Langsung ke konten utama

Jarak Titik dengan Titik pada Dimensi 3

Secara sederhana, jarak dua titik adalah jarak terpendek yang yang menghubungkan kedua titik tersebut.  Sebagai ilustrasi, untuk menentukan jarak titik $A$ dan titik $B$ pada gambar berikut, kita bisa terlebih dahulu menghitung jarak terdekat dari titik $A$ ke titik $B$.

Dari titik $A$ ke titik $B$ dapat dilalui dengan beberapa cara (lintasan), yaitu:  $A-P-Q-B$$A-R-B$$A-B$ Dari ketiga lintasan tersebut, lintasan $A-B$ merupakan jarak terpendek yang menghubungkan titik $A$ dan titik $B$.
Defenisi
Berangkat dari ilustrasi di atas, jarak dua titik dapat didefenisikan sebagai berikut.

Misalkan terdapat 2 buah titik $A$ dan $B$ sedemikian, maka jarak titik $A$ dan $B$ adalah panjang ruas garis terpendek penghubung titik $A$ dan $B$. Terkait dengan jarak titik pada bangun ruang, erhatikan gambar kubus berikut.
Jarak titik $A$ dan titik $G$ pada kubus $ABCD.EFGH$ tersebut sama dengan panjang garis $AG$.Jarak titik $E$ dan titik $A$ sama dengan panjang garis $EA$.Jarak titik $B$ dan ti…

Bagaimana cara menentukan waktu kematian?

Di media-media massa seperti televisi, radio, koran, kita sering kali mendengar berita pihak kepolisian mengeluarkan sebuah pernyataan "Mr. X diperkirakan meninggal sekitar 2 jam yang lalu, yaitu pada pukul sekian". Tentu yang menjadi pertanyaan adalah bagaimana pihak kepolisian bisa mengambil sebuah kesimpulan bahwa Mr.X meninggal pada pukul sekian sedangkan pada kenyataannya mereka sendiri tidak berada di tempat kejadian. Apakah hanya sebatas perkiraan saja?

Teman-teman juga mungkin pernah menonton film-film detektif, baik film berjenis kartun maupun film yang diangkat dari kisah-kisah nyata seperti CSI Files dan Forensic Files. Kalau teman-teman perhatikan, kasus yang paling sering ditampilkan dalam film maupun kisah nyata adalah kasus penemuan jenazah. Dalam film-film tersebut seorang detektif dan ahli forensik dapat menentukan kapan jenazah tersebut meninggal dunia. Penentuan perkiraan kapan korban meninggal dunia sangat penting dalam menentukan siapa pembunuh korban. Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas bagaimana cara detektif dan ahli forensik menentukan waktu kematian korban dengan matematika (kalkulus).

Kalkulus merupakan salah satu cabang matematika yang memiliki peranan yang sangat penting dalam memecahkan berbagai permasalahan yang dihadapi oleh umat manusia. Dengan bantuan kalkulus banyak permasalahan-permasalahan besar yang berhasil dipecahkan. Bagaimana...berminat jadi ahli matematika...???

Sir Isac Newton yang hidup pada rentang waktu 1643-1727 merupakan salah satu ilmuwan matematika dan fisika yang sangat fenomenal. Ia berhasil menemukan hukum pendinginan yang dikenal dengan Hukum Pendinginan Newton yang diterbitkan secara anonim dengan judul "Scala graduum Caloris. Calorum Descriptiones & signa" pada tahun 170.

Manusia merupakan makhluk berdarah panas. Artinya, suhu tubuh manusia tidak banyak dipengaruhi suhu lingkungan. Suhu tubuh manusia normal adalah 37,5 oC. Pada saat seseorang meninggal, suhu tubuhnya tidak akan 37,5 oC, tetapi turun secara perlahan sehingga dalam jangka waktu tertentu suhunya akan sama dengan suhu lingkungan. Dalam hal ini, suhu lingkungan dianggap lebih rendah dari suhu tubuh manusia normal. Pada umumnya, suhu lingkungan adalah 27 oC.

