Soal dan Pembahasan Ujian Nasional SMA Tahun 2017 Program IPA Bagian I

Nomor 1

Hasil dari $\begin{align*} \frac{\left (8^{-\frac{3}{5}}9^{\frac{5}{4}} \right )}{\left (81^{-\frac{1}{8}} 64^{\frac{1}{5}} \right )} \end{align*}$ adalah....

(A) $\begin{align*}\frac{27}{2}\end{align*}$

(B) $\begin{align*}\frac{9}{2}\end{align*}$

(C) $\begin{align*}\frac{27}{8}\end{align*}$

(D) $\begin{align*}\frac{9}{8}\end{align*}$

(E) $\begin{align*}\frac{8}{27}\end{align*}$

Pembahasan

Kita sederhanakan terlebih dahulu pada bagian pembilang supaya keliatan tidak rumit2 amat. Biar lambat asal selamat. Tapi di ujian nasional, tidak boleh lamat loh karena 1 soal maksimal 3 menit.
Misalkan bagian pembilang $P$ dan bagian penyebut $Q$.

$\begin{align*} P&=\left ( 8^{-\frac{3}{5}} 9^{\frac{5}{4}}\right )\\&=((2^{3})^{-\frac{3}{5}}.(3^{2})^{\frac{5}{4}})\\ &=2^{-\frac{9}{5}}.3^{\frac{5}{2}} \end{align*}$

$\begin{align*} Q&=81^{-\frac{1}{8}}.64^{\frac{1}{5}}\\ &=(3^{4})^{-\frac{1}{8}}.(2^{6})^{\frac{1}{5}}\\ &=3^{-\frac{1}{2}}.2^{\frac{6}{5}} \end{align*}$

Maka,

$\begin{align*} \frac{\left (8^{-\frac{3}{5}}9^{\frac{5}{4}} \right )}{\left (81^{-\frac{1}{8}} 64^{\frac{1}{5}} \right )}&=\frac{2^{-\frac{9}{5}}.3^{\frac{5}{2}}}{3^{-\frac{1}{2}}.2^{\frac{6}{5}}}\\ &=2^{-\frac{9}{5}-\frac{6}{5}}.3^{\frac{5}{2}+\frac{1}{2}}\\ &=2^{-\frac{15}{3}}.3^{\frac{6}{2}}\\ &=2^{-3}.3^{3}\\ &=\frac{27}{8} \end{align*}$

Kunci C

Nomor 2

Bentuk sederhana dari $\begin{align*} \frac{(\sqrt3\;+\;\sqrt7)(\sqrt3\;-\;\sqrt7)}{2\sqrt5\;-\;4\sqrt2} \end{align*}$  adalah ....

(A) $\begin{align*} \frac{2}{3}(\sqrt5+2\sqrt2) \end{align*}$

(B) $\begin{align*} \frac{2}{3}(2\sqrt2+2\sqrt5) \end{align*}$

(C) $\begin{align*} -\frac{2}{3}(2\sqrt5+4\sqrt2) \end{align*}$

(D) $\begin{align*} -\frac{4}{9}(2\sqrt5+4\sqrt2) \end{align*}$

(E) $\begin{align*} -\frac{4}{9}(2\sqrt5-\sqrt2) \end{align*}$

Pembahasan

$\begin{align*} \frac{(\sqrt3\;+\;\sqrt7)(\sqrt3\;-\;\sqrt7)}{2\sqrt5\;-\;4\sqrt2} &=\frac{{\color{Red} (\sqrt3)^{2}-(\sqrt7)^{2}}}{2\sqrt5-4\sqrt2}\\&=\frac{3-7}{2\sqrt5-4\sqrt2}\\ &=\frac{-4}{{\color{Red} 2\sqrt5-4\sqrt2}}\times \frac{2\sqrt5+4\sqrt2}{{\color{Red} 2\sqrt5+4\sqrt2}}\\ &=\frac{-4(2\sqrt5+4\sqrt2)}{20-32}\\ &=\frac{-8(5\sqrt5+2\sqrt2)}{-12}\\ &=\frac{2}{3}(\sqrt5+2\sqrt2) \end{align*}$

Kunci A

Nomor 3

Hasil dari $\begin{align*} \frac{\log _{\sqrt3}5\;.\;\log_{25}3\sqrt3-\log_{4}16}{\log_{3}54-\log_{3}2} \end{align*}$ adalah ....

