Defenisi Fungsi Invers
Jika fungsi $f:A\rightarrow B$, dengan $\begin{align*} f=\left \{ (x,y)|y=f(x),x\in A\;\textrm{dan}\;y\in B \right \} \end{align*}$ maka relasi $g:B\rightarrow A$ dengan $\begin{align*} f=\left \{ (y,x)|x=g(y),x\in A\;\textrm{dan}\;y\in B \right \} \end{align*}$ disebut invers fungsi $f$ (ditulis $f^{-1}$). Jika $f^{-1}$ merupakan fungsi maka $f^{-1}$ disebut fungsi invers dan jika $f^{-1}$ bukan merupakan fungsi maka $f^{-1}$ disebut invers $f$. Jika $g$ ada, $g$ dinyatakan dengan $f^{-1}$, sehingga $f^{-1}(y)=x\leftrightarrow f(x)=y$.
(Husein Tampomas)
Fungsi $f:A\rightarrow B$ mempunyai fungsi invers jika dan hanya jika $f$ adalah fungsi bijektif (berkorespondensi satu-satu).
Husein Tampomas
Langkah 1: Ubahlah fungsi $y=f(x)$ menjadi bentuk $x=f(y)$.
Langkah 2: Tuliskan $x$ sebagai $f^{-1}(y)$ sehingga $f^{-1}(y)=f(y)$.
Langkah 3: Ubahlah variabel $y$ dengan $x$ sehingga diperoleh rumus $f^{-1}(x)$.
Langkah 2: Tuliskan $x$ sebagai $f^{-1}(y)$ sehingga $f^{-1}(y)=f(y)$.
Langkah 3: Ubahlah variabel $y$ dengan $x$ sehingga diperoleh rumus $f^{-1}(x)$.
Sifat fungsi invers dari fungsi fungsi komposisi dapat dinyatakan sebagai berikut.
- $(f\circ g)^{-1}(x)=(g^{-1}\circ f^{-1})(x)=g^{-1}(f^{-1}(x))$
- $(g\circ f)^{-1}(x)=(f^{-1}\circ g^{-1})(x)=f^{-1}(g^{-1}(x))$
Contoh Soal 1
Tentukanlah fungsi invers dari fungsi-fungsi berikut.
(a) $f(x)=x+3$
(b) $f(x)=4x - 5$
(c) $f(x)=12-7x$
Jawab
(a) misalkan $f(x)=y$ maka:
$\begin{align*}x+3&=y\\x&=y-3\\f^{-1}(y)&=y-3\\f^{-1}(x)&=x-3\end{align*}$
Jadi,dapat disimpulkan fungsi invers dari $f(x)=x+3$ adalah $f^{-1}(x)=x-3$.
(b) misalkan $f(x)=y$ maka:
$\begin{align*}4x-5&=y\\4x&=y+5\\x&=\frac{y+5}{4}\\f^{-1}(y)&=\frac{y+5}{4}\\f^{-1}(x)&=\frac{x+5}{4}\end{align*}$
Jadi, fungsi invers dari fungsi $f(x)=4x-5$ adalah $\begin{align*}f^{-1}(x)=\frac{x+5}{4}\end{align*}$.
(c) misalkan $f(x)=y$, maka:
$\begin{align*}12-7x&=y\\-7x&=y-12\\x&=\frac{12-y}{7}\\f^{-1}(y)&=\frac{12-y}{7}\\f^{-1}(x)&=\frac{12-x}{7}\end{align*}$
Jadi,fungsi invers dari $f(x)=12-7x$ adalah $\begin{align*}f^{-1}(x)=\frac{12-x}{7}\end{align*}$.
(a) $f(x)=x+3$
(b) $f(x)=4x - 5$
(c) $f(x)=12-7x$
Jawab
(a) misalkan $f(x)=y$ maka:
$\begin{align*}x+3&=y\\x&=y-3\\f^{-1}(y)&=y-3\\f^{-1}(x)&=x-3\end{align*}$
Jadi,dapat disimpulkan fungsi invers dari $f(x)=x+3$ adalah $f^{-1}(x)=x-3$.
