Menentukan Jarak Titik dengan Bidang

Baca Juga

Di artikel sebelumnya telah dibahas mengenai jarak titik dan garis. Pada kesempatan kali ini akan dibahas mengenai jarak titik ke bidang beserta contoh soalnya.

Misalkan terdapat dua buah objek geometri yaitu sebuah bidang $v$ dan titik $A$ dimana $A$ terletak diluar bidang $v$, seperti pada gambar berikut.

Jarak titik $A$ dengan bidang $v$ dapat ditentukan dengan cara:

"Buatlah garis dari titik $A$ memotong tegak lurus bidang $v$ misalnya di titik $A'$. Ruas garis $AA'$ adalah jarak titik $A$ dengan bidang $v$".

Berikut ini adalah beberapa contoh soal menentukan jarak titik dengan bidang.

Contoh 1

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $12$ cm. Tentukan jarak titik $P$ ke bidang $ABCD$ jika $P$ adalah titik potong $EG$ dan $FH$.

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut.

Garis $PO$ tegak lurus terhadap bidang $ABCD$ sehingga jarak titik $P$ ke bidang $ABCD$ sama dengan panjang garis $PO$, yaitu $12$ cm.

Contoh 2

Diketahui panjang rusuk kubus $ABCD.EFGH$ adalah $6$ cm. Tentukan jarak titik $C$ dan bidang $AFH$.

Pembahasan

Lukislah bidang $AFH$ pada kubus $ABCD.EFGH$. Selanjutnya buatlah garis dari titik $C$ tegak lurus bidang $AFH$ misalnya di titik $C'$, sehingga garis $CC'$ adalah jarak titik $C$ ke bidang $AFH$.

Selanjutnya perhatikan segitiga sama kaki $APC$. $AC$ adalah diagonal sisi alas kubus tersebut sehingga $\begin{align*}AC=6\sqrt{2}\end{align*}$.

$AO =\frac{1}{2}AC=3\sqrt{2}$ dan $AP=PC$, sehingga:

$\begin{align*}AP&=\sqrt{AO^{2}+AP^{2}}\\&=\sqrt{(3\sqrt{2})^{2}+6^{2}}\\&=\sqrt{18+36}\\&=\sqrt{54}\\&=3\sqrt{6}\end{align*}$

$CC'$ dapat ditentukan dengan menggunakan konsep kesamaan luas pada segitiga $APC$ sebagai berikut:

$\begin{align*}\frac{1}{2}×AP×CC'&=\frac{1}{2}×AC×OP\\AP×CC'&=AC×OP\\3\sqrt{6}×CC'&=6\sqrt{2}×6\\3\sqrt{6}×CC'&=36\sqrt{2}\\CC'&=\frac{36\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}\\CC'&=\frac{12}{\sqrt{3}}\\CC'&=4\sqrt{3}\end{align*}$

Jadi, jarak titik $C$ ke bidang $AFH$ adalah $4\sqrt{3}$ cm.

Contoh 3

(UN MAT IPA 2019)

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $10$ cm. Jika titik $P$ terletak pada pertengahan garis $GC$, jarak titik $C$ ke bidang $BPD$ adalah ....

A. $\begin{align*} \frac{5}{3}\sqrt{7} \end{align*}$ 

B. $\begin{align*} \frac{5}{3}\sqrt{6} \end{align*}$ 

C. $\begin{align*} \frac{5}{3}\sqrt{5} \end{align*}$ 

D. $\begin{align*} \frac{5}{3}\sqrt{3} \end{align*}$ 

E. $\begin{align*} \frac{5}{3}\sqrt{2} \end{align*}$ 

Pembahasan

Lukis bidang $BPD$ seperti pada gambar berikut.

$AC = 10\sqrt{2}$, dan titik $O$ adalah titik tengah $AC$, sehingga $OC=5\sqrt{2}$. Jarak titik $C$ ke bidang $BPD$ sama dengan panjang $CN$. Misalkan $OP$ adalah garis yang mewakili bidang $BPD$. Selanjutnya perhatikan segitiga siku-siku $OPC$, akan dihitung panjang $CN$ sebagai berikut.

