Soal dan Pembahasan Untuk Persiapan SBMPTN 2018

Hampir seminggu ini bingung mau menulis apa di blog. Selain karena semangat yang  lagi menurun juga karena lagi kering ide. Ditambah lagi seminggu ini nunggui anak-anak USBN di kelas,suntuk,coba-coba buka laptop,alhamdulillah terbersit dalam pikiran untuk menulia contoh soal dan pembahasan soal-soal selevel soal SBMPTN. Semoga tulisan berikut bermanfaat bagi yang memerlukan.

Nomor 1

Jika $a$ dan $b$ adalah akar-akar dari persamaan $\begin{align*}(3x^{2}+4x-4)^{2x^{2}-x+7}=(3x^{2}+4x-4)^{x^{2}+x+3}\end{align*}$
dengan $a>b$,maka nilai $\log_{4}3a-\log_{8}(-b)$ adalah ....
A. $\begin{align*}\frac{3}{2}\end{align*}$
B. $\begin{align*}2\end{align*}$
C. $\begin{align*}\frac{1}{7}\end{align*}$
D. $\begin{align*}\frac{1}{6}\end{align*}$
E.  $\begin{align*}\frac{1}{5}\end{align*}$

Pembahasan
Kita tahu bahwa $2x^{2}-2x+7$ dan $x^{2}+x+3$ akan selalu definit positif untuk setiap $x$ himpunan bilangan real.
Sehingga persamaan eksponen pada soal memenuhi bentuk: $h(x)^{f(x)}=h(x)^{g(x)}$,dengan $f(x)>0$ dan $g(x)>0$ maka $h(x)=0$.
$\begin{align*}3x^{2}+4x-4&=0\\(3x-2)(x+2)&=0\end{align*}$
$\begin{align*}x=\frac{2}{3}\end{align*}$atau $x=-2$.
Jadi,$\begin{align*}a=\frac{2}{3}\end{align*}$ dan $b= -2$.
Dengan demikian, kita peroleh:
$\begin{align*}\log_{4}3a-\log_{8}(-b)&=\frac{1}{2}\log_{2}\left(3\times \frac{2}{3}\right)-\frac{1}{3}\log_{2}(2)\\&=\frac{1}{2}\log_{2}2-\frac{1}{3}\log_{2}2\\&=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\\&=\frac{1}{6}\end{align*}$

Nomor 2

Jika garis singgung parabola $y=4x - x^{2}$ di titik $(1,3)$ juga merupakan garis singgung parabola $y=x^{2}-6x+k$,maka nilai dari $10-\sqrt{k-1}$ adalah ....
A. $\begin{align*}2\end{align*}$
B. $\begin{align*}3\end{align*}$
C. $\begin{align*}4\end{align*}$
D. $\begin{align*}5\end{align*}$
E.  $\begin{align*}6\end{align*}$
Pembahasan
Langkah pertama adalah mencari persamaan garis singgung kedua parabola yang mana garis singgung kedua parabola adalah sama.
$m=y'\rightarrow m=4-2x$.
Untuk $x=1$ maka $m=4-2(1)=2$
Sehingga persamaan garis singgungnya:
$\begin{align*}y-b&=m(x-a)\\y-3&=2(x-1)\\y-3&=2x-2\\y&=2x+1\end{align*}$
Oleh karena PGS kedua parabola sama,maka:
$\begin{align*}y_{1}&=y_{2}\\ x^{2}-6x+k&=2x+1\\ x^{2}-8x+k-1&=0\\ \end{align*}$ 

Karena menyinggung maka $D=0$, sehingga diperoleh nilai $k$ sebagai berikut.

$\begin{align*} D&=0\\ b^{2}-4ac&=0\\ (-8)^{2}-4(1)(k-1)&=0\\ 64-4k+4&=0\\ -4k&=-68\\ k&=17 \end{align*}$

Jadi,
$\begin{align*} 10-\sqrt{k-1}&=10-\sqrt{17-1}\\&=10-4\\&=6 \end{align*}$

Nomor 3

Diketahui sisa pembagian suku banyak $f(x)-g(x)$ oleh $x^{2}+x-2$ adalah $x$.Jika sisa pembagian suku banyak $f(x)+g(x)$ oleh $x^{2}-3x+2$ adalah $x+1$,maka sisa pembagian $f^{2}(x)+g^{2}(x)$ oleh $x-1$ adalah ....

