Pada artikel sebelumnya telah dibahas mengenai jarak titik dengan titik, titik dengan garis, dan titik dengan bidang. Di kesempatan kali ini akan dibahas materi dimensti tiga lainnya yang tak kalah menarik, yaitu jarak dua buah garis. Yang perlu diingat, jika ingin terampil dan mudah memahami materi ini, syaratnya adalah materi sebelumnya harus sudah dikuasai dengan baik. Simaklah uraian berikut.
Ada dua kemungkinan kedudukan dua buah garis pada dimensi tiga yang akan dibahas kali ini, yaitu kedua garis saling sejajar dan saling bersilangan. Kita akan pelajari satu per satu cara menentukan jarak dua garis tersebut berdasarkan kedudukannya masing-masing.
Jarak Dua Garis yang Saling Sejajar
Misalkan kita memiliki dua buah garis yang saling sejajar, sebut saja garis garis $g$ dan garis $h$ seperti tampak pada gb. (a).
Bagaimana cara menentukan jarak kedua garis tersebut? Untuk mengukur jarak garis $g$ ke garis $h$, terlebih dahulu pilihlah sembarang titik pada garis $g$, misalnya titik $A$. Selanjutnya, tarik garis dari titik $A$ memotong garis $h$, misalnya di titik $B$, sehingga garis ini kita sebut garis $AB$. Garis $AB$ menyatakan jarak garis $g$ dengan garis $h$ jika $AB$ tegak lurus dengan garis $g$ dan $h$.
Jarak Dua Garis yang Saling Bersilangan
Misalkan $a$ dan $b$ adalah dua buah garis yang saling bersilangan seperti pada gambar berikut.
Jarak garis $a$ dan $b$ yang saling bersilangan dapat ditentukan dengan langakah-langkah berikut ini.
Jarak Dua Garis yang Saling Bersilangan
Misalkan $a$ dan $b$ adalah dua buah garis yang saling bersilangan seperti pada gambar berikut.
(2) Lukislah bidang $H$ melalui $a$ dan $b_{1}$ (gb. b). Bidang $H$ akan sejajar garis $b$.
(3) Proyeksikan garis $b$ terhadap bidang $H$.Hasilnya adalah garis $b_{2}$, yang memotong garis $a$ di titik $A$. (gb. c)
(4) Lukislah garis $g$ yang melalui titik $A\perp b$, dan memotong garis $b$ di $B$. (gb. d)
(5) Garis $AB$ adalah jarak garis $a$ dengan garis $b$
Berikut ini diberikan beberapa contoh soal menentukan jarak dua titik pada ruang dimensi tiga.
Contoh 1
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $4$ cm. Hitunglah:
(a) Jarak antara $AB$ dan $EF$(b) Jarak antara $AC$ dan $EG$
Pembahasan
(a) Jarak antara $AB$ dan $EF$
Garis $AB$ dan $EF$ merupakan dua garis yang saling sejajar. Jarak antara garis $AB$ dan $EF$ sama dengan panjang garis $AE$ sebab $AE$ tegak lurus terhadap $AB$ dan $EF$. Jadi, jarak $AB$ dan $EF$ adalah $4$ cm.
(b) Jarak antara $AC$ dan $EG$
Garis $AC$ dan $EG$ merupakan dua garis sejajar. Jarak antara garis $AC$ dan $EG$ sama dengan panjang garis $AE$ sebab $AE$ tegak lurus terhadap $AC$ dan $EG$. Jadi, jarak antara garis $AC$ dan $EG$ adalah $4$ cm.
(b) Jarak antara $AC$ dan $EG$
Contoh 2
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ memiliki panjang rusuk $8$ cm. Jika $P$ adalah titik potong $AC$ dan $BD$, dan $Q$ adalah titik potong $EG$ dengan $FH$, tentukan jarak $AQ$ dengan $GP$.
Pembahasan
Garis $AP$ dan $GQ$ diperlihatkan seperti pada gambar berikut.
Garis $AQ$ dan $GP$ merupakan dua garis yang sejajar. Garis $EC$ tegak lurus terhadap garis $AQ$ dan $GP$. Jarak garis $AQ$ dan $GP$ adalah panjang $KL$. $EC$ merupakan diagonal ruang, maka $\begin{align*}EC=8\sqrt{3}\end{align*}$. Segitiga $AEQ$ kongruen dengan segitiga $PCG$, akibatnya $EK=CL$.
$\begin{align*} \frac{1}{2}\times AQ \times EK&=\frac{1}{2}\times EQ\times AE\\ AQ\times EK&=EQ\times AE\\ 4\sqrt{6}EK&=4\sqrt{2}\times 8\\ EK&=\frac{32\sqrt{2}}{4\sqrt{6}}\\ EK&=\frac{8}{3}\sqrt{3} \end{align*}$
Selanjutnya, akan ditentukan jarak $AQ$ dengan $GP$ sebagai berikut.
