Sifat - Sifat Logaritma

Baca Juga

Pada kesempatan kali ini kembali penulis membahas materi logaritma yang merupakan kelanjutan dari materi sebelumnya yang bisa pengunjung baca disini. Di artikel kali kita akan sama-sama mempelajari sifat-sifat logaritma.

Kita telah mengetahui ada $3$ sifat pokok logaritma dan penting sekali untuk diingat. Ketiga sifat pokok tersebut, yaitu:

• Sifat-sifat pokok logaritma:

               (☞) $^g\textrm{log}\;g=1$

               (☞) $^g\textrm{log}\;g^n=n$

               (☞) $^g\textrm{log}\;1=0$

Sifat-Sifat Logaritma

Selain ketiga sifat di atas, berikut ini beberapa sifat-sifat penting logaritma lainnya.

Sifat 1.  Logaritma Perkalian

Logaritma perkalian dua bilangan sama dengan jumlah logaritma dari masing-masing bilangan tadi, dan ditulis:

$^g\textrm{log}(a×b)=\;^g\textrm{log}\;a+\;^g\textrm{log}\;b$

Contoh 1

Sederhanakan bentuk logaritma berikut.

$1.\;^2\textrm{log}\;16 + \;^2\textrm{log}\;32$

$2.\;\begin{align*}^3\textrm{log}\;2,25+\;^3\textrm{log}\;4,5+\;^3\textrm{log}\;8\end{align*}$

$3.\; ^7\textrm{log}\;x\;+\;^7\textrm{log}\;y\;+\;^7\textrm{log}\;z$

$\begin{align*}4.\;\textrm{log}\frac{3}{5}+\textrm{log}\frac{5}{36}+\textrm{log}12\end{align*}$

$\begin{align*}5.\;^2\textrm{log}4\sqrt{2}\;+\;^2\textrm{log}\sqrt{3}\;+\;^2\textrm{log}\;54\end{align*}$

Jawab

$\begin{align*}1.\;^2\textrm{log}\;16\;+\;^2\textrm{log}\;3&=\;^2\textrm{log}(16×3)\\&=\;^2\textrm{log}\;48\end{align*}$

$2.\;\begin{align*}^3\textrm{log}\;2,25+\;^3\textrm{log}\;4,5+\;^3\textrm{log}\;8&=\;^3\textrm{log}(2,25×4,5×8)\\&=\;^3\textrm{log}\;81\\&=\;^3\textrm{log}\;3^{4}\\&=4\end{align*}$

$\begin{align*}3.\; ^7\textrm{log}\;x\;+\;^7\textrm{log}\;y\;+\;^7\textrm{log}\;z&=\;^7\textrm{log}(x×y×z)\\&=\;^7\textrm{log}(xyz)\end{align*}$

$\begin{align*}4.\;\textrm{log}\frac{3}{5}+\textrm{log}\frac{5}{36}+\textrm{log}12&=\textrm{log}\left(\frac{3}{5}×\frac{5}{36}×12\right)\\&=\textrm{log}\;1\\&=0\end{align*}$

Contoh 2

Diketahui $\textrm{log}\;2=0,3010$, $\textrm{log}\;3=0,4771$, dan $\textrm{log}\;7=0,8451$. Berdasarkan nilai logaritma tersebut, tentukan nilai berikut.

a)  $\textrm{log}\;14$

b)  $\textrm{log}\;42$

Jawab

$\begin{align*}\textrm{a})\;\textrm{log}\;14&=\textrm{log}(2×7)\\&=\textrm{log}\;2+\textrm{log}\;7\\&=0,3010+0,8452\\&=1,1462\end{align*}$

$\begin{align*}\textrm{b})\;\textrm{log}\;42&=\textrm{log}(2×3×7)\\&=\textrm{log}\;2+\textrm{log}\;3+\textrm{log}\;7\\&=0,3010+0,4771+0,8452\\&=1,6232\end{align*}$

Sifat 2. Logaritma Pembagian

Logaritma pembagian dua bilangan sama dengan selisih logaritma dari masing-masing bilangan itu, dan ditulis:

$^g\textrm{log}\left(\frac{a}{b}\right)=\;^g\textrm{log}\;a-\;^g\textrm{log}\;b$

Contoh 1

Sederhanakan bentuk logaritma berikut.

