Barisan dan Deret Aritmetika

Materi barisan aritmetika merupakan salah satu materi penting dalam pembelajaran matetika baik itu di tingkat SMP maupun di tingkat SMA. Materi ini juga ternyata banyak sekali ditemukan di dalam kehidupan sehari-sehari kita, namun kita sering kali tidak menyadarinya. Bahkan banyak masalah-masalah di alam semesta ini, atau pun masalah kehidupan sehari-hari kita bisa dipecahkan dengan menggunakan konsep barisan aritmetika. Apa itu barisan aritmetika? Simaklah penjelasan contoh soal berikut.

Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan dimana selisih dua suku berurutan selalu tetap atau bernilai konstan.
Contoh barisan aritmetika.

$2,4,6,8,9,10,...$

Bentuk Umum Barisan Aritmetika
Secara umum barisan aritmetika dinyatakan dalam bentuk berikut:

$U_{1},\; U_{2},\;U_{3},\;..., \;U_{n}$ atau $a,\;(a+b),\;(a+2b),\;...,\;(a+(n-1)b)$

dimana:

$b=U_{n}-U_{n-1}$

Keterangan:

$b=$ beda barisan

$a=$ suku pertama

$U_{n}=$ suku ke-$n$

$n=$ banyak suku

Deret Aritmetika
Jika $U_{1},\;U_{2}, \;U_{3},\;...,\; U_{n}$ adalah barisan aritmetika, maka:
$U_{1}+U_{2}+U_{3}+...+U_{n}$ disebut deret artimetika. Jumlah suku-suku deret aritmetika dinotasikan dengan $S_{n}$.

Berikut ini beberapa konsep penting pada barisan dan deret aritmetika:

(1) Rumus suku ke-$n$
Suatu barisan aritmetika dengan suku pertama $a$ dan beda $b$, maka rumus suku ke-$n$ barisan aritmetika tersebut adalah:

$\begin{align*}U_{n}=a+(n-1)b\end{align*}$

(2) Suku Tengah $(U_{t})$
Suatu barisan aritmetika dengan suku pertama $a$ dan beda $b$ serta banyak suku barisan aritmetika tersebut ganjil $n$, maka rumus suku tengah $U_{t}$ adalah:

$\begin{align*}U_{t}=\frac{1}{2}\left(a+U_{n}\right)\end{align*}$

(3) Sisipan
Misalkan, diantara dua suku $U_{1}$ dan $U_{2}$ disisipkan sebanyak $k$ bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika yang baru.
Barisan aritmetika mula- mula: $U_{1}$, $U_{2}$ dengan beda $b=U_{2}-U_{2}$.
Misalkan beda barisan aritmetika yang baru adalah $b'$, maka barisan aritmetika yang baru adalah:

$U_{1}, (U_{1}+b'),(U_{1}+2b')+(U_{1}+3b'),...,(U_{1}+kb'),(U_{2})$

sehingga diperoleh rumus untuk menentukan beda barisan aritmetika yang baru sebagai berikut:

$\begin{align*}b'=\frac{b}{k+1}\end{align*}$

(4) Jumlah $n$ suku pertama

Jumlah $n$ suku pertama deret atau barisan aritmetika ditentukan dengan rumus:

$\begin{align*}S_{n}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)\end{align*}$

atau

$\begin{align*}S_{n}=\frac{n}{2}(a+U_{n})\end{align*}$

Keterangan:

$S_{n}=$ jumlah $n$ suku pertama

$a=$ suku pertama

$b=$ beda barisan

$U_{n}=$ suku terakhir barisan

$n=$ banyak suku

Selanjutnya perhatikan beberapa contoh soal berikut.

Soal 1

Suku keempat dan suku ketujuh sebuah barisan berturut-turut adalah $17$ dan $29$. Nilai suku ke-$25$ barisan tersebut sama dengan ....

(A). $97$

(B). $101$

(C). $105$

(D). $109$

(E). $113$

Pemabahasan

$U_{4}=17\;\;\;\;⇔\;\;\;\;a+3b=17\;\;\;\;....(1)$

$U_{7}=25\;\;\;\;⇔\;\;\;\;a+6b=29\;\;\;\;....(2)$

Ubah pers. $(1)$  $a+3b=17$ menjadi $a=17-3b$, selanjutnya disubstitusi ke pers $(2)$, sebagai berikut.

$\begin{align*}a+6b&=29\\(17-3b)+6b&=29\\17+3b&=29\\3b&=12\\b&=4\end{align*}$
Substitusi $b=4$ ke $a=17-3b$, sebagai berikut.
$\begin{align*}a&=17-3b\\a&=17-3(4)\\a&=17-12\\a&=5\end{align*}$
Selanjutnya akan ditentukan nilai suku ke-$25$, sebagai berikut.
$\begin{align*}Un&=a+(n-1)b\\U25&=5+(25-1)×4\\U25&=5+24×4\\U25&=5+96\\U25&=101\end{align*}$

Jadi, nilai suku ke-$25$ adalah $101$

Soal 2
Diketahui $(x-1),(x+3),(3x-1)$ merupakan tiga suku pertama suatu barisan aritmetika. Tentukan suku ke-$10$ dari barisan tersebut.

