Hampir seminggu ini bingung mau menulis apa di blog. Selain karena semangat yang lagi menurun juga karena lagi kering ide. Ditambah lagi seminggu ini nunggui anak-anak USBN di kelas,suntuk,coba-coba buka laptop,alhamdulillah terbersit dalam pikiran untuk menulia contoh soal dan pembahasan soal-soal selevel soal SBMPTN. Semoga tulisan berikut bermanfaat bagi yang memerlukan.
Nomor 1
Jika $a$ dan $b$ adalah akar-akar dari persamaan $\begin{align*}(3x^{2}+4x-4)^{2x^{2}-x+7}=(3x^{2}+4x-4)^{x^{2}+x+3}\end{align*}$
dengan $a>b$,maka nilai $\log_{4}3a-\log_{8}(-b)$ adalah ....
A. $\begin{align*}\frac{3}{2}\end{align*}$
B. $\begin{align*}2\end{align*}$
C. $\begin{align*}\frac{1}{7}\end{align*}$
D. $\begin{align*}\frac{1}{6}\end{align*}$
E. $\begin{align*}\frac{1}{5}\end{align*}$
Pembahasan
Kita tahu bahwa $2x^{2}-2x+7$ dan $x^{2}+x+3$ akan selalu definit positif untuk setiap $x$ himpunan bilangan real.
Sehingga persamaan eksponen pada soal memenuhi bentuk: $h(x)^{f(x)}=h(x)^{g(x)}$,dengan $f(x)>0$ dan $g(x)>0$ maka $h(x)=0$.
$\begin{align*}3x^{2}+4x-4&=0\\(3x-2)(x+2)&=0\end{align*}$
$\begin{align*}x=\frac{2}{3}\end{align*} $atau $x=-2$.
Jadi,$\begin{align*}a=\frac{2}{3}\end{align*}$ dan $b= -2$.
Dengan demikian, kita peroleh:
$\begin{align*}\log_{4}3a-\log_{8}(-b)&=\frac{1}{2}\log_{2}\left(3\times \frac{2}{3}\right)-\frac{1}{3}\log_{2}(2)\\&=\frac{1}{2}\log_{2}2-\frac{1}{3}\log_{2}2\\&=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\\&=\frac{1}{6}\end{align*}$
dengan $a>b$,maka nilai $\log_{4}3a-\log_{8}(-b)$ adalah ....
A. $\begin{align*}\frac{3}{2}\end{align*}$
B. $\begin{align*}2\end{align*}$
C. $\begin{align*}\frac{1}{7}\end{align*}$
D. $\begin{align*}\frac{1}{6}\end{align*}$
E. $\begin{align*}\frac{1}{5}\end{align*}$
Pembahasan
Kita tahu bahwa $2x^{2}-2x+7$ dan $x^{2}+x+3$ akan selalu definit positif untuk setiap $x$ himpunan bilangan real.
Sehingga persamaan eksponen pada soal memenuhi bentuk: $h(x)^{f(x)}=h(x)^{g(x)}$,dengan $f(x)>0$ dan $g(x)>0$ maka $h(x)=0$.
$\begin{align*}3x^{2}+4x-4&=0\\(3x-2)(x+2)&=0\end{align*}$
$\begin{align*}x=\frac{2}{3}\end{align*} $atau $x=-2$.
Jadi,$\begin{align*}a=\frac{2}{3}\end{align*}$ dan $b= -2$.
Dengan demikian, kita peroleh:
$\begin{align*}\log_{4}3a-\log_{8}(-b)&=\frac{1}{2}\log_{2}\left(3\times \frac{2}{3}\right)-\frac{1}{3}\log_{2}(2)\\&=\frac{1}{2}\log_{2}2-\frac{1}{3}\log_{2}2\\&=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\\&=\frac{1}{6}\end{align*}$
Nomor 2
Jika garis singgung parabola $y=4x - x^{2}$ di titik $(1,3)$ juga merupakan garis singgung parabola $y=x^{2}-6x+k$,maka nilai dari $10-\sqrt{k-1}$ adalah ....