$1.\;^3\textrm{log}\;27\;-\;^3\textrm{log}\;9$

$2.\;^2\textrm{log}\;12\;+\;^2\textrm{log}\;3\;-\;^2\textrm{log}\;9$
$3.\;^2\textrm{log}\;m^{3}\;+\;^2\textrm{log}\;n^{2}\;-\;^2\textrm{log}\;k^{2}\;-\;\textrm{log}\;p^{5}$
$4.\;2\;^a\textrm{log}\sqrt{m}\;-\;3\;^a\textrm{log}\sqrt[3]{n}\;-\;4\;^a\textrm{log}\sqrt{k}$

Jawab
$\begin{align*}1.\;^3\textrm{log}\;27\;-\;^3\textrm{log}\;9&=\;^3\textrm{log}\left(\frac{27}{9}\right)\\&=\;^3\textrm{log}\;3\\&=1\end{align*}$

$\begin{align*}2.\;^2\textrm{log}\;12\;+\;^2\textrm{log}\;3\;-\;^2\textrm{log}\;9&=\;^2\textrm{log}\left(\frac{12×3}{9}\right)\\&=\;^2\textrm{log}\;4\\&=\;^2\textrm{log}\;2^{2}\\&=\;2\end{align*}$

$\begin{align*}3.&\;^2\textrm{log}\;m^{3}\;+\;^2\textrm{log}\;n^{2}\;-\;^2\textrm{log}\;k^{2}\;-\;\textrm{log}\;p^{5}\\&=3\;^2\textrm{log}\;m+4\;^2\textrm{log}\;n+2\;^2\textrm{log}\;k-5\;^2\textrm{log}\;k\\&=(3+4-2-5)\;^2\textrm{log}\left(\frac{m×n}{k×p}\right)\\&=0\end{align*}$

$\begin{align*}4.\;2\;^a\textrm{log}\sqrt{m}\;-\;3\;^a\textrm{log}\sqrt[3]{n}\;-\;4\;^a\textrm{log}\sqrt{k}&=\;^a\textrm{log}\sqrt{m^{2}}-^a\textrm{log}\sqrt[3]{n^{3}}-^a\textrm{log}\sqrt{k^{4}}\\&=\;^a\textrm{log}\;m\;-\;^a\textrm{log}\;n\;-\;^a\textrm{log}\;k^{2}\\&=\;^a\textrm{log}\left(\frac{m}{nk^{2}}\right)\end{align*}$

Sifat 3. Logaritma Perpangkatan
Logaritma suatu bilangan berpangkat sama dengan pangkat dikalikan dengan logaritma bilangan itu, atau bisa ditulis sebagai berikut.

$^g\textrm{log}\;a^n=n.\;^g\textrm{log}\;a$

Contoh 1
Sederhanakan tiap-tiap logaritma berikut.
$1)\;^2\textrm{log}\;27\;+\;^2\textrm{log}\;81$
$2)\;^2\textrm{log}\;48\;-\;^2\textrm{log}\;4\;-\;^2\textrm{log}\;3$
$3)\;^5\textrm{log}\;625\;+\;^25\textrm{log}\;625\;+\;^625\textrm{log}\;625$
Contoh 1
$\begin{align*}1)\;^2\textrm{log}\;27\;+\;^2\textrm{log}\;81 &=\;^2\textrm{log}(27×81)\\&=\;^2\textrm{log}\;2187\\&=\;^2\textrm{log}\;3^{7}\\&=\;7.^2\textrm{log}\;3\end{align*}$
$\begin{align*}2)\;^2\textrm{log}\;48\;-\;^2\textrm{log}\;4\;-\;^2\textrm{log}\;3&=\;^2\textrm{log}\left(\frac{48}{4×3}\right)\\&=\;^2\textrm{log}\;4\\&=\;^2\textrm{log}\;2^{2}\\&=\;2\end{align*}$
$\begin{align*}3)\;^5\textrm{log}\;625\;+\;^25\textrm{log}\;625\;+\;^625\textrm{log}\;625&=\;^5\textrm{log}\;5^{4}\;+\;^25\textrm{log}\;25^{2}\;+\;1\\&=\;5+2+1\\&=\;8\end{align*}$