Proses penurunan suhu pada tubuh manusia ketika mengalami kematian ternyata mengikuti hukum pendinginan Newton. Hukum ini mengatakan bahwa penurunan suhu suatu benda yang memiliki suhu lebih tinggi dari lingkungannya berbanding lurus dengan selisih suhu benda tersebut dengan lingkungannya.  Secara matematis, hukum pendinginan Newton dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut.
$\begin{align*} \mathrm{Jika}\;T(t)\;\mathrm{menyatakan}\;\mathrm{fungsi\;suhu}\;\mathrm{benda\;pada\;waktu\;t\;maka}:\\ \end{align*}$  
$\begin{align*} \frac{dT}{dt}=k(T-Te) \end{align*}$  

Pada persamaan tersebut, $\frac{dT}{dt}$ adalah perubahan suhu terhadap waktu, $k$ adalah suatu konstanta dengan satuan 1/waktu, $T$ adalah suhu benda sebagai fungsi waku dan $Te$ adalah suhu lingkungan. Nilai dari $k$ tidak diketahui, namun dapat kita peroleh dari penurunan persamaan di atas. Nilai $k$ dapat diganti menjadi $k$ jika suhu mengalami kenaikan, dan diganti menjadi $-k$ jika suhu mengalami penurunan. Sekarang kita selesaikan persamaan pada Hukum Pendinginan Newton jika suhu mengalami penurunan. Perhatikan bahwa:
$\begin{align*} \frac{dT}{dt}&=-k(T-Te)\\ \frac{dT}{T-Te}&=-kdt\$\end{align*}$

Dengan mengintegralkan kedua ruas pada bentuk terakhir, maka diperoleh persamaan berikut.
$\begin{align*}\int \frac{dT}{T-Te}&=\int-kdt\\ ln\left | T-Te \right |&=-kt+C\\ T-Te&=Ce^{-kt}\;\;\;\;\;\;\;\;\;....(1) \end{align*}$ 

Substitusi $t=0$ dan $T=T_{0}$ ke persamaan (1), maka diperoleh:
$\begin{align*} T-Te&=Ce^{-kt}\\ T_{0}-Te&=Ce^{0}\\ C&=T_{0}-Te\\ \end{align*}$
Kemudian $C=T_{0}-Te$  kita substitusi kembali ke persamaan (1) akan diperoleh solusi dari Hukum Pendinginan Newton sebagai berikut:
$\begin{align*} T-Te&=Ce^{-kt}\\ T-Te&=(T_{0}-Te)c^{-kt}\\ T&=(T_{0}-Te)c^{-kt}+Te\;\;\;\;\;\;\;\;.....(2) \end{align*}$
 dengan $T_{0}$ adalah suhu awal benda.

Agar waktu kematian $t_{m}$ dapat diperkirakan, maka persamaan untuk nilai $k$ harus ditentukan terlebih dahulu. Misalkan $T_{1}$ menyatakan suhu tubuh mayat pada waktu $t_{1}$. Denga mensubstitusi $T=T_{1}$ dan $t=t_{1}$ ke persamaan (2) diperoleh persamaan berikut.
$\begin{align*} T_{1}&=(T_{0}-T_{2})e^{-kt_{1}}+T_{e}\\ e^{-kt_{1}}&=\frac{T_{1}-T_{e}}{T_{0}-T_{e}}\\ k&=-\frac{1}{t_{1}}ln\left ( \frac{T_{1}-T_{2}}{T_{0}-T_{e}} \right )\;\;\;\;\;\;\;.....(3) \end{align*}$

