Fungsi Komposisi?

Misalkan kita memiliki dua buah fungsi, yaitu fungsi $f$ dan fungsi $g$. Fungsi $f$ memetakan dari himpunan $A$ ke himpunan $B$, dan kita tulis $f:A\rightarrow B$. Fungsi $g$ memetakan dari himpunan $B$ ke himpunan $C$, dan kita tulis $g:\rightarrow C$. 

Misalkan $\begin{align*} x\in A \end{align*}$. Jika $x$ dipetakan oleh fungsi $f$ menghasilkan $f(x)$, kemudian $f(x)$ dipetakan oleh $g$ menghasilkan $g(f(x))$, maka proses tersebut dinamakan dengan mengkomposisikan fungsi $g$ dengan $f$, dan  fungsi yang dihasilkan disebut $komposisi\;fungsi$ $g$ dan $f$ yaitu fungsi yang memetakan himpunan $A$ ke himpunan $C$. Komposisi fungsi $g$ dan $f$ ditulis $g\circ f$ yang dibaca $g$ bundaran $f$.
Fungsi komposisi dapat diilustrasikan seperti pada gambar berikut.


Dari uraian di atas kita peroleh defenisi fungsi komposisi dan syarat dua buah fungsi bisa dikomposisikan sebagai berikut.
Defenisi dan Syarat Fungsi Komposisi
Misalkan diketahui fungsi-fungsi:
$f:A\rightarrow B$ ditentukan dengan rumus $f(x)$, dan
$g:B\rightarrow C$ ditentukan dengan rumus $g(x)$.

Maka fungsi komposisi dari fungsi $f$ dan fungsi $g$ ditentukan oleh rumus:
$\begin{align*} (g\circ f)(x)=g(f(x)) \end{align*}$ 
Syarat agar fungsi $f$ dan fungsi $g$ dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi $g\circ f$ adalah irisan antara daerah hasil fungsi $f$ dan daerah asal fungsi $g$ bukan himpunan kosong dan $R_{f}\subseteq D_{g}$
Sedangkan komposisi fungsi $g$ dan $f$ ditentukan oleh rumus:
 $\begin{align*}(f\circ g)(x)=f(g(x)) \end{align*}$
Syarat agar fungsi $g$ dan fungsi $f$ dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi $f\circ g$ adalah irisan antara daerah hasil fungsi $g$ dan daerah asal fungsi $f$ bukan himpunan kosong dan $R_{g}\subseteq D_{f}$ .
Sifat - Sifat Fungsi Komposisi
a) Tidak berlaku sifat komutatif
$(f\circ g)(x)≠(g\circ f)$
b) Berlaku sifat asosiatif
$((f\circ g)\circ h)(x)=(f\circ (g\circ f))(x)$
c) Memiliki fungsi identitas
Misal $I$ adalah fungsi $I(x)=x$ memenuhi $f\circ I= I\circ f= f$ maka $I$ adalah fungsi identitas.


Berikut ini diberikan beberapa contoh soal fungsi komposisi.
Contoh Soal 1
Diketahui $f:R\rightarrow R$ dengan $f(x)=2x$ dan $g:R\rightarrow R$ dengan $g(x)=2x+1$. Tentukanlah:
(a) $(f\circ g)(x)$
(b) $(g\circ f)(x)$

Jawab
Diketahui:
$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=2x\\ (g\circ f)(x)&=2x+1 \end{align*}$ 
Ditanyakan:
(a) $(f\circ g)(x)$
(b) $(g\circ f)(x)$
Penyelesaian
(a). $(f\circ g)(x)$
$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=f(g(x))\\&=f(2x+)\\ &=2(2x+1)\\ &=4x+2 \end{align*}$
Jadi, $(f\circ g)(x)=4x+2$
(b) $(g\circ f)(x)$
$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=g(f(x))\\&=g(2x)\\ &=2(2x)+1\\ &=4x+1 \end{align*}$ 
Jadi, $(g\circ f)(x)=4x+1$

Contoh Soal 2
Diketahui fungsi $f(x)=x^{2}-x+3$ dan $g(x)=3x-2$. Fungsi komposisi $(f\circ g)(x)=….$
(A) $\begin{align*} 3x^{2}-4x+3 \end{align*}$
(B) $\begin{align*} 3x^{2}-3x+7 \end{align*}$
(C) $\begin{align*} 3x^{2}+5x+3 \end{align*}$
(D) $\begin{align*} 6x^{2}-12x+9\end{align*}$
(E) $\begin{align*} 9x^{2}-15x+9\end{align*}$

Pembahasan
$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=f(g(x))\\ &=f(3x-2)\\ &=(3x-2)^{2}-(3x-2)+3\\ &=9x^{2}-12x+4-3x+2+3\\ &=9x^{2}-15x+9\\ \end{align*}$
Jadi, $\begin{align*} (f\circ g)(x) &=9x^{2}-15x+9\\ \end{align*}$ 
Jawaban D

