Nilai diskriminan persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$ ditentukan oleh rumus:
$D=b^{2}-4ac$
Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat ditinjau dari Nilai Diskriminannya
- Jika $D≥0$ maka persamaan kuadrat memiliki akar real.
- Jika $D>0$ maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan.
- Jika $D=0$ maka persamaan kuadrat memiliki dua akar yang sama,real dan rasional.
- Jika $D<0$ maka persamaan kuadrat tidak memiliki akar-akar real atau imajiner.
Selanjutnya kita perhatikan beberapa contoh soal berikut ini.
Contoh
Tanpa harus menyelesaikan persamaan terlebih dahulu, tentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat berikut.
(a) $4x^{2}-10x+2=0$
(b) $x^{2}+6x+9=0$
(c) $4x^{2}-3x+4=0$
Jawab
(a) Dari persamaan kuadrat $4x^{2}-10x+2=0$ didapat $a=4$, $b=-10$, dan $c=2$, maka:
$\begin{align*}D&=b^{2}-4ac\\&=(-10)^{2}-4(4)(2)\\&=100-32\\&=78\end{align*}$
Oleh karena $D=78>0$, maka persamaan kuadrat $4x^{2}-10x+2=0$ memiliki dua akar real yang berlainan.
(b) Dari persamaan kuadrat $x^{2}+6x+9=0$ didapat $a=1$, $b=6$, dan $c=9$, maka:
$\begin{align*}D&=b^{2}-4ac\\&=(6)^{2}-4(1)(9)\\&=36-36\\&=0\end{align*}$
Oleh karena $D=0$, maka persamaan kuadrat $x^{2}+6x+9=0$ memiliki akar kembar real.
(c) Dari persamaan kuadrat $4x^{2}-3t+4=0$ didapat $a=4$, $b=-3$, dan $c=4$, maka:
$\begin{align*}D&=b^{2}-4ac\\&=(-3)^{2}-4(4)(4)\\&=9-64\\&=-55\end{align*}$
Oleh karena $D=-55<0$, maka persamaan kuadrat $4x^{2}-3t+4=0$ tidak memiliki akar-akar real atau imajiner.
Contoh
Diketahui persamaan kuadrat $mx^{2}-(2m-3)x+(m-1)=0$. Agar persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar real berbeda, maka nilai $m$ adalah ....
(A) $\begin{align*}m>\frac{13}{2},m≠0\end{align*}$
(B) $\begin{align*}m<\frac{9}{8},m≠0\end{align*}$
(C) $\begin{align*}m>\frac{9}{8},m≠0\end{align*}$
(D) $\begin{align*}m<\frac{9}{4},m≠0\end{align*}$
(E) $\begin{align*}m>\frac{9}{4},m≠0\end{align*}$
(A) $\begin{align*}m>\frac{13}{2},m≠0\end{align*}$
(B) $\begin{align*}m<\frac{9}{8},m≠0\end{align*}$
(C) $\begin{align*}m>\frac{9}{8},m≠0\end{align*}$
(D) $\begin{align*}m<\frac{9}{4},m≠0\end{align*}$
(E) $\begin{align*}m>\frac{9}{4},m≠0\end{align*}$
Jawab
Kunci: D
Dari persamaan kuadrat $mx^{2}-(2m-3)x+(m-1)=0$ diperoleh $a=m$, $b=-(2m-3)$, dan $c=m-1$. Agar persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar real berbeda, syaratnya $D>0$.
$\begin{align*}D&>0\\b^{2}-4ac&>0\\(-(2m-3))^{2}-4(m)(m-1)&>0\\4m^{2}-12m+9-4m^{2}+4m&>0\\-8m+9&>0\\-8m&>-9\\m&<\frac{9}{8}\end{align*}$
Jadi, nilai $\begin{align*}m<\frac{9}{8}\end{align*}$.
Kunci: D
Dari persamaan kuadrat $mx^{2}-(2m-3)x+(m-1)=0$ diperoleh $a=m$, $b=-(2m-3)$, dan $c=m-1$. Agar persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar real berbeda, syaratnya $D>0$.
$\begin{align*}D&>0\\b^{2}-4ac&>0\\(-(2m-3))^{2}-4(m)(m-1)&>0\\4m^{2}-12m+9-4m^{2}+4m&>0\\-8m+9&>0\\-8m&>-9\\m&<\frac{9}{8}\end{align*}$
Jadi, nilai $\begin{align*}m<\frac{9}{8}\end{align*}$.
Contoh
Nilai diskriminan persamaan kuadrat $3x^{2}-(m+1)x-2=0$ adalah $40$. Tentukan nilai $m$ yang memenuhi.
Jawab
Dari persamaan kuadrat $3x^{2}-(m+1)x-2=0$ diperoleh nilai:
$\begin{align*}a&=3\\b&=-(m+1)\\c&=-2\end{align*}$
Dengan demikian:
$\begin{align*}D&=40\\b^{2}-4ac&=40\\(-(m+1))^{2}-4(3)(-2)&=40\\(m+1)^{2}+24&=40\\m^{2}+2m+1+24&=40\\m^{2}+2m-16&=0\\(m+5)(m-3)&=0\\m=-5\;\;\;\textrm{atau}\;\;\;m&=3\end{align*}$
Jadi, nilai $m$ yang memenuhi yaitu $-5$ dan$3$.