A. $\begin{align*}2\end{align*}$
B. $\begin{align*}3\end{align*}$
C. $\begin{align*}4\end{align*}$
D. $\begin{align*}5\end{align*}$
E. $\begin{align*}6\end{align*}$
Pembahasan
Langkah pertama adalah mencari persamaan garis singgung kedua parabola yang mana garis singgung kedua parabola adalah sama.
$m=y'\rightarrow m=4-2x$.
Untuk $x=1$ maka $m=4-2(1)=2$
Sehingga persamaan garis singgungnya:
$\begin{align*}y-b&=m(x-a)\\y-3&=2(x-1)\\y-3&=2x-2\\y&=2x+1\end{align*}$
Oleh karena PGS kedua parabola sama,maka:
$\begin{align*}y_{1}&=y_{2}\\ x^{2}-6x+k&=2x+1\\ x^{2}-8x+k-1&=0\\ \end{align*}$
A. $\begin{align*}2\end{align*}$
B. $\begin{align*}3\end{align*}$
C. $\begin{align*}4\end{align*}$
D. $\begin{align*}5\end{align*}$
E. $\begin{align*}6\end{align*}$
Pembahasan
Langkah pertama adalah mencari persamaan garis singgung kedua parabola yang mana garis singgung kedua parabola adalah sama.
$m=y'\rightarrow m=4-2x$.
Untuk $x=1$ maka $m=4-2(1)=2$
Sehingga persamaan garis singgungnya:
$\begin{align*}y-b&=m(x-a)\\y-3&=2(x-1)\\y-3&=2x-2\\y&=2x+1\end{align*}$
Oleh karena PGS kedua parabola sama,maka:
$\begin{align*}y_{1}&=y_{2}\\ x^{2}-6x+k&=2x+1\\ x^{2}-8x+k-1&=0\\ \end{align*}$
Karena menyinggung maka $D=0$, sehingga diperoleh nilai $k$ sebagai berikut.
$\begin{align*} D&=0\\ b^{2}-4ac&=0\\ (-8)^{2}-4(1)(k-1)&=0\\ 64-4k+4&=0\\ -4k&=-68\\ k&=17 \end{align*}$
Jadi,$\begin{align*} 10-\sqrt{k-1}&=10-\sqrt{17-1}\\&=10-4\\&=6 \end{align*}$
Nomor 3
Diketahui sisa pembagian suku banyak $f(x)-g(x)$ oleh $x^{2}+x-2$ adalah $x$.Jika sisa pembagian suku banyak $f(x)+g(x)$ oleh $x^{2}-3x+2$ adalah $x+1$,maka sisa pembagian $f^{2}(x)+g^{2}(x)$ oleh $x-1$ adalah ....
A. $4$
B. $1$
C. $\begin{align*}\frac{1}{4}\end{align*}$
D. $\begin{align*}\frac{5}{4}\end{align*}$
E. $\begin{align*}\frac{5}{2}\end{align*}$
Pembahasan
$f(x)-g(x)$ dibagi $x^{2}+x-2$ memberi sisa $x$
$x^{2}+x-2=(x+2)(x-1)$ maka $x=-2$ atau $x=1$.
$\begin{align*} \textrm{untuk}\;x&=1\;\;\;\rightarrow\;\;\;\;\;\; f(1)-g(1)=1\;\;\;\;\;\;\;....(1)\\ \textrm{untuk}\;x&=-2\rightarrow f(-2)-g(-2)=-2\;\;\;\;\;....(2) \end{align*}$
$f(x)+g(x)$ dibagi $x^{2}-3x+2$ memberi sisa $x+14$.
$x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)$ maka $x=1$ atau $x=2$
$\begin{align*} \textrm{Untuk}\;x&=1\rightarrow f(1)+g(1)=2\;\;\;\;....(3)\\ \textrm{Untuk}\;x&=2\rightarrow f(2)+g(2)=3\;\;\;\;....(4) \end{align*}$
Jika $f^{2}(x)+g^{2}(x)$ dibagi $x-1$,maka sisanya $f^{2}(1)+g^{2}(1)$.
