Pada postingan sebelumnya penulis telah memaparkan sedikit mengenai persamaan lingkaran yang ditinjau secara analitik. Nahhh...pada kesempatan kali ini kembali penulis memaparkan mengenai Bentuk Umum Persamaan Lingkaran yang merupakan kelanjutan dari materi sebelumnya yang bisa kalian baca disini.
Dari materi sebelumnya kita tahu bahwa persamaan lingkaran dengan pusat $A(a,b)$ dan berjari-jari $r$ adalah:
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r$
Bentuk ini dinamakan dengan Bentuk Baku Persamaan Lingkaran. Lalu, bagaimana jika persamaan ini kita jabarkan lebih lanjut. Perhatikan uraian berikut:
$\begin{align*}(x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-2by+b^{2}&=r^{2}\\x^{2}+y^{2}-2ax-2by+a^{2}+b^{2}-r^{2}&=0\end{align*}$
Misalkan: $-2a=A$, $-2b=B$, dan $a^{2}+b^{2}-r^{2}=C$, maka bentuk terakhir dari penjabaran di atas menjadi:
$\begin{align*}x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\end{align*}$
Bentuk $\begin{align*}x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\end{align*}$ inilah yang dinamakan dengan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran.
Pada kebanyakan soal,seringkali persamaan lingkaran dinyatakan dalam bentuk umum,misalnya $x^{2}+y^{2}-10x+24y-11=0$. Ketika berhadapan dengan soal seperti ini seringkali adik-adik yang masih SMA kebingungan dalam menentukan titik pusat dan jari-jari lingkarannya. Namun,ada juga yang sudah tahu rumusnya. Nahh...bagi adik-adik yang duduk di bangku SMA dan belum tahu rumus mencari titik pusat dan jari-jari lingkaran berbentuk $\begin{align*}x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\end{align*}$, dan bagi yang sudah tahu namun belum tahu asal usulnya berikut dijelaskan.
Perhatikan kembali bentuk umum persamaan lingkaran di atas. Jika bentuk umum persamaan lingkaran tersebut dinyatakan dalam bentuk kuadrat sempurna maka akan diperoleh bentuk berikut.
Perhatikan kembali bentuk umum persamaan lingkaran di atas. Jika bentuk umum persamaan lingkaran tersebut dinyatakan dalam bentuk kuadrat sempurna maka akan diperoleh bentuk berikut.
$\small \begin{align*} x^{2}+y^{2}+Ax+By+C&=0\\ (x^{2}+Ax)+(y^{2}+Bx)&=-C\\ \left ( x^{2}+Ax+\left(\frac{1}{2}A\right)^{2} \right )+ \left ( y^{2}+Bx+\left(\frac{1}{2}B\right)^{2} \right )&=\left ( \frac{1}{2}A \right )^{2}+\left ( \frac{1}{2}B \right )^{2}-C\\ \left ( x+\frac{1}{2}A \right )^{2}+\left (y+ \frac{1}{2}B \right )^{2}&=\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C \end{align*}$
Dari bentuk persamaan terakhir diperoleh:
$\begin{align*} \textrm{Pusat}\;\textrm{lingkaran}&=\left ( -\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right )\\ \textrm{Jari}-\textrm{Jari}\;r&=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \end{align*}$
Dari beberapa uraian di atas,dapat dibuat kesimpulan singkat sebagai berikut.
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah:
$\begin{align*} x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0 \end{align*}$
dengan titik pusat $\begin{align*}\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right)\end{align*}$ dan berjari-jari $\begin{align*}r=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\end{align*}$
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah:
$\begin{align*} x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0 \end{align*}$
dengan titik pusat $\begin{align*}\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right)\end{align*}$ dan berjari-jari $\begin{align*}r=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\end{align*}$
Jika suatu lingkaran dengan pusat $(x_{1},y_{1})$ meyinggung garis lurus $ax+by+c=0$ di sembarang titik
 |
| gambar.lingkaran bersinggungan dengan garis lurus $ax+by+c=0$ |
maka jari-jari $r$ lingkaran dapat ditentukan oleh rumus:
$\begin{align*} r=\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right | \end{align*}$
Berikut ini diberikan beberapa contoh soal.
Contoh Soal 1
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik $(4,-6)$ dan berjari-jari $5$ satuan.
Jawab
Misalkan titik pusat $A(4,-6)$ dan $r=5$, maka:
$\begin{align*} (x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ (x-4)^{2}+(y-(-6))^{2}&=5^{2}\\ (x-4)^{2}+(y+6))^{2}&=5^{2}\\ x^{2}-8x+16+y^{2}+12y+36&=25\\ x^{2}+y^{2}-8x+12y+52&=25\\ x^{2}+y^{2}-8x+12y+27&=0\\ \end{align*}$
Jadi, persaamaan lingkaran dengan berpusat di $(4,-6)$ dan berjari-jari $5$ satuan adalah $\begin{align*} x^{2}+y^{2}-8x+12y+27&=0\\ \end{align*}$
Contoh Soal 2
Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran yang memiliki persamaan $x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0$, kemudian gambarkanlah lingkaran tersebut dalam bidang kartesius.