Contoh Soal 3
Diketahui fungsi $f:R\rightarrow R$ ditentukan oleh rumus $f(x)=2x+3$ dan  $g:R\rightarrow R$ ditentukan dengan rumus $g(x)=x^{2}+x-2$. Nilai dari $(g\circ f)(-4)=....$
(A) $-20$
(B) $-16$
(C) $0$
(D) $18$
(E) $23$

Pembahasan
Sebelum menentukan nilai $(g\circ f)(-4)$, terlebih dahulu kita tentukan rumus fungsi komposisi $(g\circ f)(x)$ sebagai berikut.
$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=g(f(x))\\ &=g(2x+3)\\ &=(2x+3)^{2}+(2x+3)-2\\ &=4x^{2}+12x+9+2x+3-2\\ &=4x^{2}+14x+10 \end{align*}$ 
Jadi, $\begin{align*} (g\circ f)(x) &=4x^{2}+14x+10 \end{align*}$ .
Kemudian kita cari nilai dari $(g\circ f)(-4)$, yaitu dengan cara substitusi $x=-4$ ke $(g\circ f)(x)$ sebagai berikut.
$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=4x^{2}+14x+10\\ (g\circ f)(-4)&=4x^{2}+14x+10\\ &=4(-4)^{2}+14(-4)+100\\ &=64-56+10\\ &=18 \end{align*}$ 
Jadi, $\begin{align*} (g\circ f)(-4) &=18 \end{align*}$
Jawaban D

Contoh Soal 4
UN MATEMATIKA SMA 2017 Prog. IPS
Diketahui fungsi $f(x)=x^{2}+5x-15$ dan fungsi $g(x)=x+2$. Fungsi komposisi $(f\circ g)(x)= ....$
(A) $\begin{align*} x^{2}+9x+7 \end{align*}$ 
(B) $\begin{align*} x^{2}+9x-1 \end{align*}$ 
(C) $\begin{align*} x^{2}+7x+7 \end{align*}$ 
(D) $\begin{align*} x^{2}+5x+7 \end{align*}$
(E) $\begin{align*} x^{2}+5x-7 \end{align*}$

Pembahasan
$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=f(g(x))\\ &=f(x+2)\\ &=(x+2)^{2}+5(x+2)-15\\ &=x^{2}+4x+4+5x+10-15\\ &=x^{2}+9x-1 \end{align*}$

Jawaban B
Contoh Soal 5
Dari fungsi $f$ dan $g$ diketahui $f(x)=2x^{2}+3x-5$ dan $g(x)=3x-2$. Agar $\begin{align*} (g\circ f)(t)=-11 \end{align*}$, maka nilai $t$ positif yang memenuhi adalah .....
$\begin{align*} &\textrm{A}.\;2\frac{1}{2}\\ &\textrm{B}.\;1\frac{1}{6}\\ &\textrm{C}.\;1\\ &\textrm{D}.\;\frac{1}{2}\\ &\textrm{E}.\;\frac{1}{6} \end{align*}$  
Pembahasan
$\begin{align*} f(x)&=2x^{2}+3x-5\\ g(x)&=3x-2\\ (g\circ f)(t)&=-11 \end{align*}$
Maka:
$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=g(f(x))\\ &=g(2x^{2}+3x-5)\\ &=3(2x^{2}+3x-5)-2\\ &=6x^{2}+9x-15-2\\ &=6x^{2}+9x-17\\ (g\circ f)(t)&=-11\\ 6t^{2}+9t-17&=-11\\ 6t^{2}+9t-6&=0\\ (3t+6)(2t-1)&=0\\ 3t+6=0\;\;\textrm{atau}\;\;2t-1&=0\\ t=-2\;\;\textrm{atau}\;\;t&=\frac{1}{2} \end{align*}$ 
Jadi, nilai $t$ positif adalah $t=\frac{1}{2}$.
Berikut beberapa contoh soal menyelesaikan masalah-masalah kontekstual dengan menggunakan konsep fungsi komposisi.
Contoh Soal 6
(Masalah Gaji dan Tunjangan)
PT. Hinomaru menerapkan sistem yang unik dalam memberikan tunjang kepada karyawannya. Di perusahan ini, setiap bulannya seorang karyawan akan mendapatkan dua macam tunjangan yaitu tunjang keluarga dan tunjangan kesehatan. Besarnya tunjang keluarga ditentukan dari $\frac{1}{5}$ gaji pokok ditambah Rp$50.000,00$. Sementara besarnya tunjangan kesehatan adalah setengah dari tunjangan keluarga. 
Berdasarkn situasi tersebut:
a) buatlah model matematika yang menyatakan hubungan besarnya tunjangan kesehatan dan gaji karyawan tersebut.
b) Berapakah besarnya tunjangan kesehatan seorang karyawan yang memiliki gaji pokok Rp$2.000.000,00$.
Pembahasan
Diketahui:
$\begin{align*} \textrm{Tunjang}\;\textrm{keluarga}&=\frac{1}{5}\textrm{gaji}\;\textrm{pokok}+50.000\\ \textrm{Tunjangan}\;\textrm{kessehatan}&=\frac{1}{2}\textrm{tunjagan}\;\textrm{keluarga} \end{align*}$
Ditanyakan:
a) model matematika yang menyatakan hubungan besarnya tunjangan kesehatan dan gaji karyawan.
b) berapakah besarnya tunjangan kesehatan seorang karyawan yang memiliki gaji pokok Rp$2.000.000,00$.
Penyelesaian
Misalkan:
a. Gaji pokok $=x$
   Tunjangan keluarga $=y$
   Tunjangan kesehatan $=z$
Maka dapat dibuat model matematikanya masing-masing sebgai berikut.
$\begin{align*} \textrm{Tunjang}\;\textrm{keluarga}&=\frac{1}{5}\textrm{gaji}\;\textrm{pokok}+50.000\\ y(x)&=\frac{1}{5}x+50.000\;\;\;\;....(1)\\ \textrm{Tunjangan}\;\textrm{kesehatan}&=\frac{1}{2}\textrm{tunjagan}\;\textrm{keluarga} \\ z(y)&=\frac{1}{2}y\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;...(2) \end{align*}$
Besarnya tunjangan kesehatan terhadap gaji pokok adalah komposisi dari fungsi $(2)$ dan $(1)$, seperti berikut:
$\begin{align*} (z\circ y)(x)&=z(y(x))\\ &=z(\frac{1}{5}x+50.000)\\ &=\frac{1}{2}(\frac{1}{5}x+50.000)\\ (z\circ y)(x)&=\frac{1}{10}x+25.000 \end{align*}$