$\begin{align*} OP&=\sqrt{OC^{2}+PC^{2}}\\ &=\sqrt{(5\sqrt{2})^{2}+5^{2}}\\ &=\sqrt{50+25}\\ &=\sqrt{75}\\ &=5\sqrt{3} \end{align*}$

Dengan kesamaan luas pada segitiga $OPC$, diperoleh:

$\begin{align*} \frac{1}{2}.OP.CN&=\frac{1}{2}.PC.OC\\ OP.CN&=PC.OC\\ 5\sqrt{3}CN&=5\sqrt{2}.5\\ 5\sqrt{3}CN&=25\sqrt{2}\\ CN&=\frac{25\sqrt{2}}{5\sqrt{3}}\\ CN&=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\\ CN&=\frac{5}{3}\sqrt{6} \end{align*}$

Jadi, jarak titik $C$ ke bidang $BPD$ adalah $\begin{align*} \frac{5}{3}\sqrt{6} \end{align*}$  cm.

Contoh 4
Diberikan bidang empat $T.ABC$ dengan alas $ABC$ adalah segitiga sama sisi dan rusuk $TA$ tegak lurus bidang alas.  Jika panjang rusuk alas $8$ cm dan tinggi bidang empat tersebut $10$ cm, tentukan jarak titik $A$ ke bidang $TBC$.

Pembahasan

Berdasarkan keterang soal, bidang $T.ABC$ dapat digambar sebagai berikut.

Oleh karena alas berbentuk segitiga sama sisi, maka $E$ adalah titik tengah $BC$ dan $AE⊥BC$. Perhatikan segitiga siku-siku $ABE$.

$\begin{align*}AE&=\sqrt{AB^{2}-EB^{2}}\\&=\sqrt{8^{2}-4^{2}}\\&=\sqrt{64-16}\\&=\sqrt{48}\\&=4\sqrt{3}\end{align*}$

Selanjutnya, perhatikan segitiga $ATE$.

$\begin{align*}ET&=\sqrt{AE^{2}+AT^{2}}\\&=\sqrt{(4\sqrt{3})^{2}+10^{2}}\\&=\sqrt{48+100}\\&=\sqrt{148}\\&=2\sqrt{37}\end{align*}$

Garis $AO$ tegak lurus bidang $TBC$ sehingga jarak titik $A$ ke bidang $TBC$ sama dengan panjang $AO$. Dengan demikian:

$\begin{align*}\frac{1}{2}.ET.AO&=\frac{1}{2}.AE.AT\\ET.AO&=AE.AT\\2\sqrt{37}.AO&=4\sqrt{3}.10\\2\sqrt{37}.AO&=40\sqrt{3}\\AO&=\frac{40\sqrt{3}}{2\sqrt{37}}\\AO&=\frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{37}}\\AO&=\frac{20}{37}\sqrt{111}\end{align*}$

Jadi, jarak titik $A$ ke bidang $TBC$ sama dengan $\begin{align*}\frac{20}{37}\sqrt{111}\end{align*}$.

Contoh 5
(SPMB $2005$)
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $2\sqrt{3}$. Jika titik $P$ terletak pada $BC$ dan titik $Q$ terletak pada $FG$ dengan $BP=FQ=2$,  maka jarak titik $H$ ke bidang $APQE$ adalah ....
A. $\sqrt{3}$
B. $3$
C. $4$
D. $2\sqrt{5}$
E. $2\sqrt{7}$

Pembahasan
Lukis bidang $APQE$ dan tarik garis dari titik $H$ tegak lurus bidang tersebut di titik $H'$ seperti gambar berikut.

Jarak titik $H$ ke bidang $APQE$ sama dengan panjang garis $HH'$. Perhatikan segitiga $EQH$. Sisi $EQ$ dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras pada segitiga $EFQ$, sebagai berikut.

$\begin{align*}EQ&=\sqrt{FQ^{2}+EF^{2}}\\&=\sqrt{2^{2}+(2\sqrt{3}}\\&=\sqrt{4+12}\\&=\sqrt{16}\\&=4\end{align*}$

Dengan kesamaan luas pada segitiga $EHQ$, diperoleh:

$\begin{align*}\frac{1}{2}×EH×EF&=\frac{1}{2}×EQ×HH'\\EH×EF&=EQ×HH'\\2\sqrt{3}×2\sqrt{3}&=4×HH'\\12&=4HH'\\HH'&=3\end{align*}$

Jadi, jarak titik $H$ ke bidng $APQE$ adalah $3$ satuan.

Demikianlah uraian singkat dan contoh soal mengenai jarak titik dengan bidang pada dimensi tiga. Mohon maaf apabila terdapat kesalahan dan semoga bermanfaat