(A) $\begin{align*} -\frac{9}{2} \end{align*}$ 

(B) $\begin{align*} -\frac{1}{6} \end{align*}$

(C) $\begin{align*} -\frac{1}{3} \end{align*}$

(D) $3$

(E) $\begin{align*} \frac{9}{2} \end{align*}$

Pembahasan

Disini penulis mencoba menyederhanakan bentuk-bentuk logaritma pada bagian pembilang dan penyebut terlebih dahulu agar mudah dipahami.

$\begin{align*} P&=\log _{\sqrt3}5\;.\;\log_{25}3\sqrt3-\log_{4}16\\&=\log_{3^{\frac{1}{2}}}5.\log_{5^{2}}3.3^{\frac{1}{2}}-\log_{4}4^{2}\\ &=2.\log_{3}5.\frac{3}{4}\log_{5}3-2\\ &=\frac{3}{2}-2\\ &=-\frac{1}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} Q&=\log_{3}54-\log_{3}2\\&=\log_{3}\left (\frac{54}{2} \right )\\ &=\log_{3}27\\ &=\log_{3}3^{3}\\ &=3 \end{align*}$

Dengan demikian,

$\begin{align*} \frac{Pembilang}{Penyebut}&=\frac{-\frac{1}{2}}{3}\\ &=-\frac{1}{6} \end{align*}$

Kunci B

Nomor 4

Penyelesaian dari $\begin{align*} 5^{-2x+2}+74.5^{-x}-3\geqslant 0 \end{align*}$ adalah ....

(A) $\begin{align*} x\leqslant -3\;atau\;x\geqslant \frac{1}{25} \end{align*}$ 

(B) $\begin{align*} -3\leqslant x\leqslant \frac{1}{25} \end{align*}$ 

(C) $\begin{align*} x\leq 2 \end{align*}$ 

(D) $\begin{align*} x\geqslant 2 \end{align*}$ 

(E) $\begin{align*} x\geqslant -2 \end{align*}$

Pembahasan

$\begin{align*} 5^{-2x+2}+74.5^{-x}-3&\geqslant 0\\ (5^{-x})^{2}.5^{2}+74.(5^{-x})-3&\geqslant0\\ 25.(5^{-x})+74(5^{-x})-3&\geqslant0\\ \end{align*}$ 

Misalkan $5^{-x}=y$, maka:

$\begin{align*} 25y^{2}-74y-3&\geqslant 0\\ (25y-1)(y+3)&\geqslant 0\\ \end{align*}$ 

Pembuat Nol

$\begin{align*} (25y-1)(y+3)&=0\\ y=\frac{1}{25}\;\;\;\vee\;\;\;\;y&=-3 \end{align*}$ 

Untuk $\begin{align*} y=\frac{1}{25} \end{align*}$ , diperoleh:

$\begin{align*} y=\frac{1}{25}\rightarrow5^{-x}&=\frac{1}{25}\\ 5^{-x}&=5^{-2}\\ x&=2 \end{align*}$

$\begin{align*} \mathrm{Untuk} \;y&=-3\\ y&=-3\rightarrow5^{-x}=-3\;\;\;\;\;\;.... (\mathrm{tm}) \end{align*}$ 
Daerah penyelesaiannya seperti yang ditunjukkan pada garis bilangan berikut.

Baca Juga

Jadi, penyelesaiannya adalah $\begin{align*} x\leq 2 \end{align*}$ 

Kunci C

Nomor 5

Diketahui fungsi $\begin{align*} f:R\rightarrow R \end{align*}$ , dan $\begin{align*} g:R\rightarrow R \end{align*}$ dengan $\begin{align*} g(x)=-x+3 \end{align*}$  dan $\begin{align*} (f\circ g)(x)=4x^{2}-26x+32, \end{align*}$ maka nilai $f(1)$ adalah ....

(A) -5

(B) -4

(C) -3

(D) 3

(E) 4

Pembahasan

$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=4x^{2}-26x+32\\ f(g(x))&=4x^{2}-26x+32\\ f(-x+3)&=4x^{2}-26x+32\\ \end{align*}$ 

Misalkan $\begin{align*} -x+3=p\rightarrow x=3-p \end{align*}$ .