(b) misalkan $f(x)=y$ maka:
$\begin{align*}4x-5&=y\\4x&=y+5\\x&=\frac{y+5}{4}\\f^{-1}(y)&=\frac{y+5}{4}\\f^{-1}(x)&=\frac{x+5}{4}\end{align*}$
Jadi, fungsi invers dari fungsi $f(x)=4x-5$ adalah $\begin{align*}f^{-1}(x)=\frac{x+5}{4}\end{align*}$.
(c) misalkan $f(x)=y$, maka:
$\begin{align*}12-7x&=y\\-7x&=y-12\\x&=\frac{12-y}{7}\\f^{-1}(y)&=\frac{12-y}{7}\\f^{-1}(x)&=\frac{12-x}{7}\end{align*}$
Jadi,fungsi invers dari $f(x)=12-7x$ adalah $\begin{align*}f^{-1}(x)=\frac{12-x}{7}\end{align*}$.
Bentuk fungsi $f(x)$ pada soal di atas adalah fungsi linier. Berdasarkan contoh soal tersebut maka dapat dibuat kesimpulan sebagai berikut.
Untuk setiap fungsi linier $f(x)=ax+b$ maka $\begin{align*} f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a} \end{align*}$
Ambil contoh (b)$\begin{align*} f(x)=4x-5\Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{x-(-5)}{4}=\frac{x+5}{4} \end{align*}$
Soal 2
Tentukanlah fungsi invers dari fungsi-fungsi berikut.
(a) $\begin{align*} f(x)=\frac{5x+2}{3x-1},x\neq\frac{1}{3} \end{align*}$
(b) $\begin{align*} f(x)=\frac{2x+3}{4-5x},x\neq\frac{4}{5} \end{align*}$
Jawab
(a) Misalkan $\begin{align*} f(x)=\frac{5x+2}{3x-1}=y\end{align*}$, maka:
$\begin{align*} \frac{5x+2}{3x-1}&=y\\ 5x+2&=y(3x-1)\\ 5x+2&=3xy-y\\ 5x-3xy&=-y-2\\ x(5-3y)&=-y-2\\ x&=\frac{-y-2}{5-3y}\\ f^{-1}(y)&=\frac{-y-2}{5-3y}\\ f^{-1}(x)&=\frac{-x-2}{5-3x}\;\textrm{atau}\;f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3x-5} \end{align*}$
Jadi, invers dari $\begin{align*} f(x)=\frac{5x+2}{3x-1} \end{align*}$ adalah $\begin{align*}f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3x-5},x\neq\frac{5}{3} \end{align*}$
(b) Misalkan $\begin{align*} f(x)=\frac{2x+3}{4-5x}=y\end{align*}$, maka:
$\begin{align*} \frac{2x+3}{4-5x}&=y\\ 2x+3&=y(4-5x)\\ 2x+3&=4y-5xy\\ 2x+5xy&=4y-3\\ x(2+5y)&=4y-3\\ x&=\frac{4y-3}{2+5y}\\ f^{-1}(y)&=\frac{4y-3}{5y+2}\\ f^{-1}(x)&=\frac{4x-3}{5x+2}\end{align*}$
Jadi, invers dari $\begin{align*} f(x)=\frac{2x+3}{4-5x} \end{align*}$ adalah $\begin{align*}f^{-1}(x)=\frac{4x-3}{5x+2},x\neq-\frac{2}{5} \end{align*}$
(a) $\begin{align*} f(x)=\frac{5x+2}{3x-1},x\neq\frac{1}{3} \end{align*}$
(b) $\begin{align*} f(x)=\frac{2x+3}{4-5x},x\neq\frac{4}{5} \end{align*}$
Jawab
(a) Misalkan $\begin{align*} f(x)=\frac{5x+2}{3x-1}=y\end{align*}$, maka:
$\begin{align*} \frac{5x+2}{3x-1}&=y\\ 5x+2&=y(3x-1)\\ 5x+2&=3xy-y\\ 5x-3xy&=-y-2\\ x(5-3y)&=-y-2\\ x&=\frac{-y-2}{5-3y}\\ f^{-1}(y)&=\frac{-y-2}{5-3y}\\ f^{-1}(x)&=\frac{-x-2}{5-3x}\;\textrm{atau}\;f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3x-5} \end{align*}$
