Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Defenisi Fungsi Invers

Jika fungsi f:A→B, dengan f={(x,y)|y=f(x),x∈Adany∈B} maka relasi g:B→A dengan f={(y,x)|x=g(y),x∈Adany∈B} disebut invers fungsi f (ditulis f−1). Jika f−1 merupakan fungsi maka f−1 disebut fungsi invers dan jika f−1 bukan merupakan fungsi maka f−1 disebut invers f. Jika g ada, g dinyatakan dengan f−1, sehingga f−1(y)=x↔f(x)=y.
(Husein Tampomas)
Syarat Invers suatu Fungsi Merupakan Fungsi Invers

Fungsi f:A→B mempunyai fungsi invers jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif (berkorespondensi satu-satu).
Husein Tampomas
Menentukan Invers Suatu Fungsi

Langkah 1: Ubahlah fungsi y=f(x) menjadi bentuk x=f(y).
Langkah 2: Tuliskan x sebagai f−1(y) sehingga f−1(y)=f(y).
Langkah 3: Ubahlah variabel y dengan x sehingga diperoleh rumus f−1(x).
Sifat Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi
Sifat fungsi invers dari fungsi fungsi komposisi dapat dinyatakan sebagai berikut.

  • (f∘g)−1(x)=(g−1∘f−1)(x)=g−1(f−1(x))
  • (g∘f)−1(x)=(f−1∘g−1)(x)=f−1(g−1(x))
Berikut ini diberikan beberapa contoh soal terkait fungsi invers.

Contoh Soal 1
Tentukanlah fungsi invers dari fungsi-fungsi berikut.
(a) f(x)=x+3
(b) f(x)=4x−5
(c) f(x)=12−7x
Jawab
(a) misalkan f(x)=y maka:
x+3=yx=y−3f−1(y)=y−3f−1(x)=x−3
Jadi,dapat disimpulkan fungsi invers dari f(x)=x+3 adalah f−1(x)=x−3.

 (b) misalkan f(x)=y maka:
4x−5=y4x=y+5x=y+54f−1(y)=y+54f−1(x)=x+54
Jadi, fungsi invers dari fungsi f(x)=4x−5 adalah f−1(x)=x+54.

 (c) misalkan f(x)=y, maka:
12−7x=y−7x=y−12x=12−y7f−1(y)=12−y7f−1(x)=12−x7
Jadi,fungsi invers dari f(x)=12−7x adalah f−1(x)=12−x7.
Bentuk fungsi f(x) pada soal di atas adalah fungsi linier. Berdasarkan contoh soal tersebut maka dapat dibuat kesimpulan sebagai berikut.

Untuk setiap fungsi linier f(x)=ax+b maka f−1(x)=x−ba
Ambil contoh (b)
f(x)=4x−5⇒f−1(x)=x−(−5)4=x+54

Soal 2
Tentukanlah fungsi invers dari fungsi-fungsi berikut.
(a) f(x)=5x+23x−1,x≠13 
(b) f(x)=2x+34−5x,x≠45
Jawab
(a) Misalkan f(x)=5x+23x−1=y, maka:
5x+23x−1=y5x+2=y(3x−1)5x+2=3xy−y5x−3xy=−y−2x(5−3y)=−y−2x=−y−25−3yf−1(y)=−y−25−3yf−1(x)=−x−25−3xatauf−1(x)=x+23x−5
Jadi, invers dari f(x)=5x+23x−1 adalah f−1(x)=x+23x−5,x≠53

 (b) Misalkan f(x)=2x+34−5x=y, maka:
2x+34−5x=y2x+3=y(4−5x)2x+3=4y−5xy2x+5xy=4y−3x(2+5y)=4y−3x=4y−32+5yf−1(y)=4y−35y+2f−1(x)=4x−35x+2
Jadi, invers dari f(x)=2x+34−5x adalah f−1(x)=4x−35x+2,x≠−25
Jika pembaca menemukan tipe soal seperti contoh soal 2 di atas, pembaca dapat menggunakan rumus cepat berikut:

Jika f(x)=ax+bcx+dmakaf−1(x)=−dx+bcx−a
Misal, kita ambil contoh 1.
f(x)=5x+23x−1makaf−1(x)=−(−1)x+23x−(5)=x+23x−5
Berikut ini penulis sajikan soal pilihan ganda

Soal 1
Diketahui f(x)=2x−1 dan g(x)=3x+2x−4. Fungsi invers dari (f∘g)(x) adalah ....
(a) 4x−8x−5
(b) 4x+8x+5
(c) 4x+8x−5 
(d) 5x+8x+4
(e) 5x−8x+4 