Dari persamaan $(1)$ dan $(3)$, diperoleh:
$\begin{align*} f(1)-g(1)&=1\\ (f(1)-g(1))^{2}&=1^{2}\\ f^{2}(1)-2f(1).g(1)+g^{2}(1)&=1\;\;\;\;\;...(5)\\ f(1)+g(1)&=2\\ (f(1)+g(1))^{2}&=2^{2}\\ f^{2}(1)+2f(1).g(1)+g^{2}(1)&=4\;\;\;\;\;...(6)\\ \end{align*}$
Jumlahkan persamaan $(5)$ dan persamaan $(6)$ diperoleh:
$\begin{align*} 2f^{2}(1)+2g^{2}(1)&=5\\ f^{2}(1)+g^{2}(1)&=\frac{5}{2} \end{align*}$
Nomor 4
Jika $m$ dan $n$ adalah bilangan-bilangan real dan fungsi $f(x)=nx^{10}-3x^{8}-mx^{5}+20$ memenuhi $f'(1)=f'(-1)=3$, maka nilai $40m-60n$ adalah ....
A. $156$
B. $144$
C. $10$
D. $-20$
E. $-156$
Pembahasan
$\begin{align*} f(x)&=nx^{10}-3x^{8}-mx^{5}+20\\ f'(x)&=10nx^{9}-24x^{7}-5mx^{4}\\ \end{align*}$
Pembahasan
$\begin{align*} f(x)&=nx^{10}-3x^{8}-mx^{5}+20\\ f'(x)&=10nx^{9}-24x^{7}-5mx^{4}\\ \end{align*}$
Kita tahu bahwa $f(1)=f(-1)=3$, maka diperoleh:
$\begin{align*} f'(1)&=3\\ 10n(1)^{9}-24(1)^{7}-5m(1)^{4}&=3\\ 10n-24-5m&=3\\ 10n-5m&=27\;\;\;\;\;\;.....(1)\\ f(-1)&=3\\ 10n(-1)^{9}-24(-1)^{7}-5m(-1)^{4}&=3\\ -10n+24-5m&=3\\ -10n-5m&=-21\\ 10n+5m&=21\;\;\;\;\;\;.....(2) \end{align*}$
Eliminasi kedua persamaan maka diperoleh nilai $\begin{align*} m=-\frac{3}{10} \end{align*}$ dan $\begin{align*} n=-\frac{48}{20} \end{align*}$.
Jadi,
$\begin{align*} 40m-60n&=40\left ( -\frac{3}{10} \right )-60\left ( \frac{48}{20} \right )\\ &=-12-144\\ &=-156 \end{align*}$
Soal 5
Jika $m$ merupakan bilangan real positif, serta $3m+6,4m-2$, dan $m+1$ adalah berturut-turut suku ke-$10$, ke-$11$, dan ke-$12$ suatu barisn geometri,maka jumlah suku-$8$ dan ke-$9$ adalah ....
A. $48$
B. $54$
C. $72$
D. $144$
E. $168$
Pembahasan
Barisan Geometri, berlaku sifat:
$\begin{align*}\frac{U_{2}}{U_{1}}&=\frac{U_{3}}{U_{2}}\\U_{2}^{2}&=U_{1}\times U_{3}\\(4m-2)^{2}&=(3m+6)(m+1)\\16m^{2}-16m+4&=3m^{2}+9m+6\\13m^{2}-25m-2&=0\\(m-2)(13m+1)&=0\\m=-\frac{1}{13}\;\; V\;\; m&=2\end{align*}$
Oleh karena $m$ bilangan real positif maka nilai $m=2$ yang memenuhi.
Rasio Barisan Geometri tersebut sebagai berikut.