Jadi, invers dari $\begin{align*} f(x)=\frac{5x+2}{3x-1} \end{align*}$ adalah $\begin{align*}f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3x-5},x\neq\frac{5}{3} \end{align*}$
(b) Misalkan $\begin{align*} f(x)=\frac{2x+3}{4-5x}=y\end{align*}$, maka:
$\begin{align*} \frac{2x+3}{4-5x}&=y\\ 2x+3&=y(4-5x)\\ 2x+3&=4y-5xy\\ 2x+5xy&=4y-3\\ x(2+5y)&=4y-3\\ x&=\frac{4y-3}{2+5y}\\ f^{-1}(y)&=\frac{4y-3}{5y+2}\\ f^{-1}(x)&=\frac{4x-3}{5x+2}\end{align*}$
Jadi, invers dari $\begin{align*} f(x)=\frac{2x+3}{4-5x} \end{align*}$ adalah $\begin{align*}f^{-1}(x)=\frac{4x-3}{5x+2},x\neq-\frac{2}{5} \end{align*}$
Jika pembaca menemukan tipe soal seperti contoh soal 2 di atas, pembaca dapat menggunakan rumus cepat berikut:
Jika $\begin{align*} f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\;\textrm{maka}\;f^{-1}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a} \end{align*}$
Misal, kita ambil contoh 1.$\begin{align*} f(x)=\frac{5x+2}{3x-1}\;\textrm{maka}\;f^{-1}(x)=\frac{-(-1)x+2}{3x-(5)}=\frac{x+2}{3x-5} \end{align*}$
Soal 1
Diketahui $f(x)=2x-1$ dan $\begin{align*} g(x)=\frac{3x+2}{x-4} \end{align*}$. Fungsi invers dari $(f\circ g)(x)$ adalah ....
(a) $\begin{align*} \frac{4x-8}{x-5} \end{align*}$
(b) $\begin{align*} \frac{4x+8}{x+5} \end{align*}$
(c) $\begin{align*} \frac{4x+8}{x-5} \end{align*}$
(d) $\begin{align*} \frac{5x+8}{x+4} \end{align*}$
(e) $\begin{align*} \frac{5x-8}{x+4} \end{align*}$
Pembahasan
$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=f(g(x))\\ &=f\left(\frac{3x+2}{x-4}\right)\\ &=2\left(\frac{3x+2}{x-4}\right)-1\\ &=\frac{6x+4}{x-4}-1\\ &=\frac{(6x+4)}{(x-4)}-\frac{(x-4)}{(x-4)}\\ &=\frac{5x+8}{x-4}\\ (f\circ g)(x)&=\frac{5x+8}{x-4}\Rightarrow (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{4x+8}{x-5} \end{align*}$
(b) $\begin{align*} \frac{4x+8}{x+5} \end{align*}$
(c) $\begin{align*} \frac{4x+8}{x-5} \end{align*}$
(d) $\begin{align*} \frac{5x+8}{x+4} \end{align*}$
(e) $\begin{align*} \frac{5x-8}{x+4} \end{align*}$
Pembahasan
$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=f(g(x))\\ &=f\left(\frac{3x+2}{x-4}\right)\\ &=2\left(\frac{3x+2}{x-4}\right)-1\\ &=\frac{6x+4}{x-4}-1\\ &=\frac{(6x+4)}{(x-4)}-\frac{(x-4)}{(x-4)}\\ &=\frac{5x+8}{x-4}\\ (f\circ g)(x)&=\frac{5x+8}{x-4}\Rightarrow (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{4x+8}{x-5} \end{align*}$
Jawaban: A
Soal 2
UN 2014
Diketahui $\begin{align*}f(x)=3x+4\end{align*}$ dan $\begin{align*}g(x)=\frac{4x-5}{2x+1},\neq-\frac{1}{2} \end{align*}$. Invers $(f\circ g)(x)$ adalah ....