A. $4$
B. $1$
C. $\begin{align*}\frac{1}{4}\end{align*}$ 
D. $\begin{align*}\frac{5}{4}\end{align*}$
E. $\begin{align*}\frac{5}{2}\end{align*}$  
Pembahasan

$f(x)-g(x)$ dibagi $x^{2}+x-2$ memberi sisa $x$

$x^{2}+x-2=(x+2)(x-1)$ maka $x=-2$ atau $x=1$.

$\begin{align*} \textrm{untuk}\;x&=1\;\;\;\rightarrow\;\;\;\;\;\; f(1)-g(1)=1\;\;\;\;\;\;\;....(1)\\ \textrm{untuk}\;x&=-2\rightarrow f(-2)-g(-2)=-2\;\;\;\;\;....(2) \end{align*}$

$f(x)+g(x)$ dibagi $x^{2}-3x+2$ memberi sisa $x+14$.

$x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)$ maka $x=1$ atau $x=2$

$\begin{align*} \textrm{Untuk}\;x&=1\rightarrow f(1)+g(1)=2\;\;\;\;....(3)\\ \textrm{Untuk}\;x&=2\rightarrow f(2)+g(2)=3\;\;\;\;....(4) \end{align*}$

Jika $f^{2}(x)+g^{2}(x)$ dibagi $x-1$,maka sisanya $f^{2}(1)+g^{2}(1)$.

Dari persamaan $(1)$ dan $(3)$, diperoleh:

$\begin{align*} f(1)-g(1)&=1\\ (f(1)-g(1))^{2}&=1^{2}\\ f^{2}(1)-2f(1).g(1)+g^{2}(1)&=1\;\;\;\;\;...(5)\\ f(1)+g(1)&=2\\ (f(1)+g(1))^{2}&=2^{2}\\ f^{2}(1)+2f(1).g(1)+g^{2}(1)&=4\;\;\;\;\;...(6)\\ \end{align*}$

Jumlahkan persamaan $(5)$ dan persamaan $(6)$ diperoleh:

$\begin{align*} 2f^{2}(1)+2g^{2}(1)&=5\\ f^{2}(1)+g^{2}(1)&=\frac{5}{2} \end{align*}$  

Nomor 4

Jika $m$ dan $n$ adalah bilangan-bilangan real dan fungsi $f(x)=nx^{10}-3x^{8}-mx^{5}+20$ memenuhi $f'(1)=f'(-1)=3$, maka nilai $40m-60n$ adalah ....

A. $156$

B. $144$

C. $10$

D. $-20$

E. $-156$

Pembahasan
$\begin{align*} f(x)&=nx^{10}-3x^{8}-mx^{5}+20\\ f'(x)&=10nx^{9}-24x^{7}-5mx^{4}\\ \end{align*}$ 

Kita tahu bahwa $f(1)=f(-1)=3$, maka diperoleh:

$\begin{align*} f'(1)&=3\\ 10n(1)^{9}-24(1)^{7}-5m(1)^{4}&=3\\ 10n-24-5m&=3\\ 10n-5m&=27\;\;\;\;\;\;.....(1)\\ f(-1)&=3\\ 10n(-1)^{9}-24(-1)^{7}-5m(-1)^{4}&=3\\ -10n+24-5m&=3\\ -10n-5m&=-21\\ 10n+5m&=21\;\;\;\;\;\;.....(2) \end{align*}$ 

Eliminasi kedua persamaan maka diperoleh nilai $\begin{align*} m=-\frac{3}{10} \end{align*}$  dan $\begin{align*} n=-\frac{48}{20} \end{align*}$.

Jadi, 

$\begin{align*} 40m-60n&=40\left ( -\frac{3}{10} \right )-60\left ( \frac{48}{20} \right )\\ &=-12-144\\ &=-156 \end{align*}$

Soal 5

Jika $m$ merupakan bilangan real positif, serta $3m+6,4m-2$, dan $m+1$ adalah berturut-turut suku ke-$10$, ke-$11$, dan ke-$12$ suatu barisn geometri,maka jumlah suku-$8$ dan ke-$9$ adalah ....
A. $48$
B. $54$
C. $72$

Baca Juga

D. $144$
E. $168$

Pembahasan
Barisan Geometri, berlaku sifat:
$\begin{align*}\frac{U_{2}}{U_{1}}&=\frac{U_{3}}{U_{2}}\\U_{2}^{2}&=U_{1}\times U_{3}\\(4m-2)^{2}&=(3m+6)(m+1)\\16m^{2}-16m+4&=3m^{2}+9m+6\\13m^{2}-25m-2&=0\\(m-2)(13m+1)&=0\\m=-\frac{1}{13}\;\; V\;\; m&=2\end{align*}$
Oleh karena $m$ bilangan real positif maka nilai $m=2$ yang memenuhi.