Jika kita substitusi $t_{1}=t_{m}$ dan $T_{1}=T_{m}$ dimana $T_{m}$ adalah suhu mayat ketika baru saja meninggal, maka diperoleh sebuah persamaan untuk menentukan waktu kematian seseorang, yaitu sebagai berikut.
$\begin{align*} t_{m}&=-\frac{1}{k}ln\left ( \frac{T_{m}-T_{e}}{T_{0}-T_{e}} \right ) \;\;\;\;\;\;(4)\end{align*}$


Contoh Kasus
Telah terjadi perampokan dan pembunuhan yang menewaskan satu orang korban laki-laki di daerah Banjaran, Kabupaten Bandung. Suhu ruangan tempat kejadian saat itu berkisar $20^{circ}$. Suhu pada tubuh korban saat ditemukan adalah $29^{circ}$, kemudian setelah 1 jam, suhu tubuhnya diukur kembali dan telah berubah menjadi $24^{circ}$C. Mayat ditemukan pada hari minggu pukul 07.00 pagi. Kapan pembunuhan tersebut dilakukan?

Mengungkapkan kasus ini tentu saja kita bekerja layaknya seorang detektif. Kita kumpulkan terlebih dahulu data-data yang ada.
 $\begin{align*} T_{0}&=29^{\circ}\\ T_{e}&=20^{\circ}\\ T_{1}&=24^{\circ}\\ T_{m}&=37^{\circ}\\t_{1}&=1\\ \end{align*}$
Nilai $k$ ditentukan dengan persamaan (3) di atas.
$\begin{align*} k&=-\frac{1}{t_{1}}ln\left ( \frac{T_{1}-T_{2}}{T_{0}-T_{e}} \right )\\ &=-frac{1}{1}ln\left ( \frac{24-20}{29-20} \right )\\ &=-ln(\frac{4}{9})\\ &\approx 0,811 \end{align*}$

Sehingga waktu kematian diperoleh dengan memanfaatkan persamaan (4).
$\begin{align*} t_{m}&=-\frac{1}{k}ln\left ( \frac{T_{m}-T_{e}}{T_{0}-T_{e}} \right )\\ &=-\frac{1}{0,811}ln\left ( \frac{37-20}{29-20} \right )\\ &=-\frac{1}{0,811}ln\left ( \frac{17}{9} \right )\\ &\approx -0,784\;\;\mathrm{jam} \end{align*}$
Artinya mayat tersebut ditemukan sekitar 0,784 jam, atau setara dengan 47 menit setelah meninggal. Dengan demikian waktu meninggal korban diperkirakan pukul 06.13 pagi. Pembunuh belum jauh dari lokasi kejadian, dan masih bisa secepat mungkin ditangka.
Dengan memanfaatkan Hukum Pendinginan Newton ini, maka tidak heran banyak pelaku-pelaku pembunuhan dapat segera ditangkap. Semoga ilmu ini bisa membuka cakrawala berpikir kita, membuka mata hati hati kita bahwa matematika itu menarik, dan menyenangkan. Source - Belajar Kalkulus - Majalah 1000 guru

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Buku dan E-Book Gratis

Berikut ini beberapa file Buku dan Ebook yang cukup bagus dijadikan sebagai referensi belajar baik itu untuk siswa, ataupun guru sebagai bahan belajar menghadapi Ulangan, Ujian Nasional, Seleksi Masuk PTN, dan Olimpiade Sains Nasional atau pun kompetisi lainnya. Kalian bisa download secara gratis cukup dengan klik satu kali tulisan "Download".
Ebook SBMPTN/Seleksi PTN/PTS 1. Kimia Sakti: [Download] 2. Soal-Soal Kimia: [Download] 3. Ebook TPA SBMPTN: [Download] 4. Fisika SBMPTN: [Download] 5. Biologi SBMPTN: [Download] 6. Ebook UMB PTN: [Download]
7. Buku Matematika Dasar SBMPTN: [Download]
8. Buku 1 TPA SBMPTN: [Download]
9. Buku 2 TPA SBMPTN: [Download]
10. Buku SOSHUM SBMPTN: [Download]
11. Buku Materi Cerdik SBMPTN: [Download]
12. Buku Lolos SBMPTN-SAINTEK: [Download]
13. Buku 1 Lolos USM PKN STAN:[Download]
14. Buku 2 Paket Prediksi Akurat Masuk STAN:[Download]
15 Buku FOKUS UN-USBN-SBMPTN: [Download
16. Mega Bank SBMPTN SOSHUM 2018
: [Download]
17. Mega Bank SBMPTN SAIN…