(a) $\begin{align*} (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x-14}{-2x+20},x\neq10 \end{align*}$
(b) $\begin{align*} (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x-11}{-2x+20},x\neq10 \end{align*}$
(c) $\begin{align*} (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x-16}{-2x+20},x\neq10 \end{align*}$
(d) $\begin{align*} (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x+11}{-2x+20},x\neq10 \end{align*}$
(e) $\begin{align*} (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x+14}{-2x+20},x\neq10 \end{align*}$
Pembahasan
$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=f(g(x))\\ &=f\left ( \frac{4x-5}{2x+1} \right )\\ &=3\left ( \frac{4x-5}{2x+1} \right )+4\\ &= \frac{(12x-15)}{(2x+1)}+\frac{4(2x+1)}{(2x+1)}\\ &=\frac{12x-15+8x+4}{2x+1}\\ (f\circ g)(x)&=\frac{20x-11}{2x+1} \end{align*}$
Dengan demikian, $\begin{align*} (f\circ g)(x)&=\frac{20x-11}{2x+1} \end{align*}$ maka $\begin{align*} (f\circ g)^{-1}(x)&=\frac{-x-11}{2x-20}=\frac{x+11}{-2x+20} \end{align*}$
Jawaban: D
(e) $\begin{align*} (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x+14}{-2x+20},x\neq10 \end{align*}$
Pembahasan
$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=f(g(x))\\ &=f\left ( \frac{4x-5}{2x+1} \right )\\ &=3\left ( \frac{4x-5}{2x+1} \right )+4\\ &= \frac{(12x-15)}{(2x+1)}+\frac{4(2x+1)}{(2x+1)}\\ &=\frac{12x-15+8x+4}{2x+1}\\ (f\circ g)(x)&=\frac{20x-11}{2x+1} \end{align*}$
Dengan demikian, $\begin{align*} (f\circ g)(x)&=\frac{20x-11}{2x+1} \end{align*}$ maka $\begin{align*} (f\circ g)^{-1}(x)&=\frac{-x-11}{2x-20}=\frac{x+11}{-2x+20} \end{align*}$
Jawaban: D
Soal 4
Jika $(f\circ g)(x)=4x^{2}+8x-3$ dan $g(x)=2x+4$, maka $f^{-1}(x)=....$
(a) $x+9$
(b) $2 + \sqrt{x}$
(c) $x^{2}-4x-3$
(d) $2+\sqrt{x+1}$
(e) $2+\sqrt{x+7}$
Pembahasan
$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=4x^{2}+8x-3\\ f(2x+4)&=4x^{2}+8x-3\\ \end{align*}$
Misalkan $2x+4=a$ maka $\begin{align*} x=\frac{a-4}{2} \end{align*}$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align*} f(a)&=4\left ( \frac{a-4}{2} \right )^{2}+8\left ( \frac{a-4}{2} \right )-3\\ f(a)&=4\left ( \frac{a^{2}-8a+16}{4} \right )+4a-16-3\\ f(a)&=a^{2}-8a+16+4a-13\\ f(a)&=a^{2}-4a-3\\ f(x)&=x^{2}-4x-3 \end{align*}$
Misalkan $f(x)=y$, maka:
$\begin{align*} f(x)&=y\\ x^{2}-4x-3&=y\\ x^{2}-4x-3+7&=y+7\\ x^{2}-4x+7&=y+7\\ (x-2)^{2}&=y+7\\ x-2&=\sqrt{y+7}\\ x&=2+\sqrt{y+7} \end{align*}$
Jadi, $f^{-1}(x)=2+\sqrt{y+7}$
Jawaban: E
(b) $2 + \sqrt{x}$
(c) $x^{2}-4x-3$
(d) $2+\sqrt{x+1}$
(e) $2+\sqrt{x+7}$
Pembahasan
$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=4x^{2}+8x-3\\ f(2x+4)&=4x^{2}+8x-3\\ \end{align*}$
Misalkan $2x+4=a$ maka $\begin{align*} x=\frac{a-4}{2} \end{align*}$ sehingga kita peroleh:
$\begin{align*} f(a)&=4\left ( \frac{a-4}{2} \right )^{2}+8\left ( \frac{a-4}{2} \right )-3\\ f(a)&=4\left ( \frac{a^{2}-8a+16}{4} \right )+4a-16-3\\ f(a)&=a^{2}-8a+16+4a-13\\ f(a)&=a^{2}-4a-3\\ f(x)&=x^{2}-4x-3 \end{align*}$
Misalkan $f(x)=y$, maka:
$\begin{align*} f(x)&=y\\ x^{2}-4x-3&=y\\ x^{2}-4x-3+7&=y+7\\ x^{2}-4x+7&=y+7\\ (x-2)^{2}&=y+7\\ x-2&=\sqrt{y+7}\\ x&=2+\sqrt{y+7} \end{align*}$
Jadi, $f^{-1}(x)=2+\sqrt{y+7}$
Jawaban: E
Soal 5
Diketahui $\begin{align*} g(x-2)=\frac{x-4}{x+2} \end{align*}$ dan $f(x)=x^{2}+3$, maka $(f\circ g^{-1})(2)=....$
(a) $103$
(b) $104$
(c) $130$
(d) $134$
(e) $143$
Pembahasan
Misalkan $\begin{align*} x-2=t \end{align*}$ maka $x=t+2$ sehingga:
$\begin{align*} g(x-2)&=\frac{x-4}{x+2}\\ g(t)&=\frac{t+2-4}{t+2+2}\\ g(t)&=\frac{t-2}{t+4}\\ g(x)&=\frac{x-2}{x+4}\\g^{-1}&=\frac{-4x-2}{x-1} \end{align*}$
Selanjutnya menentukan $(f\circ g^{-1})(2)$.
