Jarak Titik dan Garis pada Dimensi Tiga

Jika pada artikel sebelumnya telah dibahas mengenai jarak dua titik, maka pada kesempatan kali ini akan dibahas mengenai jarak titik dan garis pada dimensi tiga.

Misalkan kita memiliki dua buah objek geometri yaitu titik $A$ dan garis $g$ dengan titik $A$ terletak di luar garis $g$ seperti pada gambar berikut.

Selanjutnya akan ditentukan jarak antara titik $A$ dengan garis $g$ tersebut. Dalam geometri, jarak berarti panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan dua objek geometri. Melalui titik $A$ kita dapat membuat banyak garis penghubung ke garis $g$, misalnya seperti gambar berikut.

$AA_{1}, AA_{2}, AA_{3}, AA_{4}$ dan $AA_{5}$ adalah beberapa garis penghubung titik $A$ ke garis $g$. Dari kelima garis tersebut tampak bahwa garis $AA_{1}$ merupakan garis terpendek yang menghubungkan titik $A$ dengan garis $g$ dengan garis $AA_{1}$ tegak lurus terhadap garis $g$. Titik $A_{1}$ adalah proyeksi titik $A$ pada garis $g$. Dengan demikian dapat disimpulkan:

 

Jarak titik $A$ ke garis $g$ adalah jarak terpendek dari titik $A$ ke garis $g$. Jarak terpendek tersebut diperoleh dengan cara menarik garis dari titik $A$ tegak lurus garis $g$ yaitu di titik $A_{1}$. Garis $AA_{1}$ adalah jarak titik $A$ dengan garis $g$.

Berikut ini diberikan beberapa contoh soal serta pembahasannya. Dalan kesempatan ini penulis sengaja menguraikan langkah-langkah penyelesaiannya agar mudah dipahami sebab materi dimensi tiga dirasa cukup sulit oleh banyak siswa. Apalagi jika pembelajaran di kelas tanpa menggunakan media visual, ini tentu akan menjadi beban tersendiri bagi guru maupun siswa.

Contoh 1

Kubus $ABCD.EFGH$ mempunyai panjang rusuk $8$ cm. Hitunglah:

(a) Jarak titik $A$ ke garis $GH$
(b) Jarak titik $C$ ke garis $AG$
(d) Jika $P$ adalah titik potong $BD$ dan $AC$, tentukan jarak titik $C$ ke $GP$.

Pembahasan
(a) Jarak titik $A$ ke garis $GH$

$AH\perp GH$, maka jarak titik $A$ ke garis $GH$ sama dengan panjang $AH$. Dengan teorema Pythagoras, diperoleh:

$\begin{align*} AH&=\sqrt{AD^{2}+DH^{2}}\\ &=\sqrt{8^{2}+8^{2}}\\ &=\sqrt{64+64}\\ &=\sqrt{128}\\&=8\sqrt{2} \end{align*}$

Jadi, jarak titik $A$ ke garis $GH$ adalah $8\sqrt{2}$ cm.
(b) Jarak titik $C$ ke garis $AG$

Panjang garis $AC=AH=8\sqrt{2}$. $OC\perp AG$, maka jarak titik $C$ ke garis $AG$ sama dengan panjang garis $CO$. Perhatikan segitiga siku-siku $ACG$.

$\begin{align*} AG&=\sqrt{AC^{2}+CG^{2}}\\ &=\sqrt{(8\sqrt{2})^{2}+8^{2}}\\ &=\sqrt{128+64}\\ &=\sqrt{192}\\ &=8\sqrt{3} \end{align*}$

$AC$ dan $OC$ merupakan garis tinggi pada seegitiga $ACG$, sehingga dengan konsep kesamaan luas pada segitiga tersebut diperoleh:

$\begin{align*} \frac{1}{2}\times AG\times CO&=\frac{1}{2}\times CG\times AC\\ \frac{1}{2}\times 8\sqrt{3}\times CO&=\frac{1}{2}\times 8\times 8\sqrt{2}\\ 4\sqrt{3}CO&=32\sqrt{2}\\ CO&=\frac{32\sqrt2}{4\sqrt{3}}\\ CO&=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\\ CO&=\frac{8}{3}\sqrt{6} \end{align*}$

Jadi, jarak titik $C$ ke garis $AG$ adalah $\begin{align*}\frac{8}{3}\sqrt{6} \end{align*}$ cm.