$\begin{align*} f(p)&=4(3-p)^{2}-26(3-p)+32\\ f(p)&=4(9-6p+p^{2})-78+26p+32\\ f(p)&=36-24p+4p^{2}-78+26p+32\\ f(p)&=4p^{2}+2p-10\\ f(x)&=4x^{2}+2p-10\\ f(1)&=4(1)^{2}+2(1)-10\\ f(1)&=-4 \end{align*}$

Nomor 6
Jika fungsi $\begin{align*} \frac{2x+3}{x-5},x\neq 5 \end{align*}$ dan $\begin{align*}g(x)=3x + 1\end{align*}$ maka $\begin{align*}(g\circ f)^{-1}=....\end{align*}$
(A) $\begin{align*} \frac{5x+4}{x+7},x\neq -7 \end{align*}$

(B) $\begin{align*} \frac{5x+4}{x-4},x\neq 4 \end{align*}$

(C) $\begin{align*} \frac{5x+4}{x-7},x\neq 7 \end{align*}$

(D) $\begin{align*} \frac{5x-4}{x-7},x\neq 7 \end{align*}$

(E) $\begin{align*} \frac{5x-7}{x-4},x\neq 4\end{align*}$

Pembahasan
$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=g(f(x))\\&=g\left(\frac{2x+3}{x-5} \right)+1\\&=\frac{6x+9}{x-5}+1\\&=\frac{6x+9+x-5}{x-5}\\&=\frac{7x+4}{x-5}\end{align*}$

Kita tahu bahwa: $\begin{align*} f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\rightarrow f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a} \end{align*}$
Dengan demikian kita peroleh:
$\begin{align*} (g\circ f)(x)=\frac{7x+4}{x-5}\rightarrow (g\circ f)^{-1}(x)=\frac{5x+4}{x-7},x\neq7 \end{align*}$
Kunci C

Nomor 7
Persamaan kuadrat $\begin{align*} x^{2}+kx-(2k+4)=0 \end{align*}$  mempunyai akar-akar $\begin{align*} \alpha \end{align*}$  dan $\begin{align*} \beta \end{align*}$. Jika $\begin{align*} \alpha^{2}+\beta^{2}=53 \end{align*}$, maka nilai $k$ yang memenuhi adalah ....
(A) $k=-15$ atau $k=3$
(B) $k=-9$ atau $k=-5$
(C) $k=9$ atau $k=5$
(D) $k=-9$ atau $k=5$
(E) $k=9$ dan $k=-3$

Pembahasan
Dari persamaan kuadarat $\begin{align*} x^{2}+kx-(2k+4)=0 \end{align*}$ diperoleh $a=1$, $b=k$ dan $c=-(2k+4)$. Dengan memanfaatkan sifat jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat, nilai $k$ dapat kita tentukan.
$\begin{align*} \alpha +\beta &=\frac{-b}{a}=\frac{-k}{1}=-k\\ \alpha \beta&=\frac{c}{a}=\frac{-(2k+4)}{1}=-(2k+4) \end{align*}$ 
Dengan demikian nilai $k$ dapat ditentukan sebagai berikut.
$\begin{align*} \alpha^{2}+\beta^{2}&=53\\ (\alpha +\beta )^{2}-2\alpha \beta&=53\\ (-)^{2}-2(-(2k+4))&=53\\ k^{2}+4k+8&=53\\ k^{2}+4k-45&=0\\ (k-5)(k+9)&=0\\ k=5\;\mathrm{atau}\;k&=-9 \end{align*}$ 
Jadi, nilai $k=-9$ atau $k=5$
Kunci D

Nomor 8

Akar-akar persamaan kuadrat $3x^{2}-x-4=0$ adalah $x_{1}$ dan $x_{2}$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $(3x_{1}-1)$ dan $(3x_{2}-1)$ adalah ....
(A) $x^{2}-x-38=0$
(B) $x^{2}+x-32=0$
(C) $x^{2}+x+12=0$
(D) $x^{2}+x-12=0$
(E) $x^{2}-x-12=0$