$\begin{align*} EK+KL+LC&=EC\\ \frac{8}{3}\sqrt{3}+KL+\frac{8}{3}\sqrt{3}&=8\sqrt{3}\\ \frac{16}{3}\sqrt{3}+KL&=8\sqrt{3}\\ KL&=8\sqrt{3}-\frac{16}{3}\sqrt{3}\\ KL&=\frac{24\sqrt{3}-16\sqrt{3}}{3}\\ KL&=\frac{8}{3}\sqrt{3} \end{align*}$
Contoh 4
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ mempunyai rusuk $10$ cm. Tentukan jarak $AD$ dengan $HB$.
Pembahasan
Garis $AD$ dan $HB$ saling bersilangan. Berikut adalah langkah-langkah menentukan jarak $AD$ dan $HB$.
(i) Lukislah garis sejajar $AD$ dan memotong $HB$. Garis tersebut adalah $IJ$ yang memotong $HB$ di $K$.
(ii)Lukislah bidang yang melalui $IJ$ dan $HB$. Bidang tersebut adalah $BCHE$ dan sejajar $AD$.
(iii) Proyeksikan garis $AD$ pada bidang $BCHE$. Proyeksi garis $AD$ adalah $IJ$ yang memotong garis $HB$ di $K$.
(iv) Lukislah garis $KL$ tegak lurus $AD$ dan $HB$.
(v) $KL$ adalah jarak $AD$ dan $HB$
Ada pun gambarnya sebagai berikut.
Dari gambar tampak bahwa $KL//AI$ dan $I$ adalah titik tengah $AF$. Dengan Teorema Pythagoras, diperoleh:
$\begin{align*}AF^{2}&=BC^{2}+BF^{2}\\ AF^{2}&=10^{2}+10^{2}\\ AF^{2}&=200\\ AF&=10\sqrt{2} \end{align*}$ (i) Lukislah garis sejajar $AD$ dan memotong $HB$. Garis tersebut adalah $IJ$ yang memotong $HB$ di $K$.
(ii)Lukislah bidang yang melalui $IJ$ dan $HB$. Bidang tersebut adalah $BCHE$ dan sejajar $AD$.
(iii) Proyeksikan garis $AD$ pada bidang $BCHE$. Proyeksi garis $AD$ adalah $IJ$ yang memotong garis $HB$ di $K$.
(iv) Lukislah garis $KL$ tegak lurus $AD$ dan $HB$.
(v) $KL$ adalah jarak $AD$ dan $HB$
Ada pun gambarnya sebagai berikut.
Dengan demikian $\begin{align*} AI=\frac{1}{2}10\sqrt{2}=5\sqrt{2} \end{align*}$. Jadi jarak $AD$ dengan $HB$ adalah $5\sqrt{2}$ cm.
Contoh 5
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $8$ cm. Tentukan jarak garis $AE$ dan garis $BH$.
Pembahasan
Garis $AE$ dan garis $BH$ merupakan dua garis yang saling bersilangan. Jarak kedua garis dapat ditentuan dengan langkah-langkah sebagai berikut.
- Lukislah garis yang sejajar dengan garis $AE$ sehingga memotong garis $BH$. Garis tersebut adalah garis $DH$. $DH$ dan $BH$ membentuk bidang $BDHF$.
- Lukislah garis yang tegak lurs dengan garis garis $DH$ dan garis $BH$. Garis tersebut adalah garis $IH$ dimana titik $I$ adalah perpanjangan garis $FE$ sehingga $IE=FE=8$ cm. Garis $IH$ dan $BH$ membentuk bidang $BJHI$ dan bidang ini ditembus oleh garis $AE$ di $K$.
- Garis $KO$ tegak lurus dengan garis $AE$ dan $BH$, sehingga $KO$ adalah jarak antara garis $AE$ dan $BH$, seperti diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
Dengan demikian, berdasarkan gambar di atas kita dapat menghitung jarak garis $AE$ dengan garis $BH$. Perhatikan garis $KL$, dimana garis $KL$ sejajar dan sama panjang dengan garis $AC$. Sehingga $KO$ adalah setengah dari dari panjang $AC$, yaitu:
$\begin{align*} KO&=\frac{1}{2}\times AC=\frac{1}{2}\times 8\sqrt{2}=4\sqrt{2} \end{align*}$
Jadi, jarak garis $AE$ dengan garis $BH$ adalah $4\sqrt{2}$ cm.
Demikianlah pembahasan materi jarak dua garis pada dimensi tiga. Jika ditemukan kesalahan pada pembahasan konsep dan contoh soal silakan dikomentari pada kolom komentar di bawah. Semoga bermanfaat.
Posting Komentar