Langsung ke konten utama

Postingan

Menampilkan postingan dari April, 2018

Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut Istimewa

Sudut istimewa atau biasa juga disebut sudut khusus adalah sudut-sudut yang nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditentukan tanpa harus menggunakan alat bantu (seperti kalkulator dan tabel trigonometri). Sudut-sudut istimewa tersebut adalah $0°$, $30°$, $45°$, $60°$, dan $90°$. Nilai-nilai sudut-sudut istimewa ini sering kita jumpai di buku-buku cetak, rangkuman, dan lain-lainnya. Bahkan ada yang sudah yang hafal. Tetapi yang jadi pertanyaan, adakah yang tau dari mana asal-usul nilai tersebut. Buat yang belum tau dari mana nilai-nilai tersebut, tanang!!! Karena pada kesempatan kali ini, penulis mencoba menjelaskan secara sederhana asal-asul nilai-nilai tersebut.

Untuk menentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa yang dimaksud, kita dapat meggunakan konsep Lingkaran Satuan. Apa itu lingkaran saatua? Lingkaran satuan adalah lingkaran yang berjari-jari satu satuan seperti pada gambar berikut.
Lingkaran satuan itulah yang akan kita pakai.

Perbandingan Trigonom…

Algebra: Problems and Solutions

Berikut adalah contoh-contoh soal tantangan. Dikatakan tantangan karena memang membutuhkan kesabaran dan ketekunan untuk menyelesaikannya...hehehe
Nomor 1 (Aljabar)
Diketahui $a\sqrt{a}+ b\sqrt{b}=183$ dan $a\sqrt{b}+b\sqrt{a}=182$. Tentukan nilai dari $\begin{align*}\frac{9}{5}(a+b)\end{align*}$.
Sumber: Disini
Solusi Misalkan:  $\sqrt{a}=x \rightarrow x^{2}=a$ $\sqrt{b}=y\rightarrow y^{2}=b$ Maka persamaan semula menjadi: $\begin{align*} x^{3}+y^{3}&=183\;\;\;\;\;\;....(1)\\ x^{2}y+y^{2}x=182\;\Rightarrow xy(x+y)&=182\;\;\;\;\;\;.... (2)\\ \end{align*}$ Kita gunakan identitas berikut.
$\begin{align*} (x+y)^{3}&=x^{3}+y^{3}+3(x^{2}y+xy^{2}) \end{align*}$ 
Substitusi persamaan $(1)$ dan $(2)$ ke identitas di atas, maka diperoleh:
$\begin{align*} (x+y)^{3}&=x^{3}+y^{3}+3(x^{2}y+xy^{2})\\ (x+y)^{3}&=183+3(182)\\ (x+y)^{3}&=729\\ x+y&=9\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;....(3) \end{align*}$
Substitusi persamaan $(3)$ ke persamaan $(2)$, di…

Persamaan Garis Singgung Lingkaran (PGSL)

Kita telah mengetahui bahwa ada tiga kemungkinan kedudukan suatu garis terhadap lingkaran,yaitu memotong lingkaran di dua titik berlainan, memotong lingkaran di satu titik (menyinggung), dan tidak memotong lingkaran. Garis yang menyinggung lingkaran inilah yang dinamakan dengan Garis Singgung Lingkaran.
1. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui Titik pada Lingkaran
Perhatikan gambar berikut!

Lingkaran berpusat di $P(a,b)$ dan berjari-jari $r$. Garis $g$ disebut garis singgung lingkaran di titik $A(x_{1},y_{1})$ dan $AP$ tegak lurus $g$. Persamaan garis singgung lingkaran di titik $A(x_{1},y_{1})$ diperlihatkan pada tabel berikut.
2. Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu Perhatikan gambar berikut. Lingkaran berpusat di $(a,b)$ berjari-jari $r$. $g$ adalah garis singgung lingkaran dengan gradien $m$. Persamaan garis singgung lingkaran dengan titik pusat $(a,b)$ dan bergradien $m$ diperlihat pada tabel berikut.
3. Persamaan Garis Singgung Lingkaran Melalui suatu Ti…

Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Setelah di postingan sebelumnya penulis membahas tentang kedudukan suatu titik terhadap lingkaran disini, maka pada tulisan kali ini kembali penulis memaparkan mengenai kedudukan suatu garis terhadap lingkaran.
Misalkan terdapat garis $g$ dengan persamaan $y=mx+n$ dan lingkaran $L$ dengan persamaan $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$. Kedudukan garis $g$ terhadap lingkaran $L$ dapat ditentukan dengan cara mensubstitusi persamaan garis $g$ ke persamaan lingkaran $L$. Perhatikan berikut.
$\begin{align*} x^{2}+y^{2}+Ax+By+C&=0\\ x^{2}+(mx+n)^{2}+Ax+B(mx+n)+C&=0\\ x^{2}+m^{2}x^{2}+2mnx+n^{2}+Ax+Bmx+Bn+C&=0\\ (1+m^{2})x^{2}+(2mn+A+Bm)x+(n^{2}+Bn+C)&=0 \end{align*}$ 
Persamaan terakhir dari uraian di atas merupakan persamaan kuadrat dalam variabel $x$. Kita tahu bahwa pada persamaan kuadarat: $(a)$ Jika $D>0$ maka persamaan kuadarat memiliki dua akar real berlainan. $(b)$ Jika $D=0$ maka persamaan kuadarat memiliki akar kembar. $(c)$ Jika $D<0$ maka persamaan kuadarat tidak m…