$\begin{align*} (f\circ g^{-1})(2)&=f(g^{-1}(2))\\ &=f\left ( \frac{-4.2-2}{2-1} \right )\\ &=f(-10)\\ &=(-10)^{2}+3\\ &=103 \end{align*}$
Jawaban:A
(b) $104$
(c) $130$
(d) $134$
(e) $143$
Pembahasan
Misalkan $\begin{align*} x-2=t \end{align*}$ maka $x=t+2$ sehingga:
$\begin{align*} g(x-2)&=\frac{x-4}{x+2}\\ g(t)&=\frac{t+2-4}{t+2+2}\\ g(t)&=\frac{t-2}{t+4}\\ g(x)&=\frac{x-2}{x+4}\\g^{-1}&=\frac{-4x-2}{x-1} \end{align*}$
Selanjutnya menentukan $(f\circ g^{-1})(2)$.
$\begin{align*} (f\circ g^{-1})(2)&=f(g^{-1}(2))\\ &=f\left ( \frac{-4.2-2}{2-1} \right )\\ &=f(-10)\\ &=(-10)^{2}+3\\ &=103 \end{align*}$
Jawaban:A
Soal 6
Fungsi $f:R\rightarrow R$ dan $g:R\rightarrow R$ ditentukan oleh $f(x)=3x-2$ dan $g(x)=x+5$. Rumus untuk $(g\circ f)^{-1}(x)$ adalah ....
(a) $3x+1$
(b) $3x-1$
(c) $\begin{align*}\frac{1}{3}x-1\end{align*}$
(d) $\begin{align*}\frac{1}{3}x+1\end{align*}$
(e) $\begin{align*}\frac{1}{3}x-3\end{align*}$
Pembahasan
$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=g(f(x))\\ &=g(3x-2)\\ &=3x-2+5\\ (g\circ f)(x)&=3x+3 \end{align*}$
Misalkan $(g\circ f)(x)=y$, maka:
$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=y\\ 3x+3&=y\\ 3x&=y-3\\ x&=\frac{y-3}{3}\\ (g\circ f)^{-1}(y)&=\frac{y-3}{3}\\ (g\circ f)^{-1}(x)&=\frac{x-3}{3}=\frac{1}{3}x-1 \end{align*}$
Jadi, $\begin{align*} (g\circ f)^{-1}(x)=\frac{1}{3}x-1 \end{align*}$
Jawaban: C
Soal 7
Jika fungsi $f:R\rightarrow R$ dan $g:R\rightarrow R$ ditentukan oleh $f(x)=x^{3}$ dan $g(x)=3x-4$, maka $(g^{-1}\circ f^{-1})(8)=....$
(a) $1$
(b) $2$
(c) $3\frac{1}{3}$
(d) $4\frac{2}{3}$
(e) $5\frac{1}{3}$
Pembahasan
$\begin{align*} g(x)&=3x-4\rightarrow g^{-1}(x)=\frac{x+4}{3}\\ f(x)&=x^{3}\rightarrow f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}\\ \end{align*}$
Sehingga diperoleh:
$\begin{align*} (g^{-1}\circ f^{-1})(8)&=g^{-1}(f^{-1}(8))\\ &=g^{-1}(\sqrt[3]{8})\\ &=g^{-1}(2)\\ &=\frac{2+4}{3}\\ &=2 \end{align*}$
Jawaban:B
Posting Komentar