Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV dengan Metode Eliminasi

Dalam tulisan sebelumnya yang bisa pengunjung baca disini telah dibahas bagaimana cara menentukan penyelesaian SPLDV dengan cara substitusi. Pada kssempatan kali ini, kembali penulis membahas cara menentukan penyelesaaian SPLDV menggunakan metode lainnya, yaitu metode Eliminasi. Elimasi artinya adalah menghilangkan salah satu variabel sehingga nilai variabel yang lainnya dapat ditentukan. Supaya lebih jelas, perhatikanlah beberapa contoh soal berikut.

Contoh 1
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2x+3y=16$ dan $3x+4y=23$.

Pembahasan
Langkah pertama: Eliminasi variabel $y$
$\begin{align*}2x+3y=16\;\;\;....(\times4)\rightarrow 8x+12y&=64\\ 3x+4y=23\;\;\;....(\times3)\rightarrow\underline{9x+12y}&=69\;\;\;...\textrm{kurangi}\\ -x&=-5\\ x&=5 \end{align*}$  

Langkah kedua: Eliminasi variabel $x$

$\begin{align*}2x+3y=16\;\;\;....(\times3)\rightarrow 6x+9y&=48\\ 3x+4y=23\;\;\;....(\times2)\rightarrow\underline{6x+8y}&=46\;\;\;...\textrm{kurangi}\\ y&=2\\ \end{align*}$ 

Jadi, HP$=(5,2)$

 

Contoh 2
Diketahui sistem persamaan $x-3y=5$ dan $2x-5y=9$. Tentukan nilai dari $3x+2y$.
Pembahasan

Eliminasi variabel $y$
$\begin{align*} x-3y=5\;\;...(\times5)\rightarrow 5x-15y&=25\\ 2x-5y=9\;\;...(\times3)\rightarrow\underline{6x-15y}&=27\;\;-\\ -x&=-2\\ x&=2 \end{align*}$
Eliminasi variabel $x$
$\begin{align*} x-3y=5\;\;...(\times2)\rightarrow 2x-6y&=10\\ 2x-5y=9\;\;...(\times1)\rightarrow\underline{2x-5y}&=9\;\;-\\ -y&=1\\ y&=-1 \end{align*}$
Substitusi $x=2$ dan $y=-1$ ke $3x+2y$ sebagai berikut:
$\begin{align*} 3x+2y&=3(2)+2(-1)\\ &=6-2\\ &=4 \end{align*}$ 

Contoh 3

Baca Juga

Jika $p$ dan $q$ adalah penyelesaian sistem persamaan $3x-2y=12$ dan $5x+y=7$, maka berapakah nilai dari $4p+3q$.
Pembahasan
Eliminasi variabel $y$
$\begin{align*} 3x-2y=12\;\;...(\times1)\rightarrow 3x-2y&=12\\ 5x+y=7\;\;...(\times2)\rightarrow \underline{10x+2y}&=14\;\;...\textrm{jumlahkan}\\ 13x&=26\\ x&=2 \end{align*}$
Eliminasi variabel $x$
$\begin{align*} 3x-2y=12\;\;...(\times5)\rightarrow 15x-10y&=60\\ 5x+y=7\;\;...(\times3)\rightarrow \underline{15x+3y}&=21\;\;...\textrm{kurangi}\\ -13y&=39\\ y&=-3 \end{align*}$
Selanjutnya, substitusi $x=2$ dan $y=-3$ ke $4p+3q$, sebagai berikut.
$4p+3q=4(2)+3(3)=17$
Jadi, nilai $4p+3q=17$.

Demikian beberapa contoh soal dasar yang sering ditemukan terkait menentukan penyelesaian SPLDV. Namun, tak jarang pula ditemukan ada soal SPLDV yang berbentuk pecahan. Bagaimana cara penyelesaiannya? Apakah caranya sama seperti di atas? Simaklah contoh soal berikut.

Contoh 4
Carilah penyelesaian yang memenuhi persamaan $\begin{align*}\frac{2x-3}{2}+\frac{y+4}{3}=\frac{13}{6}\end{align*}$ dan $\begin{align*}\frac{x+2}{4}-\frac{3y-2}{2}=\frac{21}{4}\end{align*}$

Pembahasan
Langkah pertama adalah menyederhanakan persamaan (menghilangkan bentuk pecahan).
Perhatikan persamaan pertama.
KPK $(2,3,6)=6$
$\begin{align*}\frac{2x-3}{2}+\frac{y+4}{3}&=\frac{13}{6}\;\;\;\;...\textrm{kali kedua ruas dengan 6}\\3(2x-3)+2(y+4)&=13\\6x-9+2y+8&=13\\6x+2y&=14\;\;\;\;\;...(*)\end{align*}$

Perhatikan persamaan kedua
KPK $(4,2)=4$
$\begin{align*}\frac{x+2}{4}+\frac{3y-2}{2}&=\frac{21}{4}\;\;\;\;\;\;...\textrm{kalikan kedua ruas dengan 4}\\x+2-2(3y-2)&=21\\x+2-6y+4&=21\\x-6y&=15\;\;\;\;...(**)\end{align*}$

Dari persamaan $(*)$ dan $(**)$ akan kita tentukan nilai $x$ dan $y$ dengan metode eliminasi, sebagai berikut.
Eliminasi variabel $y$
$\begin{align*}6x+2y=14\;\;\;...(\times6)\rightarrow36x+12y&=84\\x-6y=15\;\;\;\;...(\times2)\rightarrow\underline{2x-12y}&=30\;\;\;\;....\textrm{jumlahkan}\\38x&=114\\x&=3\end{align*}$

Eliminasi variabel $x$
$\begin{align*}6x+2y=14\;\;\;...(\times1)\rightarrow6x+2y&=14\\x-6y=15\;\;\;...(\times6)\rightarrow\underline{6x-36y}&=90\;\;\;\;...\textrm{kurangi}\\38y&=-76\\y&=-2\end{align*}$
Jadi, HP$=(3,-2)$

Demikianlah penjelasan cara menentukan penyelesaian SPLDV dengan cara eliminasi. Apabila ditemukan kekeliruan penulisan dan penyelesaian, silakan dikomentari pada kolom komentar di bawah.

Baca Juga:
Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV dengan Cara Substitusu