Pada artikel sebelumnya telah dibahas mengenai jarak titik dengan titik, titik dengan garis, dan titik dengan bidang. Di kesempatan kali ini akan dibahas materi dimensti tiga lainnya yang tak kalah menarik, yaitu jarak dua buah garis. Yang perlu diingat, jika ingin terampil dan mudah memahami materi ini, syaratnya adalah materi sebelumnya harus sudah dikuasai dengan baik. Simaklah uraian berikut.
Ada dua kemungkinan kedudukan dua buah garis pada dimensi tiga yang akan dibahas kali ini, yaitu kedua garis saling sejajar dan saling bersilangan. Kita akan pelajari satu per satu cara menentukan jarak dua garis tersebut berdasarkan kedudukannya masing-masing.
Jarak Dua Garis yang Saling Sejajar
Misalkan kita memiliki dua buah garis yang saling sejajar, sebut saja garis garis g dan garis h seperti tampak pada gb. (a).
Bagaimana cara menentukan jarak kedua garis tersebut? Untuk mengukur jarak garis g ke garis h, terlebih dahulu pilihlah sembarang titik pada garis g, misalnya titik A. Selanjutnya, tarik garis dari titik A memotong garis h, misalnya di titik B, sehingga garis ini kita sebut garis AB. Garis AB menyatakan jarak garis g dengan garis h jika AB tegak lurus dengan garis g dan h.
Jarak Dua Garis yang Saling Bersilangan
Misalkan a dan b adalah dua buah garis yang saling bersilangan seperti pada gambar berikut.
Jarak garis a dan b yang saling bersilangan dapat ditentukan dengan langakah-langkah berikut ini.
Jarak Dua Garis yang Saling Bersilangan
Misalkan a dan b adalah dua buah garis yang saling bersilangan seperti pada gambar berikut.
Jarak garis a dan b yang saling bersilangan dapat ditentukan dengan langakah-langkah berikut ini.
(2) Lukislah bidang H melalui a dan b1 (gb. b). Bidang H akan sejajar garis b.
(3) Proyeksikan garis b terhadap bidang H.Hasilnya adalah garis b2, yang memotong garis a di titik A. (gb. c)
(4) Lukislah garis g yang melalui titik A⊥b, dan memotong garis b di B. (gb. d)
(5) Garis AB adalah jarak garis a dengan garis b
Berikut ini diberikan beberapa contoh soal menentukan jarak dua titik pada ruang dimensi tiga.
Contoh 1
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Hitunglah:
(a) Jarak antara AB dan EF(b) Jarak antara AC dan EG
Pembahasan
(a) Jarak antara AB dan EF
Garis AB dan EF merupakan dua garis yang saling sejajar. Jarak antara garis AB dan EF sama dengan panjang garis AE sebab AE tegak lurus terhadap AB dan EF. Jadi, jarak AB dan EF adalah 4 cm.
(b) Jarak antara AC dan EG
Garis AC dan EG merupakan dua garis sejajar. Jarak antara garis AC dan EG sama dengan panjang garis AE sebab AE tegak lurus terhadap AC dan EG. Jadi, jarak antara garis AC dan EG adalah 4 cm.
(b) Jarak antara AC dan EG
Garis AC dan EG merupakan dua garis sejajar. Jarak antara garis AC dan EG sama dengan panjang garis AE sebab AE tegak lurus terhadap AC dan EG. Jadi, jarak antara garis AC dan EG adalah 4 cm.
Contoh 2
Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 8 cm. Jika P adalah titik potong AC dan BD, dan Q adalah titik potong EG dengan FH, tentukan jarak AQ dengan GP.
Pembahasan
Garis AP dan GQ diperlihatkan seperti pada gambar berikut.
Garis AQ dan GP merupakan dua garis yang sejajar. Garis EC tegak lurus terhadap garis AQ dan GP. Jarak garis AQ dan GP adalah panjang KL. EC merupakan diagonal ruang, maka EC=8√3. Segitiga AEQ kongruen dengan segitiga PCG, akibatnya EK=CL.
12×AQ×EK=12×EQ×AEAQ×EK=EQ×AE4√6EK=4√2×8EK=32√24√6EK=83√3
Selanjutnya, akan ditentukan jarak AQ dengan GP sebagai berikut.
EK+KL+LC=EC83√3+KL+83√3=8√3163√3+KL=8√3KL=8√3−163√3KL=24√3−16√33KL=83√3
Contoh 4
Diketahui kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 10 cm. Tentukan jarak AD dengan HB.
Pembahasan
Garis AD dan HB saling bersilangan. Berikut adalah langkah-langkah menentukan jarak AD dan HB.
(i) Lukislah garis sejajar AD dan memotong HB. Garis tersebut adalah IJ yang memotong HB di K.
(ii)Lukislah bidang yang melalui IJ dan HB. Bidang tersebut adalah BCHE dan sejajar AD.
(iii) Proyeksikan garis AD pada bidang BCHE. Proyeksi garis AD adalah IJ yang memotong garis HB di K.
(iv) Lukislah garis KL tegak lurus AD dan HB.
(v) KL adalah jarak AD dan HB
Ada pun gambarnya sebagai berikut.
Dari gambar tampak bahwa KL//AI dan I adalah titik tengah AF. Dengan Teorema Pythagoras, diperoleh:
AF2=BC2+BF2AF2=102+102AF2=200AF=10√2 (i) Lukislah garis sejajar AD dan memotong HB. Garis tersebut adalah IJ yang memotong HB di K.
(ii)Lukislah bidang yang melalui IJ dan HB. Bidang tersebut adalah BCHE dan sejajar AD.
(iii) Proyeksikan garis AD pada bidang BCHE. Proyeksi garis AD adalah IJ yang memotong garis HB di K.
(iv) Lukislah garis KL tegak lurus AD dan HB.
(v) KL adalah jarak AD dan HB
Ada pun gambarnya sebagai berikut.
Dari gambar tampak bahwa KL//AI dan I adalah titik tengah AF. Dengan Teorema Pythagoras, diperoleh:
Dengan demikian AI=1210√2=5√2. Jadi jarak AD dengan HB adalah 5√2 cm.
Contoh 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak garis AE dan garis BH.
Pembahasan
Garis AE dan garis BH merupakan dua garis yang saling bersilangan. Jarak kedua garis dapat ditentuan dengan langkah-langkah sebagai berikut.
- Lukislah garis yang sejajar dengan garis AE sehingga memotong garis BH. Garis tersebut adalah garis DH. DH dan BH membentuk bidang BDHF.
- Lukislah garis yang tegak lurs dengan garis garis DH dan garis BH. Garis tersebut adalah garis IH dimana titik I adalah perpanjangan garis FE sehingga IE=FE=8 cm. Garis IH dan BH membentuk bidang BJHI dan bidang ini ditembus oleh garis AE di K.
- Garis KO tegak lurus dengan garis AE dan BH, sehingga KO adalah jarak antara garis AE dan BH, seperti diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
Dengan demikian, berdasarkan gambar di atas kita dapat menghitung jarak garis AE dengan garis BH. Perhatikan garis KL, dimana garis KL sejajar dan sama panjang dengan garis AC. Sehingga KO adalah setengah dari dari panjang AC, yaitu:
KO=12×AC=12×8√2=4√2
Jadi, jarak garis AE dengan garis BH adalah 4√2 cm.
Demikianlah pembahasan materi jarak dua garis pada dimensi tiga. Jika ditemukan kesalahan pada pembahasan konsep dan contoh soal silakan dikomentari pada kolom komentar di bawah. Semoga bermanfaat.
Posting Komentar