$\begin{align*}r&=\frac{U_{2}}{U_{1}}\\&=\frac{4m-2}{3m+6}\\&=\frac{4.2-2}{3.2+6}\\&=\frac{1}{2}\end{align*}$
Suku Pertama $a$
$\begin{align*}U_10&=12\\ar^{9}&=12\\a\left(\frac{1}{2}\right)&=12\\a&= 6144\end{align*}$
Jumlah $U_{8}$ dan $U_{9}
$\begin{align*}U_{8}+U_{9}&=ar^{7}+ar^{8}\\&=ar^{7}(1+r)\\&=6144\left(\frac{1}{2}\right)^{7}\left(1+\frac{1}{2}\right)\\&=144\end{align*}$
A. $48$
B. $54$
C. $72$
D. $144$
E. $168$
Pembahasan
Barisan Geometri, berlaku sifat:
$\begin{align*}\frac{U_{2}}{U_{1}}&=\frac{U_{3}}{U_{2}}\\U_{2}^{2}&=U_{1}\times U_{3}\\(4m-2)^{2}&=(3m+6)(m+1)\\16m^{2}-16m+4&=3m^{2}+9m+6\\13m^{2}-25m-2&=0\\(m-2)(13m+1)&=0\\m=-\frac{1}{13}\;\; V\;\; m&=2\end{align*}$
Oleh karena $m$ bilangan real positif maka nilai $m=2$ yang memenuhi.
Rasio Barisan Geometri tersebut sebagai berikut.
$\begin{align*}r&=\frac{U_{2}}{U_{1}}\\&=\frac{4m-2}{3m+6}\\&=\frac{4.2-2}{3.2+6}\\&=\frac{1}{2}\end{align*}$
Suku Pertama $a$
$\begin{align*}U_10&=12\\ar^{9}&=12\\a\left(\frac{1}{2}\right)&=12\\a&= 6144\end{align*}$
Jumlah $U_{8}$ dan $U_{9}
$\begin{align*}U_{8}+U_{9}&=ar^{7}+ar^{8}\\&=ar^{7}(1+r)\\&=6144\left(\frac{1}{2}\right)^{7}\left(1+\frac{1}{2}\right)\\&=144\end{align*}$
Soal 6
Jika $\begin{align*} p=\left ( \frac{13}{21},\frac{26}{21},\frac{52}{21} \right ) \end{align*}$ adalah vektor proyeksi $\begin{align*} \overrightarrow{OB} \end{align*}$ pada $\begin{align*} \overrightarrow{OA} \end{align*}$, dimana $A(1,2,2)$ dan $(1,t,t^{2})$ dimana $t>0$, maka nilai dari $t^{3}-1$ adalah ....
(a) $13$
(b) $26$
(c) $-3$
(d) $2$
(e) $57$
Pembahasan
$\begin{align*} \overrightarrow{p}&=\frac{\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}}{\left | \overrightarrow{OB} \right |^{2}}.\overrightarrow{OB}\\ \left ( \frac{13}{21},\frac{26}{21},\frac{52}{21} \right )&=\frac{(1,2,2)(1,t,t^{2})}{\sqrt{(1^{2}+t^{2}+(t^{2})^{2}})^{2}}.(1,t,t^{2})\\ \left ( \frac{13}{21},\frac{26}{21},\frac{52}{21} \right )&=\frac{1+2t+2t^{2}}{1+t^{2}+t^{4}}.(1,t,t^{2})\\ \end{align*}$
Dengan memanfaatkan kesamaan kita peroleh persamaan berikut:
$\begin{align*} 13&=(1+2t+2t^{2})1\\ 13&=1+2t+2t^{2}\\ 0&=2t^{2}+2t-12\\ 0&=t^{2}+t-6\\ 0&=(t-2)(t+3)\\ t&=2\;\;\textrm{atau}\;\;t=-3 \end{align*}$
Oleh karena $t>0$, maka nilai $t$ yang memenuhi adalah $t=3$, dengan demikian nilai dari $\begin{align*} t^{3}-1=3^{3}-1=26 \end{align*}$ .
