Jarak Dua Bidang Sejajar pada Dimensi Tiga

Pada kesempatan kali ini kembali saya akan membahas salah satu sub materi pada dimensi tiga yang cukup menarik, yaitu menentukan Jarak Dua Bidang Sejajar pada Dimensi Tiga. Materi ini akan kalian temukan saat kalian duduk di kelas $\mathrm{\$XII\$}$ semester pertama pada pelajaran Matematika Wajib. Langsung saja saya bahas berikut ini.

 

Misalkan terdapat dua buah bidang yang saling sejajar, sebut saja bidang $\alpha$ dan bidang $\beta$ seperti pada gambar berikut.

Jarak antara bidang $\alpha$ dengan bidang $\beta$ dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut.

• Ambil sembarang titik $P$ pada bidang $\alpha$
• Lukislah garis $g$ melalui titik $P$ tadi dan tegak lurus terhadap bidang $\beta$.
• Garis $g$ memotong atau menembus bidang $\beta$ di titik $Q$.
• Panjang ruas garis $PQ$ ditetapkan sebagai jarak bidang $\alpha$ dengan bidang $\beta$ 

Perhatikan bahwa, setelah titik $P$ ditetapkan, maka proses menentukan jarak dua bidang sejajar sama dengan proses menentukan jarak titik dengan bidang yang telah dibahas pada artikel sebelumnya. Selanjutnya perhatikanlah beberapa contoh soal berikut ini.

Contoh 1

Diketahui balok $ABCD.EFGH$ dengan $AB=10$ cm, $BC=8$ cm, dan $BF=6$ cm. Hitunglah:

a. Jarak bidang $ABCD$ dengan bidang $EFGH$

b. Jarak bidang $ADHE$ dengan bidang $BCGF$

Pembahasan

a. Jarak bidang $ABCD$ dengan bidang $EFGH$

Bidang $ABCD$ dan bidang $EFGH$ adalah dua bidang yang saling sejajar. Jarak bidang $ABCD$ dengan bidang $EFGH$ sama dengan panjang garis $AE$ atau $BF$ atau $CG$, atau $DH$ sebab garis-garis tersebut tegak lurus dengan bidang $ABCD$. Jadi, jarak bidang $ABCD$ dengan bidang $EFGH$ sama dengan panjang $AE$ yaitu $6$ cm. Perhatikan gb. ($a$).

b. Jarak bidang $ADHE$ dengan bidang $BCGF$

Bidang $ADHE$ dengan bidang $BCGF$ adalah duaa bidang yang saling sejajar. Jarak bidang $ADHE$ dengan bidang $BCGF$ sama dengan panjang garis $AB$ atau $CD$ atau $EF$ atau $GH$ sebab garis-garis tersebut tegak lurus dengan $ADHE$ dan juga pada bidang $BCGF$. Jadi, jarak bidang $ADHE$ dengan bidang $BCGF$ sama dengan panjang $AB$ yaitu $10$ cm. Perhatikan gb. ($b$).

 

Contoh 2

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ mempunyai panjang rusuk $6$ cm. Hitunglah jarak bidang $ACH$ dengan bidang $BEG$.

Pembahasan

Langkah-langkah menentukan jarak bidang $ACH$ dengan bidang $BEG$, adalah sebagai berikut.

Baca Juga

• Jarak Garis dengan Bidang pada DImensi 3
• Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga
• Jarak Dua Bidang Sejajar pada Dimensi Tiga

(1) Lukis bidang $ACH$ dan bidang $BEG$ pada kubus $ABCD.EFGH$

(2) Ambil sembarang titik $L$ pada bidang $ACH$.

(3) Lukislah garis melalui titik $L$ menembus atau memotong tegak lurus bidang $BEG$ di titik $K$, garis tersebut adalah garis $DF$. Ruas garis $DF$ adalah diagonal ruang kubus $ABCD.EFGH$, maka $DF=6\sqrt{3}$ cm.

(4). Panjang ruas garis $KL$ adalah jarak bidang $ACH$ dengan bidang $BEG$ seperti diperlihatkan pada gambar berikut.

Selanjutnya fokuskan perhatian pada bidang $DBFH$, dimana  $BD=HF=6\sqrt{2}$ cm dan $DH=BF=6$ cm. Titik $O$ dan $P$ adalah titik tengah $BD$ dan $FH$, sebagai akibatnya segitiga $ODH$ dan $BPF$ kongruen, maka $DL=KF$.

Terlebih dahulu kita tentukan panjang $OH$, sebagai berikut.

