000$ dan Rp$350.000$. Sehingga jumlah uang Yuda dan Toni Rp$550.000,00$ $+$ Rp$350.000,00=$ Rp$900.000,00$.

Kunci D

Nomor 12

Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian. Pakaian jenis A memerlukan kain katun 1 m dan kain sutera 2 m, sedangkan pakaian jenis B memerlukan kain katun 2,5 m dan dan kain sutera 1,5 m. Bahan katun yang tersedia 70 m dan kain sutera 84 m. Pakaian jenis A dijual dengan laba Rp50.000,00/buah, sedangkan pakaian jenis B dijual dengan laba Rp60.000,00/buah. Agar penjahit memperoleh laba maksimum, banyak pakaian jenis A dan jenis B yang terjual berturut-turut adalah ....

(A) 20 dan 16
(B) 26 dan 20
(C) 30 dan 6
(D) 16 dan 30
(E) 30 dan 16

Pembahasan

Data dari permasalahan di atas dapat dinyatakan seperti pada tabel berikut.

Dari tabel tersebut kita memperoleh hubungan sebagai berikut.
$\begin{align*} x+2,5y&\leq 70\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)\\ 2x+1,5y&\leqslant 84\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\\ x&\geqslant 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)\\ y&\geqslant 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4) \end{align*}$
Koordinat titik potong pertidaksamaan $(1)$ dan $(2)$ dapat ditentukan dengan metode eliminasi atau substitusi. Misalkan kita gunakan metode substitusi.
Dari persamaan $\begin{align*} x+2,5y&\leq 70\Leftrightarrow x&=70-2,5y \end{align*}$  disubstitusi ke persamaan $(2)$.
$\begin{align*} 2x+1,5y&=84\\ 2(70-2,5y)+1,5y&=84\\ 140-5y+1,5y&=84\\ -3,5y&=-56\\ y&=16 \end{align*}$
Nilai $y=16$ disubstitusi, misalnya ke $x+2,5y= 70$ sehingga diperoleh nillai $x$.
$\begin{align*} 2x+1,5y&=84\\ 2x+1,5(16)&=84\\ 2x+24&=84\\ 2x&=60\\ x&=30 \end{align*}$

Jadi, supaya penjahit memperoleh keuntungan maksimum, banyak pakaian jenis $A$ dan $B$ terjual berturut-turut $30$ buah dan $16$ buah.

Kunci E

Nomor 13

Nilai dari $2x-y$ dari persamaan matriks $\begin{align*} \begin{pmatrix} 5 & 3x \\ y-1 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 & 1-2y \\ 2x & 6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -4 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\end{align*}$  adalah ....

(A) $-7$
(B) $-1$
(C) $1$
(D) $7$
(E) $8$

Pembahasan

$\begin{align*}\begin{pmatrix} 5 & 3x \\ y-1 & 2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 7 & 1-2y \\ 2x & 6 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -4 & 8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\\\ \begin{pmatrix} 5-7 & 3+2y \\ y-2x-1 & 2-6 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 0-2 & 18+2 \\ 0-8 & -12+8 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} -2 & 3+2y \\ {\color{Red} y-2x-1} & -4 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} -2 & 20 \\ {\color{Red} -8} & -4 \end{pmatrix} \end{align*}$
Dengan kesamaan matrik diperoleh:
$\begin{align*} y-2x-1&=-8\\ -2x+y&=-7\;\;\;..(\mathrm{bagi\;dengan}\;-1)\\ 2x-y&=7 \end{align*}$ 
Jadi, nilai dari $2x-y$ adalah $7$.

Kunci D

Nomor 14

Diketahui matriks $K=\begin{pmatrix} k & l \\ m & n \end{pmatrix}, A=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 8 \\ -2 \end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},\textrm{dan}\; D=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}$  . Jika $KA=B$, $KC=D$, nilai dari $\begin{align*} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}$ adalah ....

(A) $\begin{align*} \begin{pmatrix} -6 \\ 5 \end{pmatrix} \end{align*}$
(B) $\begin{align*} \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix} \end{align*}$
(C) $\begin{align*} \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \end{pmatrix} \end{align*}$
(D) $\begin{align*} \begin{pmatrix} 12 \\ -5 \end{pmatrix} \end{align*}$
(E) $\begin{align*} \begin{pmatrix} -14 \\ 7 \end{pmatrix} \end{align*}$

Pembahasan
$\begin{align*} KA&=B\\ \begin{pmatrix} k & l \\ m & n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 8 \\ -2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 2k \\ 2m \end{pmatrix}&= \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \end{pmatrix} \end{align*}$
$\begin{align*} 2k&=8\;\;\;\Leftrightarrow k=4\\ 2m&=-2\Leftrightarrow m=-1 \end{align*}$ 

$\begin{align*} KC&=D\\ \begin{pmatrix} k & l \\ m & n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\\ k+l&=6\;\;\;\;....(*)\\ m+n&=2\;\;\;\;....(**) \end{align*}$ 