Jawab
Dari persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0$, diperoleh $A=4,\; B=-6$ dan $C=-12$. Misalkan titik pusat lingkaran tersebut adalah $P$, maka:
$\begin{align*} P&=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right)\\P&=\left(-\frac{1}{2}(4),-\frac{1}{2}(-6) \right)\\P&=(-2,3)\\ \end{align*}$
Misalkan jari-jari lingkaran tersebut adalah $r$,maka:
$\begin{align*} r&=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\\ r&=\sqrt{\frac{4^{2}}{4}+\frac{(-6)^{2}}{4}-(-12)}\\ r&=\sqrt{4+9+12}\\ r&=\sqrt{25}\\ r&=5 \end{align*}$
Jadi, titik pusat dan jari-jari lingkaran $x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0$ berturut-turut adalah $(-2,3)$ dan $5$ satuan.
Jika digambar dalam bidang kartesius, tampak seperti berikut.
Jawab
Dari persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0$, diperoleh $A=4,\; B=-6$ dan $C=-12$. Misalkan titik pusat lingkaran tersebut adalah $P$, maka:
$\begin{align*} P&=\left(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B \right)\\P&=\left(-\frac{1}{2}(4),-\frac{1}{2}(-6) \right)\\P&=(-2,3)\\ \end{align*}$
Misalkan jari-jari lingkaran tersebut adalah $r$,maka:
$\begin{align*} r&=\sqrt{\frac{A^{2}}{4}+\frac{B^{2}}{4}-C}\\ r&=\sqrt{\frac{4^{2}}{4}+\frac{(-6)^{2}}{4}-(-12)}\\ r&=\sqrt{4+9+12}\\ r&=\sqrt{25}\\ r&=5 \end{align*}$
Jadi, titik pusat dan jari-jari lingkaran $x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0$ berturut-turut adalah $(-2,3)$ dan $5$ satuan.
Jika digambar dalam bidang kartesius, tampak seperti berikut.
 |
| gambar lingkaran $\small \begin{align*} L\equiv x^{2}+y^{2}+4x-6y-12=0 \end{align*}$ |
Contoh Soal 3
Diketahui garis $5x-12y+10=0$ menyinggung sebuah lingkaran yang berpusat di $(1,-2)$. Tentukkan persamaan lingkaran tersbeut.
Jawab
Dari informasi yang terdapat pada soal tersebut diperoleh pusat $(x_{1},y_{1}=(1,-2)$, dan $a=5,\;b=-12$, dan $c=10$.
Jari-Jari Lingkaran
$\begin{align*} r&=\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |\\ r&=\left | \frac{(5).(1)+(-12)(-2)+10}{\sqrt{(5)^{2}+(-12)^{2}}} \right |\\ r&=\left | \frac{39}{13} \right |\\ r&=3 \end{align*}$
Persamaan Lingkaran
$\begin{align*} (x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ (x-1)^{2}+(y+2)^{2}&=3^{2}\\ x^{2}-2x+1+y^{2}+4y+4&=9\\ x^{2}+y^{2}-2x+4y-5&=0 \end{align*}$
Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah $x^{2}+y^{2}-2x+4y-5=0$.
Agar lebih paham perhatikan gambar berikut.
Jawab
Dari informasi yang terdapat pada soal tersebut diperoleh pusat $(x_{1},y_{1}=(1,-2)$, dan $a=5,\;b=-12$, dan $c=10$.
Jari-Jari Lingkaran
$\begin{align*} r&=\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |\\ r&=\left | \frac{(5).(1)+(-12)(-2)+10}{\sqrt{(5)^{2}+(-12)^{2}}} \right |\\ r&=\left | \frac{39}{13} \right |\\ r&=3 \end{align*}$
Persamaan Lingkaran
$\begin{align*} (x-a)^{2}+(y-b)^{2}&=r^{2}\\ (x-1)^{2}+(y+2)^{2}&=3^{2}\\ x^{2}-2x+1+y^{2}+4y+4&=9\\ x^{2}+y^{2}-2x+4y-5&=0 \end{align*}$
Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah $x^{2}+y^{2}-2x+4y-5=0$.
Agar lebih paham perhatikan gambar berikut.
 |
| gb. garis $5x-12y+10=0$ bersinggungan dengan lingkaran di titik $P$. |
Demikianlah pembahasan materi mengenai Bentuk Umum Persamaan Lingkaran. Jika ditemukan kesalahan baik itu pembahasan maupun kesalahan dalam penulisan segera komentari di kolom komentar. Semoga bermanfaat.
Salam Matematika...
Posting Komentar