Rasio Barisan Geometri tersebut sebagai berikut.
$\begin{align*}r&=\frac{U_{2}}{U_{1}}\\&=\frac{4m-2}{3m+6}\\&=\frac{4.2-2}{3.2+6}\\&=\frac{1}{2}\end{align*}$

Suku Pertama $a$
$\begin{align*}U_10&=12\\ar^{9}&=12\\a\left(\frac{1}{2}\right)&=12\\a&= 6144\end{align*}$

Jumlah $U_{8}$ dan $U_{9}
$\begin{align*}U_{8}+U_{9}&=ar^{7}+ar^{8}\\&=ar^{7}(1+r)\\&=6144\left(\frac{1}{2}\right)^{7}\left(1+\frac{1}{2}\right)\\&=144\end{align*}$

Soal 6

Jika $\begin{align*} p=\left ( \frac{13}{21},\frac{26}{21},\frac{52}{21} \right ) \end{align*}$ adalah vektor proyeksi $\begin{align*} \overrightarrow{OB} \end{align*}$ pada $\begin{align*} \overrightarrow{OA} \end{align*}$, dimana $A(1,2,2)$ dan $(1,t,t^{2})$ dimana $t>0$, maka nilai dari $t^{3}-1$ adalah ....

(a) $13$

(b) $26$

(c) $-3$

(d) $2$

(e) $57$

Pembahasan

$\begin{align*} \overrightarrow{p}&=\frac{\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}}{\left | \overrightarrow{OB} \right |^{2}}.\overrightarrow{OB}\\ \left ( \frac{13}{21},\frac{26}{21},\frac{52}{21} \right )&=\frac{(1,2,2)(1,t,t^{2})}{\sqrt{(1^{2}+t^{2}+(t^{2})^{2}})^{2}}.(1,t,t^{2})\\ \left ( \frac{13}{21},\frac{26}{21},\frac{52}{21} \right )&=\frac{1+2t+2t^{2}}{1+t^{2}+t^{4}}.(1,t,t^{2})\\ \end{align*}$

Dengan memanfaatkan kesamaan kita peroleh persamaan berikut:
$\begin{align*} 13&=(1+2t+2t^{2})1\\ 13&=1+2t+2t^{2}\\ 0&=2t^{2}+2t-12\\ 0&=t^{2}+t-6\\ 0&=(t-2)(t+3)\\ t&=2\;\;\textrm{atau}\;\;t=-3 \end{align*}$
Oleh karena $t>0$, maka nilai $t$ yang memenuhi adalah $t=3$, dengan demikian nilai dari $\begin{align*} t^{3}-1=3^{3}-1=26 \end{align*}$ .

Soal 7

Diketahui $f(x)=x^{2017}+x^{2016}+...+x^{2}+x$, $\begin{align*} A=\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align*}$, dan $\begin{align*} f(A)=\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \end{align*}$. Nilai dari $a+b+c-d=....$

(a) $3\times 2018\times 2017$
(b) $5\times 2014\times 2016$
(c) $4\times 2015\times 2017$
(d) $3\times 2016\times 2018$
(e) $2\times 2017\times 2019$   

Pembahasan

Pada kasus ini, kita diberikan fungsi $f$, yaitu:
$f(x)=x^{2017}+x^{2016}+...+x^{2}+x$
Substitusi $x=A$ ke $f$ kita peroleh fungsi $f$ dalam variabel $A$ sebagai berikut.
$f(A)=A^{2017}+A^{2016}+...+A^{2}+x$
dimana $A$ adalah suatu matrik dan$\begin{align*} f(A)=\begin{bmatrix} a &c \\ b& d \end{bmatrix} \end{align*}$
Kita butuh triks khusus untuk menyelesaikan kasus ini. Perhatikan
$\begin{align*} A^{{\color{Red} 2}}&=A.A=\begin{bmatrix} 1&4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &{\color{Red} 2}.4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\\ A^{{\color{Red} 3}}&=A^{2}A=\begin{bmatrix} 1 &2.4 \\ 0&1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 1 &4 \\ 0& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &{\color{Red} 3}.4 \\ 0& 1 \end{bmatrix}\\ .\\ .\\ .\\ A^{{\color{Red} 2}{\color{Red} 0}{\color{Red} 1}{\color{Red} 7}}&=\begin{bmatrix} 1 & {\color{Red} 2}{\color{Red} 0}{\color{Red} 1}{\color{Red} 7}.4\\ 0& 1 \end{bmatrix} \end{align*}$  