Substitusi $k=4$ dan $m=-1$ ke persamaan $(*)$ dan $(**)$.
$\begin{align*} k+l&=6\;\;\;\;\;\;....(*)\\ 4+l&=6\\ l&=2\\ m+n&=2\;\;\;\;\;\;....(**)\\ -1+n&=2\\ n&=3 \end{align*}$ 
Sehingga matriks $\begin{align*} K=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \end{align*}$ .
$\begin{align*} K\begin{pmatrix} -2 \\ 11 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} -6 \\ 5 \end{pmatrix} \end{align*}$ 

Kunci A

Baca Juga

Nomor 15
Suatu barisan geometri: $16,8,4,2,...$, maka jumlah $n$ suku pertama adalah ....
(A) $\begin{align*} 2^{n-5}-32 \end{align*}$
(B) $\begin{align*} 2^{5-n}-32 \end{align*}$
(C) $\begin{align*} 32-2^{5-n}\end{align*}$
(D) $\begin{align*} 32-2^{n-5}\end{align*}$
(E) $\begin{align*} 32-\left(\frac{1}{2}\right)^{5-n} \end{align*}$

Pembahasan
Dari barisan geometri diperoleh:
$\begin{align*} U_{1}&=a=16\\ r &=\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\\ \end{align*}$
Oleh karena rasio $\begin{align*} r=\frac{1}{2}<1 \end{align*}$ , maka jumlah $n$ suku pertama ditentukan oleh rumus:

$\begin{align*} S_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r} \end{align*}$

Sehingga,

$\begin{align*} S_{n}&=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\\ &=\frac{16\left(1-(\frac{1}{2})^{n}\right)}{1-\frac{1}{2}}\\ &=\frac{16(1-2^{-n})}{\frac{1}{2}}\\ &=32(1-2^{-n})\\&=32-32.2^{-n}\\&=32-2^{5}.2^{-n}\\&=32-2^{5-n} \end{align*}$ 

Jadi, jumlah $n$ suku pertama barisan geometri tersebut adalah $$\begin{align*}S_{n}=32-2^{5-n}\end{align*}$$

Kunci C

Nomor 16

Adit menabung setiap bulan di bank. Pada bulan pertama Adit menabung sebesar Rp80.000,00 dan pada bulan-bulan berikutnya uang yang ditabung selalu Rp5.000,00 lebih besar dari uang yang ditabung pada bulan sebelumnya. Jumlah uang tabungan Adit selama satu tahun adalah ....

(A) Rp1.015.000,00
(B) Rp1.150.000,00
(C) Rp1.290.000,00
(D) Rp1.320.000,00
(E) Rp1.340.000,00

Pembahasan

Besar tabungan Adit dari bulan pertama ke bulan berikutnya membentuk pola barisan aritmetika. Dari soal tersebut diperoleh:

$\begin{align*}U_{1}&=a=80.000\\b&=5.000\end{align*}$

Kita tahu bahwa 1 tahun = 12 bulan, dan dengan memanfaatkan rumus jumlah $n$ suku pertama barisan aritmetika kita bisa menghitung jumlah uang tabungan Adit selama 1 tahun.

$\begin{align*} S_{n}&=\frac{n}{2}\left(2a+(n-1)b\right)\\ &=\frac{12}{2}\left(2(80.000)+(12-1)5000\right)\\ &=6(160.000+11\times 5.000)\\ &=6(215.000)\\ &=1.290.000 \end{align*}$

Kunci C

Nomor 17

Suatu zat radioaktif meluruh menjadi setengahnya dalam waktu 2 jam. Jika pada pukul 06.00 massa zat tersebut 1.600 gram, massa zat yang tersisa pada pukul 14.00 adalah ....

(A) $100$ gram
(B) $50$ gram
(C) $25$ gram
(D) $12,5$ gram
(E)  $6,25$ gram

Pembahasan

Dari soal diketahui:

Lama zat radioaktif meluruh $t=14.00-06.00=8$ jam

Massa mula-mula $N_{0}=1.600$ gram

Waktu paruh $T_{\frac{1}{2}}=2$ jam

Massa zat radioaktif yang tersisa setelah meluruh selama 8 jam.

$\begin{align*} N_{t}&=N_{0}\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{t}{T_{\frac{1}{2}}}}\\ &=1.600\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{8}{2}}\\ &=1.600\left ( \frac{1}{2} \right )^{4}\\ &=\frac{1.600}{16}\\ &=100 \end{align*}$ 

Jadi, massa zat yang tersisa adalah 100 gram.

Kunci A

Nomor 18

Setiap hari seorang pengrajin tas memproduksi dua jenis tas. Modal untuk tas model I adalah Rp20.000,00 dengan keuntungan $40%$. Modal untuk tas model II adalah Rp30.000,00 dengan keuntungan $%30%$. Jika modal yang tersedia setiap harinya adalah Rp1.000.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 40 tas, keuntungan terbesar yang dapat dicapai pengrajin tas tersebut adalah ....

(A) $30%$
(B) $34%$
(C) $36%$
(D) $38%$
(E) $40%$

Pembahasan
Data dari soal di atas dapat disajikan ke dalam tabel berikut ini.

