Limit Secara Intuitif

Untuk memahami pengertian limit pada suatu titik, pandang sebuah fungsi yang didefenisikan seperti berikut:
$\begin{align*} f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2} \end{align*}$ 
fungsi $f$ jelas tidak terdefenisi di titik $x=2$, karena pada titik tersebut nilai fungsi $\frac{0}{0}$. Tetapi pertanyaan yang mungkin timbul adalah "bagaimana nilai $f(x)$ di sekitar $x=2$?'. Apakah $f(x)$ mendekati nilai tertentuk bila $x$ mendekati 2? Istilah "mendekati" disini menggunakan pengertian ukuran jarak dua titik pada garis yang dinyatakan dalam "nilai mutlak". Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita dapat menghitung nilai-nilai $f$ untuk $x$ mendekati $2$, seperti pada tabel berikut:

Dari tabel tersebut terlihat bahwa $f(x)$ akan mendekati $4$ apabila $x$ mendekati 2 baik itu dari kiri maupun dari kanan. Tetapi untuk $x=2$ akan memberi nilai $f(x)=\frac{0}{0}$ atau $f(x)$ tidak terdefenisi. Dari sini dapat dikatakan bahwa limit $f(x)$ untuk $x$ mendekati $2$ sama dengan $4$, dan ditulis dengan notasi:
$\displaystyle \lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}=4$
Pengertian limit yang seperti inilah yang disebut dengan pengertian limit secara intuitif yang secara umum didefenisikan sebagai berikut.
"$\begin{align*}\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L\end{align*}$    artinya jika $x$ mendekati $a$ (tetapi $\displaystyle x\neq a$ ) maka $f(x)$ mendekati nilai $L$".

Limit Secara Aljabar
Jika pengertian "dekat" secara intuitif, menggunakan ukuran bilangan $\varepsilon$ dan $\delta$  (yang cukup kecil), maka defenisi limit dapat pula dinyatakan sebagai berikut:
"Misalkan $a$ adalah suatu titik dalam selang terbuka $I$, dan $f$ suatu fungsi yang terdefenisi pada setiap titik di dalam $I$, kecuali mungkin di titik $a$ sendiri. 
'Limit fungsi $f$ di titik $a$ adalah $L$' dan dinotasikan sebagai: $\begin{align*} \displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=L \end{align*}$ jika dan hanya jika untuk setiap bilangan $\varepsilon$ positif (bagaimanapun kecilnya) selalu dapat ditentukan bilangan $\delta$  positif sedemikian sehingga jika $\begin{align*} 0<\left | x-a \right |<\delta \end{align*}$ maka $\begin{align*} \left |f(x)-L \right |<\varepsilon \end{align*}$ "

Post a Comment

Lebih baru Lebih lama