Pembahasan

Baca Juga

    (f∘g)(x)=f(g(x))=f(3x+2x−4)=2(3x+2x−4)−1=6x+4x−4−1=(6x+4)(x−4)−(x−4)(x−4)=5x+8x−4(f∘g)(x)=5x+8x−4⇒(f∘g)−1(x)=4x+8x−5 
    Jawaban: A

    Soal 2
    UN 2014
    Diketahui f(x)=3x+4 dan g(x)=4x−52x+1,≠−12. Invers (f∘g)(x) adalah ....
    (a) (f∘g)−1(x)=x−14−2x+20,x≠10
    (b) (f∘g)−1(x)=x−11−2x+20,x≠10
    (c) (f∘g)−1(x)=x−16−2x+20,x≠10
    (d) (f∘g)−1(x)=x+11−2x+20,x≠10
    (e) (f∘g)−1(x)=x+14−2x+20,x≠10

    Pembahasan
    (f∘g)(x)=f(g(x))=f(4x−52x+1)=3(4x−52x+1)+4=(12x−15)(2x+1)+4(2x+1)(2x+1)=12x−15+8x+42x+1(f∘g)(x)=20x−112x+1
    Dengan demikian, (f∘g)(x)=20x−112x+1  maka (f∘g)−1(x)=−x−112x−20=x+11−2x+20
    Jawaban: D

    Soal 4
    Jika (f∘g)(x)=4x2+8x−3 dan g(x)=2x+4, maka f−1(x)=....
    (a) x+9
    (b) 2+√x
    (c) x2−4x−3
    (d) 2+√x+1
    (e) 2+√x+7

    Pembahasan
    (f∘g)(x)=4x2+8x−3f(2x+4)=4x2+8x−3 
    Misalkan 2x+4=a maka x=a−42 sehingga kita peroleh:
    f(a)=4(a−42)2+8(a−42)−3f(a)=4(a2−8a+164)+4a−16−3f(a)=a2−8a+16+4a−13f(a)=a2−4a−3f(x)=x2−4x−3
    Misalkan f(x)=y, maka:
    f(x)=yx2−4x−3=yx2−4x−3+7=y+7x2−4x+7=y+7(x−2)2=y+7x−2=√y+7x=2+√y+7 
    Jadi, f−1(x)=2+√y+7
    Jawaban: E

    Soal 5
    Diketahui g(x−2)=x−4x+2 dan f(x)=x2+3, maka (f∘g−1)(2)=....
    (a) 103
    (b) 104
    (c) 130
    (d) 134
    (e) 143

    Pembahasan
    Misalkan x−2=t maka x=t+2 sehingga:
    g(x−2)=x−4x+2g(t)=t+2−4t+2+2g(t)=t−2t+4g(x)=x−2x+4g−1=−4x−2x−1
    Selanjutnya menentukan (f∘g−1)(2).
    (f∘g−1)(2)=f(g−1(2))=f(−4.2−22−1)=f(−10)=(−10)2+3=103
    Jawaban:A

    Soal 6
    Fungsi f:R→R dan g:R→R ditentukan oleh f(x)=3x−2 dan g(x)=x+5. Rumus untuk (g∘f)−1(x) adalah ....
    (a) 3x+1
    (b) 3x−1
    (c) 13x−1
    (d) 13x+1
    (e) 13x−3

    Pembahasan
    (g∘f)(x)=g(f(x))=g(3x−2)=3x−2+5(g∘f)(x)=3x+3 
    Misalkan (g∘f)(x)=y, maka:
    (g∘f)(x)=y3x+3=y3x=y−3x=y−33(g∘f)−1(y)=y−33(g∘f)−1(x)=x−33=13x−1
    Jadi, (g∘f)−1(x)=13x−1
    Jawaban: C
    mmmmm
    Soal 7
    Jika fungsi f:R→R dan g:R→R ditentukan oleh f(x)=x3 dan g(x)=3x−4, maka (g−1∘f−1)(8)=.... 
    (a) 1
    (b) 2
    (c) 313
    (d) 423
    (e) 513

    Pembahasan
    g(x)=3x−4→g−1(x)=x+43f(x)=x3→f−1(x)=3√x
    Sehingga diperoleh:
    (g−1∘f−1)(8)=g−1(f−1(8))=g−1(3√8)=g−1(2)=2+43=2
    Jawaban:B

    Post a Comment

    إرسال تعليق

    أحدث أقدم