Contoh
Nilai diskriminan persamaan kuadrat $3x^{2}-(m+1)x-2=0$ adalah $40$. Tentukan nilai $m$ yang memenuhi.
Jawab
Dari persamaan kuadrat $3x^{2}-(m+1)x-2=0$ diperoleh nilai:
$\begin{align*}a&=3\\b&=-(m+1)\\c&=-2\end{align*}$
Dengan demikian:
$\begin{align*}D&=40\\b^{2}-4ac&=40\\(-(m+1))^{2}-4(3)(-2)&=40\\(m+1)^{2}+24&=40\\m^{2}+2m+1+24&=40\\m^{2}+2m-16&=0\\(m+5)(m-3)&=0\\m=-5\;\;\;\textrm{atau}\;\;\;m&=3\end{align*}$
Jadi, nilai $m$ yang memenuhi yaitu $-5$ dan$3$.
Contoh
Diketahui persamaan kuadrat $x^{2}+(a-2)x-2+a=0$ mempunyai akar-akar real berbeda, maka nilai $a$ yang memenuhi adalah ....
(A) $-6<a<-2$
(B) $2<a<6$
(C) $a<-6$ atau $a>2$
(D) $a<2$ atau $a>6$
(E) $a<-2$ atau $a>6$
(A) $-6<a<-2$
(B) $2<a<6$
(C) $a<-6$ atau $a>2$
(D) $a<2$ atau $a>6$
(E) $a<-2$ atau $a>6$
Jawab
Kunci: D
Dari persamaan kuadrat $x^{2}+(a-2)x-2+a=0$ diperoleh $a=1$, $b=(a-2)$, dan $c=-2+a$. Agar persamaan kuadrat tersebut memiliki akar real berbeda, maka $D>0$.
$\begin{align*}D&>0\\b^{2}-4ac&>0\\(a-2)^{2}-4(1)(-2+a)&>0\\a^{2}-4a+4+8-4a&>0\\a^{2}-8a+12&>0\\(a-2)(a-6)&>0\\a<2\;\;atau\;\;a&>6\end{align*}$
Jadi, nilai yang memenuhi adalah $a<2$ atau $a>6$.
Contoh
Tentukan nilai $p$ agar persamaan kuadrat $(p+1)x^{2}-8x+2=0$ memiliki akar kembar.
Jawab
Dari persamaan kuadrat $(p+1)x^{2}-8x+2=0$ diperoleh $a=p+1$, $b=-8$, dan $c=2$. Supaya persamaan kuadrat tersebut memiliki akar kembar, maka $D=0$.
$\begin{align*}D&=0\\b^{2}-4ac&=0\\(-8)^{2}-4(p+1)(2)&=0\\64-8p-8&=0\\-8p&=-56\\p&=7\end{align*}$.
Jadi, nilai $p=7$.
Contoh
Kunci: D
Dari persamaan kuadrat $x^{2}+(a-2)x-2+a=0$ diperoleh $a=1$, $b=(a-2)$, dan $c=-2+a$. Agar persamaan kuadrat tersebut memiliki akar real berbeda, maka $D>0$.
$\begin{align*}D&>0\\b^{2}-4ac&>0\\(a-2)^{2}-4(1)(-2+a)&>0\\a^{2}-4a+4+8-4a&>0\\a^{2}-8a+12&>0\\(a-2)(a-6)&>0\\a<2\;\;atau\;\;a&>6\end{align*}$
Jadi, nilai yang memenuhi adalah $a<2$ atau $a>6$.
Contoh
Tentukan nilai $p$ agar persamaan kuadrat $(p+1)x^{2}-8x+2=0$ memiliki akar kembar.
Jawab
Dari persamaan kuadrat $(p+1)x^{2}-8x+2=0$ diperoleh $a=p+1$, $b=-8$, dan $c=2$. Supaya persamaan kuadrat tersebut memiliki akar kembar, maka $D=0$.
$\begin{align*}D&=0\\b^{2}-4ac&=0\\(-8)^{2}-4(p+1)(2)&=0\\64-8p-8&=0\\-8p&=-56\\p&=7\end{align*}$.
Jadi, nilai $p=7$.
Contoh
Tentukan batas-batas nilai $m$ agar persamaan kuadrat $(m+1)x^{2}+2mx+m-2=0$ tidak memiliki akar real.
Jawab
Dari persamaan kuadrat $(m+1)x^{2}+2mx+m-2=0$ diketahui $a=m+1$, $b=2m$, dan $c=m-2$. Syarat agar persamaan kuadrat tidak memiliki akar real adalah $D<0$.
$\begin{align*}D&<0\\b^{2}-4ac&<0\\(2m)^{2}-4(m+1)(m-2)&<0\\4m^{2}-4m^{2}+4m+8&<0\\4m&<-8\\m&<-2\end{align*}$
Demikianlah, semoga tulisan sederhana ini memberi manfaat bagi yang memerlukan.