Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel atau biasa disingkat SPLTV adalah sebuah sistem persamaan yang memuat tiga variabel berbeda. Bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel dalam variabel $x$, $y$, dan $z$ adalah sebagai berikut.
$\begin{align*} a_{1}x+b_{1}y+c_{1}&=d_{1}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z&=d_{2}\\ a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z&=d_{3} \end{align*}$
Dimana $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, $b_{1}, b_{2}, b_{3}$, $c_{1}, c_{2}, c_{3}$, dan $d_{1}, d_{2}, d_{3}$ adalah bilangan real.
Nilai-nilai pengganti variabel $x$, $y$, dan $z$ yang memenuhi ketiga persamaan tersebut dinamakan dengan Himpunan Penyelesaian. Ada tiga cara yang dapat kita gunakan untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel, yaitu:
(a) Cara Substitusi
(b) Cara Eliminasi
(c) Gabungan Eliminasi - Substitusi
Brikut ini akan diberikan contoh soal SPLTV beserta cara penyelesaiannya dengan cara Substitusi.
Menyelesaikan SPLTV dengan Cara Substitusi
Perhatikan contoh-contoh soal berikut.
Nomor 1
Tentukan nilai $x$, $y$, dan $z$ yang memenuhi sistem persamaan berikut:
$\begin{align*} x+2y-z&=2\\ 3x+4y+2z&=17\\ 5x-3y+4z&=11 \end{align*}$
Jawab
Langkah awal adalah pilihlah salah satu dari ketiga persamaan tersebut yang paling sederhana. Dari ketiga persamaan itu, persamaan $(1)$ adalah yang paling sederhana.
Langkah berikutnya adalah dari persamaan $(1)$ yang kita pilih, pilihlah salah satu variabel yang akan disubstitusi ke persamaan lainnya, misalnya disini kita pilih variabel $x$ sebab koefisien variabel $x$ pada persamaan ini sederhana.
Langkah berikutnya adalah nyatakan $x$ sebagai fungsi $y$ dan $z$ sebagai berikut:
$\begin{align*} x+2y-z&=2\\ x&=2-2y+z\;\;\;\;\;\;\;\;\;.... \;\;(4) \end{align*}$
Selanjutnya ya tinggal eksekusi 😁
Substitusi pers. $(4)$ ke pers. $(1)$
$\begin{align*} 3x+4y+2z&=17\\ 3(2-2y+z) +4y+2z&=17\\ 6-6y+3z+4y+2z&=17\\ -2y+5z&=11\;\;\;\;\;\;\;\;.... \;\;(5) \end{align*}$
Subatitusi pers. $(4)$ ke pers. $(2)$.
$\begin{align*} 5x-3y+4z&=11\\ 5(2-2y+z) -3y+4z&=11\\ 10-10y+5z-3y+4z&=11\\ -13y+9z&=1\;\;\;\;\;\;\;\;.... \;\;(6) \end{align*}$
Kita dapat dua persamaan baru, yaitu persamaan $(5)$ dan $(6)$. Pilih salah satu persamaan dari keduanya dan pilih salah satu variabel yang akan disubstitusi. Misalnya disini saya pilih persamaan $(5)$ dan variabel $y$ yang akan saya substitusi:
$\begin{align*} -2y+5z&=11\\ -2y&=11-5z\\ y&=\frac{-11+5z}{2} \end{align*}$
Persamaan $\begin{align*}y&=\frac{-11+5z}{2} \end{align*}$ disubstitusi ke persamaan $(6)$, sebagai berikut:
$\begin{align*} -13y+9z&=1\\ -13\left ( \frac{-11+5z}{2} \right )+9z&=1\\ \frac{143-65z}{2}+9z&=1\\ 143-65z+18z&=2\\ -47z&=-141\\ z&=3 \end{align*}$
Sehingga diperoleh nilai $z=3$ yang selanjutnya disubstitusi kembali ke persamaan $y=\frac{-11+5z}{2}$, sebagai berikut.
$\begin{align*} y&=\frac{-11+5z}{2}\\ y&=\frac{-11+5(3)}{2}\\ y&=\frac{-11+15}{2}\\ y&=\frac{4}{2}\\ y&=2 \end{align*}$
Selanjutnya $y=2$ dan $z=3$ disubstitusi ke persamaan $(4)$, sebagai berikut.
$\begin{align*} x&=2-2y+z\\ x&=2-2(2) +3\\ x&=2-4+3\\ x&=1 \end{align*}$
Jadi, nilai $x$, $y$, dan $z$ berturut-turut adalah $1$, $2$, dan $3$ atau dapat ditulis $\left \{ 1,2,3\right \}$.
Nomor 2
Diberikan sistem persamaan sebagai berikut:
$\left\{\begin{matrix} 2x+y+z&=7 \\ x+3y+z&=9 \\ x+2y+3z&=9 \end{matrix}\right.$
Jika $a$, $b$, dan $c$ memenuhi sistem persaan tersebut, tentukan nilai dari $ab + c$.
Jawab
Ikuti langkah-langkah pada soal nomor $1$ di atas untuk menyelesaikan soal ini.