Model matematikanya berdasarkan tabel di atas sebagai berikut.

$\begin{align*} x+y&=40\;\;\;\;\;\;\;....(1)\\ 20.000x+30.000y=1.000.000\;\;\mathrm{atau}\;\;2x+3y&=100\;\;\;\;\;....(2)\\ \end{align*}$ 

Fungsi Keuntungan $f(x,y)=8.000x+9.000y$

Nilai $x$ dan $y$ dapat dicari dengan eliminasi atau substitusi kedua persamaan tersebut. Misalkan dengan metode substitusi.

Dari persamaan $(1)$

$\begin{align*} x+y=40\;\Leftrightarrow \;x=40-y \end{align*}$   kemudian disubstitusi ke persamaan $(2)$.

$\begin{align*} 2x+3y&=100\\ 2(40-y)+3y&=100\\ 80-2y+3y&=100\\ y&=20 \end{align*}$ 

Nilai $y=20$ disubstitusi ke $x=40-y$ diperoleh.

$\begin{align*} x&=40-y\\ x&=40-20\\ x&=20 \end{align*}$  
Keuntungan maksimum diperoleh saat nilai $x=y=20$.
$\begin{align*} f(x,y)&=8.000x+9.000y\\ f(20,20)&=8.000(20)+9.000(20)\\ &=160.000+180.000\\ &=340.000 \end{align*}$
Persentase keuntungan sebagai berikut.
$\begin{align*} \%U&=\frac{U}{Hb}\times 100\%\\ &=\frac{340.000}{1.000.000}\times 100\%\\ &=34\% \end{align*}$

Kunci B

Nomor 19

Nilai dari  $$\lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^{2}-16}{1-\sqrt {x^{2}-3}}$$ adalah ....

(A) $-16$
(B) $-4$
(C) $4$
(D) $16$
(E) $32$

Pembahasan
Jika langsung disubstitusi diperoleh nilai limit penyebut sama dengan 0. Oleh karena itu terlebih dahulu kita rasionalkan bagian penyebut dengan cara dikali dengan akar sekawan dari penyebut yaitu $(1+\sqrt{x-3})$.
$$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow 4}\frac{x^{2}-16}{1-\sqrt {x-3}}&=\lim_{x\rightarrow4}\frac{x^{2}-16}{1-\sqrt {x-3}}\times \frac{1+\sqrt{x-3}}{1+\sqrt {x-3}}\\ &=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x^{2}-16)(1+\sqrt {x-3})}{1-(x-3)}\\ &=\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(x+4)(x-4)(1+\sqrt {x-3})}{-(x-4)}\\ &=\lim_{x\rightarrow 4}-(x+4)(1+\sqrt {x-3})\\ &=-(4+4)(1+\sqrt{4-3})\\ &=(-8)(2)\\ &=-16 \end{align*}$$

Kunci A

mmm

Nomor 20

Nilai $\begin{align*} \lim_{x\rightarrow\infty }\left (2x-\sqrt{4x^{2}+x+3} \right ) \end{align*}$  adalah ....

(A) $-\frac{1}{2}$ 

(B) $-\frac{1}{4}$

(C) $0$

(D) $\frac{1}{4}$

(E) $\frac{1}{2}$

Pembahasan

Limit tak hingga bentuk akar dimana fungsi di dalam akar merupakan fungsi kuadrat, dapat ditentukan dengan rumus berikut.

$$\lim_{x\rightarrow\infty }(\sqrt{ax^{2}+bx+c}-\sqrt{px^{2}+qx+r})=\left\{\begin{matrix} \infty ,\mathrm{untuk}\;a>p\\ \frac{b-q}{2\sqrt{a}},\mathrm{untuk}\;a=p\\ -\infty ,\mathrm{untuk}\;a<p \end{matrix}\right.$$

Kita gunakan rumus tersebut untuk menyelesaikan soal ini.

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow\infty }\left (2x-\sqrt{4x^{2}+x+3} \right ) &=\lim_{x\rightarrow\infty}(\sqrt{(2x)^{2}}-\sqrt{4x^{2}+x+3})\\ &=\lim_{x\rightarrow\infty}(\sqrt{4x^{2}}-\sqrt{4x^{2}+x+3})\\ \end{align*}$ 

Dari bentuk limit terakhir diperoleh $a=p=4$, $b=0$ dan $q=1$. Oleh karena $a=p=4$, maka:

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow\infty}(\sqrt{4x^{2}}-\sqrt{4x^{2}+x+3})&=\frac{b-q}{2\sqrt{a}}\\ &=\frac{0-1}{2\sqrt{4}}\\ &=\frac{-1}{2(2)}\\ &=-\frac{1}{4} \end{align*}$ 

Kunci B

Demikianlah pembahasan ujian nasional bagian II ini diberikan. Apabila dalam pembahasan ini ditemukan kesalah atau kekeliruan, mohon dengan sangat kritik dan sarannya. Penulis bisa dihubungi via fesbuk: Yan Fardian atau e-mail: yanfardian876@gmail.com. semoga bermanfaat dan terima kasih.