Contoh 2
Jabarkanlah $\begin{align*}^6\textrm{log}\left(\frac{36m^{3}}{\sqrt{n}}\right)\end{align*}$
Jawab
$\begin{align*}^6\textrm{log}\left(\frac{36m^{3}}{\sqrt{n}}\right)&=\;^6\textrm{log}\;36m^{3}\;-\;^6\textrm{log}\sqrt{n}\\&=\;^6\textrm{log}\;6^{2}\;+\;^6\textrm{log}\;m^{3}\;-\;^6\textrm{log}\;n^{\frac{1}{2}}\\&=\;2+3.\;^6\textrm{log}\;m\;-\;\frac{1}{2}.^6\textrm{log}\;n\end{align*}$

Sifat 4. Mengubah Bilangan Pokok Logaritma
$\begin{align*}☞\;\;\;^g\textrm{log}\;a=\frac{^p\textrm{log}\;a}{^p\textrm{log}\;g}\end{align*}$
$\begin{align*}☞\;\;\;^g\textrm{log}\;a=\frac{1}{^a\textrm{log}\;g}\end{align*}$

Contoh

Jika $^5\textrm{log}\;3=x$ dan $^2\textrm{log}\;5=y$, nyatakan $^{15}\textrm{log}\;20$ dalam $x$ dan $y$.

Jawab

Perhatikan basis-basis logaritma yang diketahui, yaitu masing-masing $5$ dan $2$. Maka, langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengubah salah satu basis logaritma yang diketahui tersebut agar sama dengan basis logaritma yang lainnya.

$\begin{align*}^2\textrm{log}\;5 =y\Rightarrow\;^5\textrm{log}\;2=\frac{1}{y}\end{align*}$

Dengan demikian:

$\begin{align*}^{15}\textrm{log}\;20&=\frac{^5\textrm{log}\;20}{^5\textrm{log}\;15}\\&=\frac{^5\textrm{log}(2^{2}×5}{^5\textrm{log}(3×5)}\\&=\frac{^5\textrm{log}\;2^{2}\;+\;^5\textrm{log}\;5}{^5\textrm{log}\;3\;+\;^5\textrm{log}\;5}\\&=\frac{2×\frac{1}{y}+1}{x+1}\\&=\frac{y+2}{xy+y}\end{align*}$

Sifat 5
$☞\;\;\;^g\textrm{log}\;a\;×\;^a\textrm{log}\;b=\;^g\textrm{log}\;b$
$\begin{align*}☞\;\;^{g^{n}}\textrm{log}\;a^{m}=\frac{m}{n}\end{align*}$
$☞\;\;^{g^{n}}\textrm{log}\;a^{n}=\;^g\textrm{log}\;n$
$☞\;\;g^{^g\textrm{log}\;a}=a$

Contoh Soal

1. Tentukan nilai dari  $^4\textrm{log}\;6\;×\;^7\textrm{log}\;2\;×\;^6\textrm{log}\;7$

2. Tentukan nilai dari $\begin{align*}\frac{^2\textrm{log}\;4\;+\;^2\textrm{log}\;8}{^8\textrm{log}\;32}\end{align*}$

Jawab

1. $\begin{align*}^4\textrm{log}\;6\;×\;^7\textrm{log}\;2\;×\;^6\textrm{log}\;7&=\;^4\textrm{log}\;6\;×\;^6\textrm{log}\;7\;^7\textrm{log}\;2\\&=\;^4\textrm{log}\;7\;×\;^7\textrm{log}\;2\\&=\;^4\textrm{log}\;2\\&=\;^{2^{2}}\textrm{log}\;2\\&=\frac{1}{2}\end{align*}$

2. 
$\begin{align*}\frac{^2\textrm{log}\;4\;+\;^2\textrm{log}\;8}{^8\textrm{log}\;32}&=\frac{^2\textrm{log}\;2^{2}\;+\;^2\textrm{log}\;2^{3}}{^{2^{3}}\textrm{log}\;2^{5}}\\&=\frac{2.^2\textrm{log}\;2\;+\;3.^2\textrm{log}\;2}{\frac{5}{3}.^2\textrm{log}\;2}\\&=\frac{5}{\frac{5}{3}}\\&=\;3\end{align*}$

Jika kalian membutuhkan soal-soal logaritma untuk persiapan menghadapi ulangan, dll, silakan [Download].

Demikianlah penjelasan serta contoh soal terkait sifat-sifat logaritma. Apa bila ditemukan kesalahan jawab atau kesalahan penulisan, mohon untuk segera dikomentari.