$\begin{align*} 2x+y+z&=7\;\;\;\;\;\;\;....\;(1) \\ x+3y+z&=9\;\;\;\;\;\;\;....\;(2) \\ x+2y+3z&=9\;\;\;\;\;\;\;....\;(3) \end{align*}$
Perhatikan persamaan $(1)$.
$\begin{align*} 2x+y+z&=7\\ z&=7-2x-y\;\;\;\;\;\;\;....\;(4) \\ \end{align*}$
Substitusi persamaan $(4)$ ke persamaan $(2)$.
$\begin{align*} x+3y+z&=9\\ x+3y+(7-2x-y)&=9\\-x+2y+7&=9\\ -x+2y&=2\\ -x&=2-2y\\ x&=2y-2\;\;\;\;\;\;\;....\;(5) \end{align*}$
Selanjutnya substitusi ke pers.$(3)$.
$\begin{align*} x+2y+3z&=9\\ x+2y+3(7-2x-y)&=9\\ x+2y+21-6x-3y&=9\\ -5x-y+21&=9\\ -5x-y&=-12\;\;\;\;\;\;\;....\;(6) \end{align*}$
Substitusi pers. $(5)$ ke pers. $(6)$.
$\begin{align*} -5x-y&=-12\\ -5(2y-2)-y &=-12\\ -10y+10-y&=-12\\ -11y&=-22\\ y&=2 \end{align*}$
Substitusi $y=2$ ke pers. $(5)$.
$\begin{align*} x&=2y-2\\ x&=2(2) -2\\ x&=4-2\\ x&=2 \end{align*}$
Nilai $x=2$ dan $z=2$ disubstitusi ke persamaan $(4)$.
$\begin{align*} z&=7-2x-y\\ z&=7-2(2) -2\\ z&=7-4-2\\ z&=1 \end{align*}$
Dengan demikian:
$\begin{align*} ab + c&=(2)(2) +1\\ &=5 \end{align*}$
Nomor 3
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan:
$\begin{align*} \left\{\begin{matrix} x+y-6z&=-1\\ 2x+y-3z&=4\\ 4x-y+3z&=8 \end{matrix}\right. \end{align*}$
Jawab
$\begin{align*} \left\{\begin{matrix} x+y-6z&=-1\;\;\;\;\;\;\;....\;(1)\\ 2x+y-3z&=4\;\;\;\;\;\;\;....\;(2)\\ 4x-y+3z&=8\;\;\;\;\;\;\;....\;(3) \end{matrix}\right. \end{align*}$
Perhatikan persamaan $(1) $, persamaan$(1)$ dapat diubah bentuknya seperti berikut.
$\begin{align*} x+y-6z&=-1\\ x&=-1-y+6z\;\;\;\;\;\;\;....\;(4) \end{align*}$
Substitusi pers. $(4)$ ke pers. $(2)$ seperti berikut.
$\begin{align*} 2x+y-3z&=4\\ 2(-1-y+6z)+y-3z&=4\\ -2-2y+12z+y-3z&=4\\ -y+9z&=6\\ y&=9z-6\;\;\;\;\;....\;(5) \end{align*}$
Substitusi pers. $(4)$ ke pers. $(3)$ seperti berikut.
$\begin{align*} 4x-y+3z&=8\\ 4(-1-y+6z)-y+3z&=8\\ -4-4y+24z-y+3z&=8\\ -5y+27z&=12\;\;\;\;\;....\;(6) \end{align*}$
Substitusi pers. $(5)$ ke pers. $(6)$ seperti berikut.
$\begin{align*} -5y+27z&=12\\ -5(9z-6)+ 27z&=12\\ -45z+30+27z&=12\\ -18z&=-18\\ z&=1 \end{align*}$
Substitusi $z=1$ ke pers. $(5)$ seperti berikut.
$\begin{align*}y&=9z-6\\y&=9(1) -6\\y&=9-3\\y&=3\end{align*}$
Subatitusi $y=3$ dan $z=1$ ke pers. $(4)$ seperti berikut.
$\begin{align*}x&=-1-y+6z\\x&=-1-3+6(1)\\x&=2\end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah $\begin{align*} \left \{ 2,\;3,\;1\right \} \end{align*}$.
Selanjutnya kita akan menyelesaikan beberapa masalah kontekstual terkait sistem persamaan linear tiga variabel dan akan kita selesaikan dengan cara substitusi.
Nomor 4
Toko alat tulis bu Ira menjual alat tulis berupa buku, spidol, dan tinta dalam tiga jenis paket sebagai berikut.
Paket A terdiri dari:
$3$ buku, $1$ spidol, dan $2$ tinta seharga Rp$17.200, 00$
Paket B terdiri dari:
$2$ buku, $3$ spidol, dan $3$ tinta seharga Rp$19.700, 00$.
Paket C terdiri dari:
$1$ buku, $2$ spidol, dan $2$ tinta seharga Rp$14.000, 00$.
Hitunglah harga satuan buku, spidol, dan tinta tersebut.