$\begin{align*} 13&=(1+2t+2t^{2})1\\ 13&=1+2t+2t^{2}\\ 0&=2t^{2}+2t-12\\ 0&=t^{2}+t-6\\ 0&=(t-2)(t+3)\\ t&=2\;\;\textrm{atau}\;\;t=-3 \end{align*}$
Oleh karena $t>0$, maka nilai $t$ yang memenuhi adalah $t=3$, dengan demikian nilai dari $\begin{align*} t^{3}-1=3^{3}-1=26 \end{align*}$ .
Soal 7
Diketahui $f(x)=x^{2017}+x^{2016}+...+x^{2}+x$, $\begin{align*} A=\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align*}$, dan $\begin{align*} f(A)=\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \end{align*}$. Nilai dari $a+b+c-d=....$
(a) $3\times 2018\times 2017$
(b) $5\times 2014\times 2016$
(c) $4\times 2015\times 2017$
(d) $3\times 2016\times 2018$
(e) $2\times 2017\times 2019$
(b) $5\times 2014\times 2016$
(c) $4\times 2015\times 2017$
(d) $3\times 2016\times 2018$
(e) $2\times 2017\times 2019$
Pembahasan
Pada kasus ini, kita diberikan fungsi $f$, yaitu:
$f(x)=x^{2017}+x^{2016}+...+x^{2}+x$
Substitusi $x=A$ ke $f$ kita peroleh fungsi $f$ dalam variabel $A$ sebagai berikut.
$f(A)=A^{2017}+A^{2016}+...+A^{2}+x$
dimana $A$ adalah suatu matrik dan$\begin{align*} f(A)=\begin{bmatrix} a &c \\ b& d \end{bmatrix} \end{align*}$
Kita butuh triks khusus untuk menyelesaikan kasus ini. Perhatikan
$\begin{align*} A^{{\color{Red} 2}}&=A.A=\begin{bmatrix} 1&4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &{\color{Red} 2}.4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\\ A^{{\color{Red} 3}}&=A^{2}A=\begin{bmatrix} 1 &2.4 \\ 0&1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 1 &4 \\ 0& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &{\color{Red} 3}.4 \\ 0& 1 \end{bmatrix}\\ .\\ .\\ .\\ A^{{\color{Red} 2}{\color{Red} 0}{\color{Red} 1}{\color{Red} 7}}&=\begin{bmatrix} 1 & {\color{Red} 2}{\color{Red} 0}{\color{Red} 1}{\color{Red} 7}.4\\ 0& 1 \end{bmatrix} \end{align*}$
$f(x)=x^{2017}+x^{2016}+...+x^{2}+x$
Substitusi $x=A$ ke $f$ kita peroleh fungsi $f$ dalam variabel $A$ sebagai berikut.
$f(A)=A^{2017}+A^{2016}+...+A^{2}+x$
dimana $A$ adalah suatu matrik dan$\begin{align*} f(A)=\begin{bmatrix} a &c \\ b& d \end{bmatrix} \end{align*}$
Kita butuh triks khusus untuk menyelesaikan kasus ini. Perhatikan
$\begin{align*} A^{{\color{Red} 2}}&=A.A=\begin{bmatrix} 1&4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 0&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &{\color{Red} 2}.4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\\ A^{{\color{Red} 3}}&=A^{2}A=\begin{bmatrix} 1 &2.4 \\ 0&1 \end{bmatrix}.\begin{bmatrix} 1 &4 \\ 0& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &{\color{Red} 3}.4 \\ 0& 1 \end{bmatrix}\\ .\\ .\\ .\\ A^{{\color{Red} 2}{\color{Red} 0}{\color{Red} 1}{\color{Red} 7}}&=\begin{bmatrix} 1 & {\color{Red} 2}{\color{Red} 0}{\color{Red} 1}{\color{Red} 7}.4\\ 0& 1 \end{bmatrix} \end{align*}$
Dengan demikian:
$\begin{align*} f(A)&=\begin{bmatrix} a & c\\ b&d \end{bmatrix}\\ A^{2017}+A^{2016}+...+x^{2}+x&=\begin{bmatrix} a & c\\ b&d \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} 1 & 2017.4\\ 0&1 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 1 & 2016.4\\ 0&1 \end{bmatrix}+...+\begin{bmatrix} 1 & 2.4\\ 0&1 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 0&1 \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} a & c\\ b&d \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} 2017 &4(1+2+...+2016+2017) \\ 0&2017 \end{bmatrix}&=\begin{bmatrix} a & c\\ b&d \end{bmatrix} \end{align*}$
Berdasarkan kesamaan matriks, maka diperoleh: $\begin{align*} a=2017,\;b=0,\;c=2\times207\times 2019,\;\;\textrm{dan}\;\;d=2017 \end{align*}$.