b. Besar tunjangan kesehatan untuk seorang karyawan dengan gaji pokok Rp$2.000.000,00$
$\begin{align*} (z\circ y)(x)&=\frac{1}{10}x+25.000\\ (z\circ y)(2.000.000)&=\frac{1}{10}\times 2.000.000 +25.000\\ &=200.000+25.000\\ &=225.000 \end{align*}$
Jadi, karyawan tersebut mendapat tunjangan sebesar Rp$225.000$

Contoh Soal 7
(Masalah Produksi Barang)
Sebuah perusahan menggunakan 2 buah mesin untuk mengubah bahan mentah menjadi bahan jaadi. Mesin I mengubah bahan mentah menjadi bahan setengah jadi, dan mesin II mengubah bahan setengah jadi menjadi bahan jadi. Mesin I mengikuti fungsi $f(x)=2x-3$ dan mesin II mengikuti fungsi $g(x)=2x^{2}+x$.
(a) Apabila bahan mentah yang digunakan sebanya $x$, tentukan persamaan hasilnya.
(b) Apabila bahan mentah yang digunakan sebanyak $100$ kg, maka berapakah banyak hasil produksi?

Pembahasan
Pada kasus ini,hasil olahan mesin I dilanjutkan oleh mesin II.
\[\begin{align*}\textrm{Dimana}:\;\textrm{mesin}\;\textrm{I}&=f(x)=2x-3\\ \textrm{mesin}\;\textrm{II}&=g(x)=2x^{2}+x\\ \end{align*}\]
(a) Persamaan hasil produksi adalah komposisi fungsi $f$ dan $g$ sebagai berikut:
$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=g(f(x))\\ (g\circ f)(x)&=g(2x-3)\\ (g\circ f)(x)&=2(2x-3)^{2}+x\\ (g\circ f)(x)&=2(4x^{2}-12x+9)+x\\ (g\circ f)(x)&=8x^{2}-24x+18+x\\ (g\circ f)(x)&=8x^{2}-23x+18\\ \end{align*}$
Jadi, persamaan hasilnya $\begin{align*} (g\circ f)(x)&=8x^{2}-23x+18 \end{align*}$ .
(b) Jika bahan mentah yang digunakan sebanyak $100$ kg, banyakk hasil produksinya:
$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=8x^{2}-23x+18\\ (g\circ f)(100)&=8(100)^{2}-23(100)+18\\ &=80.000-2300+18\\ &=77.718 \end{align*}$
Jadi, hasilnya produksinya sebanyak $77.718$
Demikianlah yang dapat penulis berikan. Apabila dalam tulisan ini terdapat kekeliruan baik itu proses penyelesaian maupun penulisannya, mohon segera dikomentari pada kolom komentar di bawah ini atau pengunjung bisa menghubungi saya melalui akun fesbuk Yan Fardian atau e-mail: yanfardian876@gmail.com. Terima kasih....

4 Komentar

Posting Komentar

Lebih baru Lebih lama