Dengan demikian:

$\begin{align*} f(A)&=\begin{bmatrix} a & c\\ b&d \end{bmatrix}\\ A^{2017}+A^{2016}+...+x^{2}+x&=\begin{bmatrix} a & c\\ b&d \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} 1 & 2017.4\\ 0&1 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 1 & 2016.4\\ 0&1 \end{bmatrix}+...+\begin{bmatrix} 1 & 2.4\\ 0&1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 0&1 \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} a & c\\ b&d \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} 2017 &4(1+2+...+2016+2017) \\ 0&2017 \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} a & c\\ b&d \end{bmatrix} \end{align*}$

Berdasarkan kesamaan matriks, maka diperoleh: $\begin{align*} a=2017,\;b=0,\;c=2\times207\times 2019,\;\;\textrm{dan}\;\;d=2017 \end{align*}$.

Jadi, 

$\begin{align*} a+b+c-d&=2017+0+(2\times2017\times 2019)-2017\\ &=2\times2017\times 2019 \end{align*}$

Soal 8

Jika $b,c\neq 0$ dan $\begin{align*} \lim_{x\rightarrow a}\frac{\textrm{sin}(6x-6a)\textrm{tan}b(x-a)}{\textrm{cos}c(x-a)-1}=d \end{align*}$, maka nilai $b=....$

$\begin{align*} &\textrm{A}. \;b=-\frac{1}{2}dc^{2}\\ &\textrm{B}. \;b=-\frac{1}{12}dc^{2}\\ &\textrm{C}. \;b=-\frac{1}{6}dc^{2}\\ &\textrm{D}. \;b=6dc^{2}\\ &\textrm{E}. \;b=12dc^{2} \end{align*}$

Pembahasan

$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow a}\frac{\textrm{sin}(6x-6a)\textrm{tan}b(x-a)}{\textrm{cos}c(x-a)-1}&=d\\ \lim_{x\rightarrow a}\frac{\textrm{sin}(6x-6a)\textrm{tan}b(x-a)}{-(1-cosc(x-a))}&=d\\ \lim_{x\rightarrow a}\frac{6(x-a)b(x-a)}{-\left ( \frac{1}{2}c^{2}(x-a)^{2} \right )}&=d\\ \frac{6b}{-\frac{1}{2}}c^{2}&=d\\ b&=-\frac{1}{2}dc^{2} \end{align*}$

Soal 9

Terdapat 7 kartu identik yang sisi depannya bergambar $King$ dan gambar sisi belakangnya $Queen$. Jika 7 kartu tersebut dilempar ke atas secara bersamaan dan jatuh ke tanah, maka peluang muncul maksimal $4$ gambar $Queen$ adalah ....
A. $\begin{align*}\frac{91}{128}\end{align*}$
B. $\begin{align*}\frac{63}{128}\end{align*}$
C. $\begin{align*}\frac{64}{128}\end{align*}$
D. $\begin{align*}\frac{99}{128}\end{align*}$
E. $ $$\begin{align*}\frac{100}{128}\end{align*}$$ $

Pembahasan

Banyak rung sampel $n(S)=2^{7}=128$

Oleh karena maksimal muncul $4Q$, maka kemungkinan-kemungkinannya yaitu:

• $4Q\;3K\rightarrow \frac{7!}{4!3!}=35$
• $3Q\;4K\rightarrow \frac{7!}{3!4!}=35$
• $2Q\;5K\rightarrow \frac{7!}{2!5!}=21$
• $1Q\;6K\rightarrow \frac{7!}{1!6!}=7$
• $0Q\;7K\rightarrow \frac{7!}{7!}=1$

$n(A)=35+35+21+7+1=99$

Jadi, $\begin{align*} P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{99}{128} \end{align*}$

Apabila dalam tulisan ini ditemukan kesalahan baik itu tulisan atau pun pembahasannya,mohon segera dikomentari di kolom komentar di bawah atau pembaca bisa hubungi penulis melalui e-mail:yanfardian875@gmail.com atau fb: Yan Fardian.