Pembahasan
Pada barisan aritmetika berlaku sifat:

$U2-U1=U3-U2$

Dari sifat tersebut, akan ditentukan nilai $x$, sebagai berikut.
$\begin{align*}U2-U1&=U3-U2\\(x+3)-(x-1)&=(3x-1)-(x+3)\\4&=2x-4\\8&=2x\\x&=4\end{align*}$.
Dengan demikian,
$\begin{align*}U1&=x-1=4-1=3\\U2&=x+3=4+3=7\end{align*}$
Beda barisan $b=7-3=4$.
Suku ke-$10$

Baca Juga

$\begin{align*}Un&=a+(n-1)b\\U10&=3+(10-1)4\\U10&=3+36\\U10&=39\end{align*}$
Jadi, suku ke-$10$ barisan tersebut adalah $39$.

Soal 3
Jumlah suku keempat dengan suku keduabelas barisan aritmetika adalah 12, sedangkan suku kelima adalah 12. Tentukan suku ke-$11$ dan suku ke-$12$ barisan tersebut.

Pembahasan
$\begin{align*}U4+U12=12\Leftrightarrow (a+3b)+(a+11b)&=12\\ 2a+14b&=12\\ a+7b&=6\;\;\;\;\;\;\;\;.....\textrm{(i)}\\ U5=12\Leftrightarrow a+4b&=12\;\;\;\;\;\;.....\textrm{(ii)}\\ \end{align*}$
Kurangi kedua persamaan, diperoleh:

$\frac{\begin{align*} a+4b &=12 \\ a+7b&=6 \end{align*}}{\begin{align*} -3b &=6 \\ b&=-2 \end{align*}}-$

Substitusi $b=-2$ ke persamaan $(i)$, diperoleh:
$\begin{align*} a+7b&=6\\ a+7(-2)&=6\\ a-14&=6\\ a&=20 \end{align*}$
Dengan demikian,
Suku ke-$11$
$\begin{align*} U11&=a+10b\\ U11&=20+10(-2)\\ U11&=20-20\\ U11&=0\\ \end{align*}$
Suku ke-$12$
$\begin{align*} U12&=a+11b\\ U12&=20+11(-2)\\ U12&=20-22\\ U12&=-2\\ \end{align*}$
Jadi, suku ke-$11$ dan suku ke-$12$ berturut-turut adalah $0$ dan $-2$.

Soal 4
Jika pada suatu deret aritmetika suku ke-$7$ dan ke-$10$ berturut-turut $13$ dan $19$, maka jumlah $20$ suku pertama adalah....
(A). $100$
(B). $200$
(C). $300$
(D). $400$
(E). $500$

Pembahasan
$\begin{align*}U7=13\;\;\;⇔\;\;\;a+6b&=13\;\;\;....\textrm{(i)}\\U10=19\;\;\;⇔\;\;\;a+9b&=19\;\;\;....\textrm{(ii)}\end{align*}$

Kurangi kedua persamaan, sebagai berikut.

$\frac{\begin{align*} a+9b &=19 \\ a+6b&=13 \end{align*}}{\begin{align*} 3b&=6 \\ b &= 2 \end{align*}}-$ 

Substitusi $b=2$ ke persamaan $(i)$ atau $(ii)$. Ke persamaan $(i)$ misalnya.
$\begin{align*}a+6b&=13\\a+6(2)&=13\\a+12&=13\\a&=1\end{align*}$
Selanjutnya, akan ditentukan jumlah $20$ suku pertama deret tersebut, sebagai berikut.
$\begin{align*}Sn&=\frac{n}{2}\left(2a+(n-1)b\right)\\S20&=\frac{20}{2}\left(2(1)+(20-1)2\right)\\S20&=10(2+38)\\S20&=400\end{align*}$
Jadi, jumlah $20$ suku pertama deret tersebut sama dengan $400$.

Soal 5
Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-$3=7$ dan suku ke-$10=21$. Rumus jumlah $n$ suku pertama barisan tersebut adalah ....
(A). $n^{2}-6n$
(B). $n^{2}$
(C). $n^{2}+2n$
(D). $n^{2}+4n$
(E). $n^{2}+6n$

Pembahasan
$\begin{align*}U3=7\;\;\;⇔a+2b&=7\;\;\;\;....\textrm{(i)}\\U10=21\;\;\;a+9b&=21\;\;\;....\textrm{(ii)}\end{align*}$
Kurangi kedua persamaan sebagai berikut.