Kumpulan Soal-Soal Olimpiade Matematika

Berikut ini kami bagi soal-soal Olimpiade Sains Nasional bidang Matematika baik itu tingkat Kabupaten/Kota, Provinsi, dan Nasional sebagai bahan belajar bagi para siswa, guru maupun pembimbing olimpiade. Kalian bisa mengunduhnya secara GRATIS dengan cara klik tulisan "Download".
Tingkat SMA Soal OSK Matematika tingkat SMA 1. Soal OSK Matematika 2019: Download
2.Soal OSK Matematika 2018:  Download 3. Soal OSK Matematika 2017: Download 4. Soal OSK Matematika 2016: Download 5. Soal OSK Matematika 2015: Download 6. Soal OSK Matematika 2014: Download
7. Soal OSK Matematika 2013: [dalam proses]
8. Soal OSK Matematika 2012: [dalam proses]

Soal OSP Matematika Tingkat SMA 1. Soal OSP Matematika 2018 2. Soal OSP Matematika 2017: Download
3. Soal OSP Matematika 2016: Download
4. Soal OSP Matematika 2015: Download
5. Soal OSP Matematika 2014: Download
6. Soal OSP Matematika 213: [dalam proses]
7. Soal ODP Matematika 212: [dalam proses]

Soal OSN Matematika Tingkat SMA
1. Soal OSN Matematika…

Soal UCUN MATEMATIKA SMP DKI Jakarta Tahun 2019

Berikut ini kami bagikan soal Uji Coba Ujian Nasional SMP DKI Jakarta yang lebih populer dikenal dengan sebutan UCUN. Banyak yang mengatakan bahwa soal UCUN DKI Jakarta hampir sama dengan soal Ujian Nasional. Dengan demikian, sangat pas jika dijadikan sebagai bahan belajar menghadapi ujian nasional. Silakan didownload dengan mengklik tulisan "DOWNLOAD".
1. Soal UCUN I 2019 MATEMATIKA P1: [Download] 2. Soal UCUN I 2019 MATEMATIKA P2: [Download]
3. Soal UCUN II 2019 MATEMATIKA A: [Download]
4. Soal UCUN II 2019 MATEMATIKA B: [Download]
4. Soal UCUN I 2019 IPA A: [Download]
5. Soal UCUN I 2019 IPA B: [Download]
6. Soal UCUN I 2019 B.INGGRIS A: [Download]
7. Soal UCUN I 2019 B.INGGRIS B: [Download]
8. Soal UCUN I 2019 B.INDO B: [Download]
Demikian yang bisa kami bagikan. Semoga berrmanfaat.


Baca Juga
Soal Simulasi UNBK SMK Tahun 2019
Kumpulan Soal Try Out UN 2019 Tingkat SMA

Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Setelah di postingan sebelumnya penulis membahas tentang kedudukan suatu titik terhadap lingkaran disini, maka pada tulisan kali ini kembali penulis memaparkan mengenai kedudukan suatu garis terhadap lingkaran.
Misalkan terdapat garis $g$ dengan persamaan $y=mx+n$ dan lingkaran $L$ dengan persamaan $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$. Kedudukan garis $g$ terhadap lingkaran $L$ dapat ditentukan dengan cara mensubstitusi persamaan garis $g$ ke persamaan lingkaran $L$. Perhatikan berikut.
$\begin{align*} x^{2}+y^{2}+Ax+By+C&=0\\ x^{2}+(mx+n)^{2}+Ax+B(mx+n)+C&=0\\ x^{2}+m^{2}x^{2}+2mnx+n^{2}+Ax+Bmx+Bn+C&=0\\ (1+m^{2})x^{2}+(2mn+A+Bm)x+(n^{2}+Bn+C)&=0 \end{align*}$ 
Persamaan terakhir dari uraian di atas merupakan persamaan kuadrat dalam variabel $x$. Kita tahu bahwa pada persamaan kuadarat: $(a)$ Jika $D>0$ maka persamaan kuadarat memiliki dua akar real berlainan. $(b)$ Jika $D=0$ maka persamaan kuadarat memiliki akar kembar. $(c)$ Jika $D<0$ maka persamaan kuadarat tidak m…

Soal-Soal KSM 2018

Berikut ini penulis bagikan beberapa naskah asli soal Kompetisi Sains Madrasah atau yang lebih sering dikenal dengan KSM.  KSM adalah sebuah kompetisi antar siswa yang setara dengan OSN yang dikhususkan kepada anak-anak Madrasah. Soal-soal berikut adalah soal-soal KSM tahun 2018. Kalian bisa download secara gratis dengan cara klik pada tulisan "Download".


Soal KSM MA Tingkat Kabupaten/Kota 1. Soal KSM Bidang Matematika: Download
2. Soal KSM Bidang Fisika: Download 3. Soal KSM Bidang Kimia: Download 4. Soal KSM Bidang Ekonomi: Download 5. Soal KSM Bidang Geografi: Download
6. Soal KSM Bidang Biologi: Download 7. Kunci Jawaban: Download

Jika kalian menginginkan soal-soal OSK,OSP serta modul-modul belajar Matematika lainnya, kalian bisa Kesini.

Jika hal ini bermanfaat,silakan dishare.
Terima kasih.

Ebook Matematika

Berikut admin membagikan beberapa Ebook Matematika secara gratis sebagai referensi belajar dan mengajar hehe. Silakan klik "download" untuk mendownload filenya.

Ebook Part I 1. Fundamental Calculus: Download 2. Algebra: Form and Function: Download 3. Real Analysis: Download 4. Buku Siap OSN SMP: Download 5. Buku 9 Tahun Penyelenggaraan OSN: Download 6. Mathematic: Exemplar Problem Class XI: Download 7. Mathematic Text Boox for Class XII: Download 8. Pengantar Dasar Matematika: Download
9. Math Handbook:Download
10. IMO 2016: Prob and Sol: Download
11. Geometry: Download
12. Circle Geometry for High School: Download
13. Concise Dictionary of Mathematics: Download
Ebook Part II 1. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak: Download
2. 100 Soal Olimpiade oleh Wildan: Download
3. Koleksi Soal Olimpiade Matematika:Download
3. Soal-Soal Logaritma: Download

Selain ebook-ebook di atas,kalian juga bisa download ebook lainnya DISINI.
Catatan: Bantu admin share jika file-file ini berman…

Modul Belajar Matematika

Berikut ini beberapa file penting yang bisa didownload.Caranya tinggal klik saja tulisan "download" tersebut.
Khusus SMP 1. Modul OSN SMP klik Download 2. Solusi OSK SMP 2018 Download 3. Soal final Try Out UN 2018 SMP DKI JAKARTA Download 4. Rangkuman dan Soal Matematika SMP Download 5. Ebook Aljabar Persiapan OSN SMP Download 6. Ebook Geometri Untuk OSN Download


Khusus SMA 1. Koleksi Soal Tipe Olimpiade oleh Aldhi Prastya Download
2. Pembahasan soal Tipe Olimpiade oleh Aldhi Prastya Download. Soal2nya di nomor 1
3. Soal Try Out Ujian Nasional DKI Jakarta 2018:

Paket 1 DownloadPaket 2 DownloadPaket 3 Download Paket 4 Download 4. Soal Try Out OSP Prov.Jatim 2018 Bidang Matematika Download
5. Pembahasan Try Out OSP Prov. Jatim 2018 Bidang Matematika Download
7. Soal-soal Geometry dari Wardaya Collage Download
8. Soal OSP Matematika SMA Thn 2018 Download
9. Geometri: Power of A Point Download
10. Soal dan Solusi Download 11. Limit: Soal dan Pembahasan Download

Pembelajaran Kaidah …

Soal SIMULASI UNBK SMK 2019

Berikut ini kami bagikan file SIMULASI 2 UJIAN NASIONAL tahun 2019 tingkat SMK yang telah diketik ulang. Kalian bisa mengunduhnya secara gratis, cukup klik tulisan "DOWNLOAD" . 1. Soal Simulasi 2 UNBK SMK Kelompok TKP:[Download]
2. Soal Simulasi 2 UNBK SMK _ AKUTANSI:Download]
3. Soal Simulasi 2 UNBK SMK TKJ/TKR/KR: [Download]
4. Soal Gladi Bersih UNBK SMK Kelompok TKP: [Download]
Baca juga: Kumpulan Soal Try Out UN 2019 Tingkat SMA Naskah Soal dan Pembahasan UN SMA 2018
Demikianlah beberapa paket soal yang dapat kami berikan. Silakan dishare...

Kumpulan Soal SBMPTN 2018

Berikut beberapa naskah asli soal SBMPTN 2018 yang bisa pengunjung download secara gratis. Caranya klik pada tulisan "Download".

TKD Saintek 1. TKD Saintek_459: Download 2. TKD Saintek_453: Download
3. TKD Saintek: Download
4. TKD Saintek_460: Download
5. TKD Saintek_457: Download
6. TKD Saintek_460: Download
7. TKD Saintek_417: Download
8. TKD Saintek_418: Download
9. TKD Saintek_419: Download
10. TKD Saintek_420: Download
11. TKD Saintek_421: Download
12. TKD Saintek_422: Download
13. TKD Saintek_423: Download
14. TKD Saintek_428: Download

TKD Soshum
1. TKD Soshum_653: Download
2. TKD Soshum_657: Download

Bahan Belajar SBMPTN
1. Buku MEGA BANK SBMPT [[Download]

Untuk referensi belajar SBMPTN ataupun UN, dan lainnya kalian bisa download buku/ebook Disini, atau Kesini atau Kesini atau pun bisa baca-baca soal Disini.

Jangan lupa share link ini jika bermanfaat. Terima kasih.

Kumpulan Soal TRY OUT UN 2019 Tingkat SMA

Berikut ini kami bagi beberapa file soal TRY OUT UN 2019 tingkat SMA. Soal-soal ini cukup penting sebagai referensi belajar persiapan menghadapi Ujian Nasional mendatang. Tentunya, soal-soal TRY OUT ini telah disusun berdasarkan kisi-kisi ujian nasional yang dikeluarkan oleh BSNP beberapa waktu lalu. Kalian bisa download secara gratis cukup dengan mengklik tulisan "download"
Soal Try Out UN SMA Tahun 2019 MGMP DKI Jakarta 1. Matematika IPA Paket A: [Diwnload] 2. Matematika IPA Paket B: [Download]
3. Matematika IPS Paket A: [Download]
4. Matematika IPS Paket B: [Download]

Soal PRA UN SMA Tahun 2019 Se-Provinsi Sumatera Barat
Matematika
1. Matematika Paket 1: [Download]
2. Matematika Paket 2: [Download]
3. Matematika Paket 3: [Download]
4. Matematika Paket 4: [Download]
5. Matematika Paket 5: [Download]

Kimia
1. Kimia Paket 1: [Download]
2. Kimia Paket 2: [Download]
3. Kimia Paket 3: [Download]
4. Kimia Paket 4: [Download]
5. Kimia Paket 5: [Download

Soal Gladi Bersih UNBK SMA MA…