Jawab
Langkah awal untuk menyelesaikan soal seperti ini adalah kita buat model matematika yang sesuai. Misalkan:
Harga buku $=x$
harga spidol $=y$
Harga tinta $=z$
Berdasarkan informasi dari soal, kita peroleh model matematika yang sesuai, yaitu sebagai berikut.
$\begin{align*} \textrm{Paket A}&:3x+y+2z=17.200\;\;\;....(1)\\ \textrm{Paket B}&:2x+2y+3z=19.700\;\;\;.... (2)\\ \textrm{Paket C}&:x+2y+2z=14.000\;\;\;.... (3) \end{align*}$
Dari ketiga persamaan di atas, kita ambil persamaan $(3)$ dan variabel $x$ yang akan substitusi ke persamaan lainnya. Persamaan $(3)$ kita ubah bentuknya sebagai fungsi $y$ dan $z$ sebagai berikut.
$\begin{align*} x+2y+2z&=14.000\\ x&=14.000-2y-2z\;\;\;\;\;\;....\;\;(4) \end{align*}$
Substitusi persamaan $(4)$ ke persamaan $(1)$.
$\begin{align*} 3x+y+2z&=17.200\\ 3(14.000-2y-2z) +y+2z&=17.200\\ 42.000-6y-6z+y+2z&=17.200\\ -5y-4z&=-24.800\\ 5y+4z&=24.800\;\;\;\;\;\;\;....(5) \end{align*}$
Substitusi persamaan $(4)$ ke persamaan $(2)$.
\[\begin{align*} 2x+2y+3z&=19.200\\ 2(14.000-2y-2z) +2y+3z&=19.200\\ 28.000-4y-4z+2y+3z&=19.200\\ -2y-z&=-8.800\\ 2y+z&=8.800\\ z&=8.800-2y\;\;\;\;\;.... (6) \end{align*}\]
Substitusi persamaan $(6)$ ke persamaan $(5)$.
\[\begin{align*} 5y+4z&=24.800\\ 5y+4(8.800-2y)&=24.800\\ 5y+32.000-8y&=24.800\\ -3y&=-7.200\\ y&=2.400 \end{align*}\]
Substitusi $y=2.400$ ke persamaan $(6)$.
$\begin{align*} z&=8.800-2y\\ z&=8.800-2(2.400) \\ z&=8.800-4.800\\ z&=4.000 \end{align*}$
Substitusi $y=2.400$ dan $z=4.000$ ke persamaan $(4)$.
$\begin{align*} x&=14.000-2y-2z\\ x&=14.000-2(2.400) -2(4.000) \\ x&=14.000-4.800-8.000\\ x&=1.200 \end{align*}$
Jadi, harga satuan buku, spidol, dan tinta berturut-turut adalah Rp$1.200, 00$, Rp$2.400, 00$, dan Rp$4.000$.
Nomor 4
Jumlah $3$ buah bilangan adalah $75$. Bilangan pertama lima lebihnya dari jumlah bilangan lain. Bilangan kedua seperempat dari jumlah bilangan yang lain. Tentukan ketiga bilangan yang dimaksud.
Jawab.
Misalkan:
$a=$ bilangan pertama
$b=$ bilangan kedua
$c=$ bilangan ketiga
Kita buat model matematika yang sesuai dengan informasi dari soal.
Jumlah $3$ buah bilangan adalah $75$, maka:
$a+b+c=75$ .... $(1)$
Bilangan pertama lima lebihnya dari jumlah bilangan lain, maka:
$a=b+c+5$ .... $(2)$
Bilangan kedua seperempat dari jumlah bilangan yang lain, maka:
$\begin{align*} b&=\frac{1}{4}(a+c)\\ 4b&=a+c\\ a&=4b-c\;\;\;\;\;\;\;\;.... (3) \end{align*}$
Substitusi persamaan $(3)$ ke persamaan $(2)$.
$\begin{align*} a&=b+c+5\\ 4b-c&=b+c+5\\ 3b-2c&=5 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;....\;(4) \end{align*}$
Substitusi persamaan $(3)$ ke persamasn $(1)$.
$\begin{align*} a+b+c&=75\\ 4b-c+b+c&=75\\ 5b&=75\\ b&=15 \end{align*}$
Substitusi $b=15$ ke persamaan $(4)$.
$\begin{align*} 3b-2c&=5\\ 3(15) -2c&=5\\ 45-2c&=5\\ -2c&=-40\\ c&=20 \end{align*}$
Substitusi $b=15$ dan $c=20$ ke persamasn $(2)$.
$\begin{align*} a&=b+c+5\\ a&=15+20+5\\ a&=40 \end{align*}$
Jadi, ketiga bilangan itu adalah $40, 15$, dan $20$.
Perhatian:
Jika menggunakan android gunakan mode landscape ya/(matikan kunci orientasi) pada hp kalianya supaya artikel ini terbaca jelas.
Itulah beberapa contoh soal sistem persamaan linear tiga variabel beserta pembahasannya dengan cara substitusi. Untuk dua cara lainnya akan dibahas di postingan lainnya. So, pantengin terus blog ini ya 🙂☺.
Kritik dan saran sampaikan pada kolom komentar.
Posting Komentar