Pembahasan
Pada persamaan kuadrat $3x^{2}-x-4=0$ diperoleh $a=3$, $b=-1$, dan $c=-$ dan akar-akarnya $\begin{align*} x_{1} \end{align*}$  dan $\begin{align*} x_{2} \end{align*}$.
$\begin{align*} x_{1}+x_{2}=-\frac{-b}{a}&=\frac{-(-1)}{3}=\frac{1}{3}\\ x_{1}x_{2}&=\frac{c}{a}=\frac{-4}{3} \end{align*}$  

Misalkan persamaan kuadrat baru akar-akarnya $\begin{align*} p=3x_{1}-1 \end{align*}$ dan $\begin{align*} q=3x_{2}-1 \end{align*}$.
$\begin{align*} p+q&=(3x_{1}-1)+(3x_{2}-1)\\ &=3(x_{1}+x_{2})-2\\ &=3\left ( \frac{1}{3} \right )-2\\ &=1-2\\ &=-1 \end{align*}$
$\begin{align*} pq&=(3x_{1}-1)(3x_{2}-1)\\ &=9x_{1}x_{2}-3(x_{1}+x_{2})+1\\ &=9(-\frac{4}{3})-3(\frac{1}{3})+1\\ &=-12-1+1\\ &=-12 \end{align*}$

Persamaan kuadarat yang baru
$\begin{align*} x^{2}-(p+q)x+pq&=0\\ x^{2}-(-1)x+(-12)&=0\\ x^{2}+x-12&=0 \end{align*}$
Kunci D

Nomor 9
Persamaan kuadrat $x^{2}+(p+1)x+(2-p)=0$ memiliki akar-akar yang tidak real, nilai $p$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah ....
(A) $\begin{align*} -1<p<7 \end{align*}$
(B) $\begin{align*} -7<p<1 \end{align*}$
(C) $\begin{align*} -7\leqslant p\leqslant 1 \end{align*}$
(D) $\begin{align*} p\leqslant -7 \end{align*}$  atau $\begin{align*} p\geqslant 7 \end{align*}$
(E) $\begin{align*} p<-7 \end{align*}$  atau $\begin{align*} p>-7 \end{align*}$

Pembahasan
Pada persamaan kuadrat $x^{2}+(p+1)x+(2-p)=0$ diperoleh $a=1$, $b=(p+1)$ dan $c=(2-p)$. Oleh karena persamaan kuadrat tersebut tidak mempunyai akar real maka syarat yang harus dipenuhi adalah $D<0$, dengan $D=b^{2}-4ac$.
$\begin{align*} D&<0\\ b^{2}-4ac&<0\\ (p+1)^{2}-4(1)(2-p)&<0\\ p^{2}+2p+1-8+4p&<0\\ p^{2}+6p-7&<0\\ (p-1)(p+7)<0 \end{align*}$

Pembuat Nol
$\begin{align*}(p-1)(p+7)&=0\\ p=1\;\mathrm{atau}\;\;p&=-7 \end{align*}$
Jadi, nilai $p$ yang memenuhi $\begin{align*} -7<p<1 \end{align*}$
Kunci B

Nomor 10
Jika grafik fungsi $\begin{align*} y=3x^{2}+(m-2)x+3 \end{align*}$ menyinggung sumbu $X$, maka nilai $m$ yang memenuhi adalah ....
(A) $m=-4$ atau $m=-8$
(B) $m=-4$ atau $m=8$
(C) $m=4$ atau $m=-8$
(D) $m=4$ atau $m=8$
(E) $m=2$ atau $m=-4$

Pembahasan
Dari fungsi kuadrat $\begin{align*} y=3x^{2}+(m-2)x+3 \end{align*}$ diperolehnilai $a=3$, $b=(m-2)$, dan $c=3$. Fungsi kuadrat menyinggung sumbu $X$ maka $D=0$.
$\begin{align*} D&=0\\ b^{2}-4ac&=0\\ (m-2)^{2}-4(3)(3)&=0\\ m^{2}-4m+4-36&=0\\ m^{2}-4m-32&=0\\ (m-4)(m+8)&=0\\ m=4\;\mathrm{atau}\;m&=-8 \end{align*}$  

Jadi, nilai $\begin{align*} m=4\;\mathrm{atau}\;m&=-8 \end{align*}$ .
Kunci B

Pembahasann soal-soal berikutnya menyusul...!!!