Di media-media massa seperti televisi, radio, koran, kita sering kali mendengar berita pihak kepolisian mengeluarkan sebuah pernyataan "Mr. X diperkirakan meninggal sekitar 2 jam yang lalu, yaitu pada pukul sekian". Tentu yang menjadi pertanyaan adalah bagaimana pihak kepolisian bisa mengambil sebuah kesimpulan bahwa Mr.X meninggal pada pukul sekian sedangkan pada kenyataannya mereka sendiri tidak berada di tempat kejadian. Apakah hanya sebatas perkiraan saja?
Teman-teman juga mungkin pernah menonton film-film detektif, baik film berjenis kartun maupun film yang diangkat dari kisah-kisah nyata seperti CSI Files dan Forensic Files. Kalau teman-teman perhatikan, kasus yang paling sering ditampilkan dalam film maupun kisah nyata adalah kasus penemuan jenazah. Dalam film-film tersebut seorang detektif dan ahli forensik dapat menentukan kapan jenazah tersebut meninggal dunia. Penentuan perkiraan kapan korban meninggal dunia sangat penting dalam menentukan siapa pembunuh korban. Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas bagaimana cara detektif dan ahli forensik menentukan waktu kematian korban dengan matematika (kalkulus).
Teman-teman juga mungkin pernah menonton film-film detektif, baik film berjenis kartun maupun film yang diangkat dari kisah-kisah nyata seperti CSI Files dan Forensic Files. Kalau teman-teman perhatikan, kasus yang paling sering ditampilkan dalam film maupun kisah nyata adalah kasus penemuan jenazah. Dalam film-film tersebut seorang detektif dan ahli forensik dapat menentukan kapan jenazah tersebut meninggal dunia. Penentuan perkiraan kapan korban meninggal dunia sangat penting dalam menentukan siapa pembunuh korban. Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas bagaimana cara detektif dan ahli forensik menentukan waktu kematian korban dengan matematika (kalkulus).
Kalkulus merupakan salah satu cabang matematika yang memiliki peranan yang sangat penting dalam memecahkan berbagai permasalahan yang dihadapi oleh umat manusia. Dengan bantuan kalkulus banyak permasalahan-permasalahan besar yang berhasil dipecahkan. Bagaimana...berminat jadi ahli matematika...???
Sir Isac Newton yang hidup pada rentang waktu 1643-1727 merupakan salah satu ilmuwan matematika dan fisika yang sangat fenomenal. Ia berhasil menemukan hukum pendinginan yang dikenal dengan Hukum Pendinginan Newton yang diterbitkan secara anonim dengan judul "Scala graduum Caloris. Calorum Descriptiones & signa" pada tahun 170.
Manusia merupakan makhluk berdarah
panas. Artinya, suhu tubuh manusia tidak banyak dipengaruhi suhu
lingkungan. Suhu tubuh manusia normal adalah 37,5 oC. Pada saat seseorang meninggal, suhu tubuhnya tidak akan 37,5 oC,
tetapi turun secara perlahan sehingga dalam jangka waktu tertentu
suhunya akan sama dengan suhu lingkungan. Dalam hal ini, suhu lingkungan
dianggap lebih rendah dari suhu tubuh manusia normal. Pada umumnya,
suhu lingkungan adalah 27 oC.
Proses penurunan suhu pada tubuh manusia
ketika mengalami kematian ternyata mengikuti hukum pendinginan Newton.
Hukum ini mengatakan bahwa penurunan suhu suatu benda yang memiliki suhu
lebih tinggi dari lingkungannya berbanding lurus dengan selisih suhu
benda tersebut dengan lingkungannya. Secara matematis, hukum
pendinginan Newton dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut.
$\begin{align*} \mathrm{Jika}\;T(t)\;\mathrm{menyatakan}\;\mathrm{fungsi\;suhu}\;\mathrm{benda\;pada\;waktu\;t\;maka}:\\ \end{align*}$
$\begin{align*} \frac{dT}{dt}=k(T-Te) \end{align*}$
Pada persamaan tersebut, $\frac{dT}{dt}$ adalah perubahan suhu terhadap waktu, $k$ adalah suatu konstanta dengan satuan 1/waktu, $T$ adalah suhu benda sebagai fungsi waku dan $Te$ adalah suhu lingkungan. Nilai dari $k$ tidak diketahui, namun dapat kita peroleh dari penurunan persamaan di atas. Nilai $k$ dapat diganti menjadi $k$ jika suhu mengalami kenaikan, dan diganti menjadi $-k$ jika suhu mengalami penurunan. Sekarang kita selesaikan persamaan pada Hukum Pendinginan Newton jika suhu mengalami penurunan. Perhatikan bahwa:
$\begin{align*} \frac{dT}{dt}&=-k(T-Te)\\ \frac{dT}{T-Te}&=-kdt\$\end{align*}$
Dengan mengintegralkan kedua ruas pada bentuk terakhir, maka diperoleh persamaan berikut.
$\begin{align*}\int \frac{dT}{T-Te}&=\int-kdt\\ ln\left | T-Te \right |&=-kt+C\\ T-Te&=Ce^{-kt}\;\;\;\;\;\;\;\;\;....(1) \end{align*}$
Substitusi $t=0$ dan $T=T_{0}$ ke persamaan (1), maka diperoleh:
$\begin{align*} T-Te&=Ce^{-kt}\\ T_{0}-Te&=Ce^{0}\\ C&=T_{0}-Te\\ \end{align*}$
Kemudian $C=T_{0}-Te$ kita substitusi kembali ke persamaan (1) akan diperoleh solusi dari Hukum Pendinginan Newton sebagai berikut:
$\begin{align*} T-Te&=Ce^{-kt}\\ T-Te&=(T_{0}-Te)c^{-kt}\\ T&=(T_{0}-Te)c^{-kt}+Te\;\;\;\;\;\;\;\;.....(2) \end{align*}$
dengan $T_{0}$ adalah suhu awal benda.