$\begin{align*}OH^{2}&=OD^{2}+HD^{2}\\OH^{2}&=(3\sqrt{2})^{2}+6^{2}\\OH^{2}&=18+36\\OH^{2}&=54\\OH&=3\sqrt{6}\end{align*}$

Dengan konsep kesamaan luas pad segitiga $ODH$, diperoleh:

$\begin{align*}\frac{1}{2}×OH×DL&=\frac{1}{2}×OD×DH\\\frac{1}{2}×3\sqrt{6}×DL&=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×6\\3\sqrt{6}×DL&=18\sqrt{2}\\DL&=\frac{18\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}\\DL&=2\sqrt{3}\end{align*}$

Dengan demikian, $DL=KF=2\sqrt{3}$. Selanjutnya akan kita tentukam panjang $LK$, sebagai berikut.

$\begin{align*}DL+LK+KF&=DF\\2\sqrt{3}+LK+2\sqrt{3}&=6\sqrt{3}\\LK+4\sqrt{3}&=6\sqrt{3}\\LK&=2\sqrt{3}\end{align*}$

Jadi, panjang $LK=2\sqrt{3}$. Dengan demikian, jarak bidang $ACH$ dengan bidang $BEG$ adalah $2\sqrt{3}$ cm.

Contoh 3

Kubus $ABCD.EFGH$ memiliki panjang rusuk $12$ cm. Titik $K$, $L$, dan $M$ adalh titik tengah rusuk $BC$, $CD$, dan $CG$. Hitunglah jarak antar bidang $AFH$ dengan bidang $KLM$.

Pembahasan

Langkah-langkah menentukan jarak bidang $ABH$ dengan bidang $KLM$ dapat mengikuti langkah-langkah pada pembahasan soal nomor $2$ di atas, sehingga akan kita peroleh gambar sebgai berikut.

Ruas garis $PO$ adalah jarak bidang $AFH$ dengan bidang $KLM$. $AC$ adalah diagonal sisi kubus,maka $AC=12\sqrt{2}$ cm, dan $CE$ adalah diagonal ruang kubus, maka $EC=12\sqrt{3}$ cm. Selanjutnya perhatikan bidang $ACGE$. Jika kita gambar akan seperti berikut.

Supaya panjang ruas garis $PO$ diketahui, maka terlebih dahulu dicari panjang $EP$ dan $OC$. Perhatikan segitiga $AEN$

$\begin{align*} AN^{2}&=AE^{2}+EN^{2}\\ AN^{2}&=12^{2}+(6\sqrt{2})^{2}\\ AN^{2}&=144+72\\ AN^{2}&=216\\ AN&=\sqrt{216}\\ AN&=6\sqrt{6} \end{align*}$ 

Menentukan panjang $EP$:

$\begin{align*} \frac{1}{2}\times AN\times EP&=\frac{1}{2}\times EN\times AE\\ \frac{1}{2}\times 6\sqrt{6}\times EP&=\frac{1}{2}\times 6\sqrt{2}\times 12\\ \sqrt{6}\times EP&=12\sqrt{2}\\ EP&=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{6}}\\ EP&=4\sqrt{3} \end{align*}$ 

Segitiga $ICL$ sebangun dengan segitiga $AEN$, maka:

$\begin{align*} \Leftrightarrow \frac{IL}{AN}&=\frac{CL}{AE}\\ \frac{IL}{6\sqrt{6}}&=\frac{6}{12}\\ IL&=\frac{6\times 6\sqrt{6}}{12}\\ IL&=3\sqrt{6}\\ \Leftrightarrow \frac{IC}{EN}&=\frac{CL}{AE}\\ \frac{IC}{6\sqrt{2}}&=\frac{6}{12}\\ IC&=\frac{6\times 6\sqrt{2}}{12}\\ IC&=3\sqrt{2} \end{align*}$ 

Menentukan panjang $OC$:

$\begin{align*} \frac{1}{2}\times IL\times OC&=\frac{1}{2}\times IC\times CL\\ \frac{1}{2}\times 3\sqrt{6}\times OC&=\frac{1}{2}\times 3\sqrt{2}\times 6\\ \sqrt{6}\times OC&=6\sqrt{2}\\ OC&=2\sqrt{3} \end{align*}$ 

Menentukan panjang $PO$:

$\begin{align*} EP+PO+OC&=EC\\ 4\sqrt{3}+PO+2\sqrt{3}&=12\sqrt{3}\\ PO+6\sqrt{3}&=12\sqrt{3}\\ PO&=6\sqrt{3} \end{align*}$  

Jadi, panjang $PO=6\sqrt{3}$. Sehingga jarak bidang $AFH$ dengan bidang $KLM$ sama dengan $6\sqrt{3}$ cm.

Wahhh...ternyata cukup panjang dan lama juga prosesnya ya? Sebenarnya tidaklah demikian. Penulis sengaja menyelesaikan soal ini tahap demi tahap agar mudah dipahami. Intinya sering-seringlah belajar dan berlatih mengerjakan soal. Dengan seringnya berlatih mengerjakan soal maka nanti kalian akan menemukan sendiri ide-ide brilian dalam menyelesaikan suatu masalah (soal) matematika. Jangan mudah menyerah adalah salah satu kunci kesuksesan.

Demikian pembahasan materi kali ini, semoga bermanfaat.