$\frac{\begin{align*} a+9b&=21 \\ a+2b&=7 \end{align*}}{\begin{align*} 7b&=14 \\ b&= 2 \end{align*}}$ 

Substitusi $b=2$ ke salah persamaan $(i)$ atau persamaan $(ii)$. Misalnya ke persamaan $(ii)$.
$\begin{align*}a+9b&=21\\a+9(2)&=21\\a+18&=21\\a&=3\end{align*}$
Rumus jumlah $n$ suku pertama deret tersebut.
$\begin{align*}Sn&=\frac{n}{2}\left(2a+(n-1)b\right)\\Sn&=\frac{n}{2}\left(2(3)+(n-1)2\right)\\Sn&=\frac{n}{2}\left(6+2n-2)\right)\\Sn&=\frac{n}{2}\left(2n+4\right)\\Sn&=\frac{2n^{2}}{2}+\frac{4n}{2}\\Sn&=n^{2}+2n\end{align*}$
Jadi, rumus jumlah $n$ suku pertama deret tersebut adalah $Sn=n^{2}+2n$.

Soal 6
Jumlah lima bilangan yang membentuk deret aritmetika adalah $125$. Jika hasil kali bilangan terkecil dengan bilangan terbesar adalah $225$, maka selisih bilangan terbesar dengan bilangan ter kecil adalah ....
(A). $20$
(B). $25$
(C). $30$
(D). $40$
(E). $45$

Pembahasan
☞ Jumlah lima bilangan membentuk deret aritmetika sama dengan $125$, maka dapat kita tulis sebagai berikut:
$\begin{align*}U1+U2+U3+U4+U5&=125\\(a-2b)+(a-b)+a+(a+b)+(a+2b)&=125\\5a&=125\\a&=25\;\;\;\;....\textrm{(i)}\end{align*}$

☞ Hasil kali bilangan terkecil dengan terbesar sama dengan $225$, maka dapat ditulis sebagai berikut.

$\begin{align*}a(a+4b)&=225\;\;\;\;....\textrm{(ii)}\end{align*}$

☞ Substitusi persamaan $(i)$ ke persamaan $(ii)$.
$\begin{align*}a(a+4b)&=225\\5(5+4b)&=225\\5+4b&=45\\4b&=40\\b&=10\end{align*}$
Bilangan Terkecil = $a-2b=25-2(10)=5$
Bilangan Terbesar = $a+2b=25+2(10)=45$
Jadi, selisih bilangan terbesar dengan bilangan terkecil adalah $45-5=40$.

Soal 7
Diketahui suku tengah deret aritmetika sama dengan $32$ dan jumlah $n$ suku pertamanya $672$. Tentukan banyak suku deret aritmetika tersebut!

Pembahasan
Suku tengah = $U_{t}=32$, maka:

$\begin{align*}U_{t}&=32\\\frac{1}{2}(a+U_{n})&=32\\a+U_{n}&=64\end{align*}$

Diketahui pula jumlah $n$ suku pertama sama dengan $672$, maka:

$\begin{align*}S_{n}&=672\\\frac{n}{2}(a+U_{n})&=672\\\frac{n}{2}(64)&=672\\32n&=672\\n&=21\end{align*}$

Soal 8
Antara bilangan $20$ dan $116$ disisipkan $11$ buah bilangan sehingga membentuk deret aritmetika. Jumlah $11$ bilangan itu adalah ....
(A) $82$
(B) $108$
(C) $126$
(D) $748$
(E) $796$

Pembahasan
Diantara bilangan $20$ dan $116$ disisipkan $11$ bilangan, maka:

$b=116-20=96$ dan $k=11$.

Misalkan, beda barisan aritmetika setelah disisipkan 11 bilangan adalah $b'$, maka:

$\begin{align*}b'&=\frac{b}{k+1}\\b'&=\frac{96}{11+1}\\b'&=\frac{96}{12}\\b'&=8\end{align*}$

Sehingga deret aritmetika tersebut menjadi:

$20,28,36,...,116$

Yang akan kita hitung adalah jumlah $11$ bilangan yang disisipkan tadi, artinya $a=28$, $b=8$, dan $n=11$, sebagai berikut.

$\begin{align*}S_{n}&=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)\\S_{11}&=\frac{11}{2}(2×28+(11-1)8)\\S_{11}&=\frac{11}{2}(56+80)\\S_{11}&=\frac{11}{2}(136)\\S_{11}&=748\end{align*}$

Jadi, jumlah $11$ bilangan tersebut adalah $748$.

Soal 9
 Seutas pita dipotong menjadi $10$ bagian dengan ukuran tiap potongannya membentuk deret aritmetika. Jika potongan pita terpendek $20$ cm dan terpanjang $155$ cm, maka panjang pita semula adalah ....
(A). $800$ cm
(B). $825$ cm
(C). $850$ cm
(D). $875$ cm
(E). $900$ cm

Pembahasan
Potongan terpendek $=a=20$ cm
Potongan terpanjang $=U_{10}=155$ cm
Panjang pita mula-mula:

$\begin{align*}S_{n}&=\frac{n}{2}(a+U_{n}\\S_{10}&=\frac{10}{2}(20+155)\\S_{10}&=5(170)\\S_{10}&=850\end{align*}$

Jadi, panjang pita semula adalah $850$ cm.