Jadi,
$\begin{align*} a+b+c-d&=2017+0+(2\times2017\times 2019)-2017\\ &=2\times2017\times 2019 \end{align*}$
Soal 8
Jika $b,c\neq 0$ dan $\begin{align*} \lim_{x\rightarrow a}\frac{\textrm{sin}(6x-6a)\textrm{tan}b(x-a)}{\textrm{cos}c(x-a)-1}=d \end{align*}$, maka nilai $b=....$
$\begin{align*} &\textrm{A}. \;b=-\frac{1}{2}dc^{2}\\ &\textrm{B}. \;b=-\frac{1}{12}dc^{2}\\ &\textrm{C}. \;b=-\frac{1}{6}dc^{2}\\ &\textrm{D}. \;b=6dc^{2}\\ &\textrm{E}. \;b=12dc^{2} \end{align*}$
Pembahasan
$\begin{align*} \lim_{x\rightarrow a}\frac{\textrm{sin}(6x-6a)\textrm{tan}b(x-a)}{\textrm{cos}c(x-a)-1}&=d\\ \lim_{x\rightarrow a}\frac{\textrm{sin}(6x-6a)\textrm{tan}b(x-a)}{-(1-cosc(x-a))}&=d\\ \lim_{x\rightarrow a}\frac{6(x-a)b(x-a)}{-\left ( \frac{1}{2}c^{2}(x-a)^{2} \right )}&=d\\ \frac{6b}{-\frac{1}{2}}c^{2}&=d\\ b&=-\frac{1}{2}dc^{2} \end{align*}$
Soal 9
Terdapat 7 kartu identik yang sisi depannya bergambar $King$ dan gambar sisi belakangnya $Queen$. Jika 7 kartu tersebut dilempar ke atas secara bersamaan dan jatuh ke tanah, maka peluang muncul maksimal $4$ gambar $Queen$ adalah ....
A. $\begin{align*}\frac{91}{128}\end{align*}$
B. $\begin{align*}\frac{63}{128}\end{align*}$
C. $\begin{align*}\frac{64}{128}\end{align*}$
D. $\begin{align*}\frac{99}{128}\end{align*}$
E. $\begin{align*}\frac{100}{128}\end{align*}$
A. $\begin{align*}\frac{91}{128}\end{align*}$
B. $\begin{align*}\frac{63}{128}\end{align*}$
C. $\begin{align*}\frac{64}{128}\end{align*}$
D. $\begin{align*}\frac{99}{128}\end{align*}$
E. $\begin{align*}\frac{100}{128}\end{align*}$
Pembahasan
Oleh karena maksimal muncul $4Q$, maka kemungkinan-kemungkinannya yaitu:
- $4Q\;3K\rightarrow \frac{7!}{4!3!}=35$
- $3Q\;4K\rightarrow \frac{7!}{3!4!}=35$
- $2Q\;5K\rightarrow \frac{7!}{2!5!}=21$
- $1Q\;6K\rightarrow \frac{7!}{1!6!}=7$
- $0Q\;7K\rightarrow \frac{7!}{7!}=1$
Jadi, $\begin{align*} P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{99}{128} \end{align*}$
Apabila dalam tulisan ini ditemukan kesalahan baik itu tulisan atau pun pembahasannya,mohon segera dikomentari di kolom komentar di bawah atau pembaca bisa hubungi penulis melalui e-mail:yanfardian875@gmail.com atau fb: Yan Fardian.
Posting Komentar