Agar waktu kematian $t_{m}$ dapat diperkirakan, maka persamaan untuk nilai $k$ harus ditentukan terlebih dahulu. Misalkan $T_{1}$ menyatakan suhu tubuh mayat pada waktu $t_{1}$. Denga mensubstitusi $T=T_{1}$ dan $t=t_{1}$ ke persamaan (2) diperoleh persamaan berikut.
Agar waktu kematian $t_{m}$ dapat diperkirakan, maka persamaan untuk nilai $k$ harus ditentukan terlebih dahulu. Misalkan $T_{1}$ menyatakan suhu tubuh mayat pada waktu $t_{1}$. Denga mensubstitusi $T=T_{1}$ dan $t=t_{1}$ ke persamaan (2) diperoleh persamaan berikut.
$\begin{align*} T_{1}&=(T_{0}-T_{2})e^{-kt_{1}}+T_{e}\\ e^{-kt_{1}}&=\frac{T_{1}-T_{e}}{T_{0}-T_{e}}\\ k&=-\frac{1}{t_{1}}ln\left ( \frac{T_{1}-T_{2}}{T_{0}-T_{e}} \right )\;\;\;\;\;\;\;.....(3) \end{align*}$
Jika kita substitusi $t_{1}=t_{m}$ dan $T_{1}=T_{m}$ dimana $T_{m}$ adalah suhu mayat ketika baru saja meninggal, maka diperoleh sebuah persamaan untuk menentukan waktu kematian seseorang, yaitu sebagai berikut.
$\begin{align*} t_{m}&=-\frac{1}{k}ln\left ( \frac{T_{m}-T_{e}}{T_{0}-T_{e}} \right ) \;\;\;\;\;\;(4)\end{align*}$
Contoh Kasus
Telah terjadi perampokan dan pembunuhan yang menewaskan satu orang korban laki-laki di daerah Banjaran, Kabupaten Bandung. Suhu ruangan tempat kejadian saat itu berkisar $20^{circ}$. Suhu pada tubuh korban saat ditemukan adalah $29^{circ}$, kemudian setelah 1 jam, suhu tubuhnya diukur kembali dan telah berubah menjadi $24^{circ}$C. Mayat ditemukan pada hari minggu pukul 07.00 pagi. Kapan pembunuhan tersebut dilakukan?
Mengungkapkan kasus ini tentu saja kita bekerja layaknya seorang detektif. Kita kumpulkan terlebih dahulu data-data yang ada.
$\begin{align*} T_{0}&=29^{\circ}\\ T_{e}&=20^{\circ}\\ T_{1}&=24^{\circ}\\ T_{m}&=37^{\circ}\\t_{1}&=1\\ \end{align*}$
Nilai $k$ ditentukan dengan persamaan (3) di atas.
Sehingga waktu kematian diperoleh dengan memanfaatkan persamaan (4).
Mengungkapkan kasus ini tentu saja kita bekerja layaknya seorang detektif. Kita kumpulkan terlebih dahulu data-data yang ada.
$\begin{align*} T_{0}&=29^{\circ}\\ T_{e}&=20^{\circ}\\ T_{1}&=24^{\circ}\\ T_{m}&=37^{\circ}\\t_{1}&=1\\ \end{align*}$
Nilai $k$ ditentukan dengan persamaan (3) di atas.
$\begin{align*} k&=-\frac{1}{t_{1}}ln\left ( \frac{T_{1}-T_{2}}{T_{0}-T_{e}} \right )\\ &=-frac{1}{1}ln\left ( \frac{24-20}{29-20} \right )\\ &=-ln(\frac{4}{9})\\ &\approx 0,811 \end{align*}$
Sehingga waktu kematian diperoleh dengan memanfaatkan persamaan (4).
$\begin{align*} t_{m}&=-\frac{1}{k}ln\left ( \frac{T_{m}-T_{e}}{T_{0}-T_{e}} \right )\\ &=-\frac{1}{0,811}ln\left ( \frac{37-20}{29-20} \right )\\ &=-\frac{1}{0,811}ln\left ( \frac{17}{9} \right )\\ &\approx -0,784\;\;\mathrm{jam} \end{align*}$
Artinya mayat tersebut ditemukan sekitar 0,784 jam, atau setara dengan
47 menit setelah meninggal. Dengan demikian waktu meninggal korban
diperkirakan pukul 06.13 pagi. Pembunuh belum jauh dari lokasi kejadian, dan masih bisa secepat mungkin ditangka.
Dengan memanfaatkan Hukum Pendinginan Newton ini, maka tidak heran banyak pelaku-pelaku pembunuhan dapat segera ditangkap. Semoga ilmu ini bisa membuka cakrawala berpikir kita, membuka mata hati hati kita bahwa matematika itu menarik, dan menyenangkan.
Source
- Belajar Kalkulus
- Majalah 1000 guru
Kontennya bagus pak, wawasan baru bagi saya 👍
BalasHapusTerima kasih pak :)
HapusPosting Komentar