(c) Jarak titik $C$ ke $GP$

Perhatikan segitiga siku-siku $CPG$. Jarak titik $C$ ke garis $GP$ sama dengan panjang garis $CQ$. Titik $P$ adalah titik tengah $AC$, maka $\begin{align*}PC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\times 8=4\sqrt{2} \end{align*}$ . Panjang $PG$ dpat dihitung sebagai berikut:

$\begin{align*} PG&=\sqrt{PC^{2}+CG^{2}}\\ &=\sqrt{(4\sqrt{2})^{2}+8^{2}}\\ &=\sqrt{32+64}\\ &=\sqrt{96}\\ &=4\sqrt{6} \end{align*}$

 $CQ$ dan $CG$ merupakan garis tinggi segitiga $CPG$, dengan konsep kesamaan luas pada segitiga tersebut diperoleh:

$\begin{align*} \frac{1}{2}\times GP \times CQ&=\frac{1}{2}\times PC\times CG\\ \frac{1}{2}\times 4\sqrt{6}\times CQ&=\frac{1}{2}\times 4\sqrt{2}\times 8\\ 2\sqrt{6}\times CQ&=16\sqrt{2}\\ CQ&=\frac{16\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}\\ CQ&=\frac{8}{\sqrt{3}}\\ CQ&= \frac{8}{3}\sqrt{3} \end{align*}$

Jadi, jarak titik $C$ ke garis $GP$ adalah $\begin{align*} \frac{8}{3}\sqrt{3} \end{align*}$ cm.

Contoh 2

Diketahui limas segiempat beraturan $T.ABCD$ memiliki panjang sisi alas $8$ cm dan rusuk tegak $10$ cm. Tentukan jarak titik $A$ ke $TC$.

Pembahasan

Lukislah segitiga yang melalui titik $T$, $A$, dan $C$. Segitiga tersebut adalah segitiga sama kaki $TAC$ seperti pada gambar berikut.

Baca Juga

• Jarak Dua Bidang Sejajar pada Dimensi Tiga
• Jarak Garis dengan Bidang pada DImensi 3
• Jarak Dua Garis pada Dimensi Tiga

$AC$ adalah diagonal $ABCD$ sehingga $AC=8\sqrt{2}$, dan $AO$ adalah setengah $AC$, maka $AO=4\sqrt{2}$. Sedangkan $OT$ adalah tinggi segitiga $TAC$:

$\begin{align*} OT&=\sqrt{AT^{2}-AO^{2}}\\ &=\sqrt{10^{2}-(4\sqrt{2})^{2}}\\ &=\sqrt{100-32}\\ &=\sqrt{68}\\ &=2\sqrt{17} \end{align*}$

$A'$ adalah proyeksi titik $A$ pada $TC$ sehingga $AA'$ adalah jarak titik $A$ ke $TC$. Dengan menggunakan konsep kesamaan luas pada segitiga $TAC$, diperoleh:

$\begin{align*} \frac{1}{2}\times TC\times AA'&=\frac{1}{2}\times AC\times OT\\ 10\times AA'&=8\sqrt{2}\times 2\sqrt{17}\\ 10AA'&=16\sqrt{34}\\ AA'&=\frac{16\sqrt{34}}{10}\\ AA'&=\frac{8}{5}\sqrt{34} \end{align*}$ 

 Jadi, jarak titik $A$ ke $TC$ adalah $\begin{align*} \frac{8}{5}\sqrt{34} \end{align*}$ cm

Contoh 3

Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $8$ cm. $K$ adalah titik tengah rusuk $AB$. Tentukan jarak titik $K$ ke garis $HC$. (UAN 2004).

Pembahasan
Lukis segitiga yang melalui titik $K$, $H$, dan $C$ dimana $K$ adalah titik tengah $AB$. Segitiga tersebut adalah segitiga $HKC$ seperti terlihat pada gambar berikut.

Proyeksikan titik $K$ pada garis $HC$ diperoleh titik proyeksinya adalah $K'$, sehingga $KK'$ adalah jarak titik $K$ ke garis $HC$. Selanjutnya akan dihitung panjang $KC$, $KH$ dan $HC$ agar $KK'$ dapat ditentukan. $HC$ adalah diagonal sisi maka $HC=8\sqrt{2}$. Karena $K$ titik tengah $AB$, maka $KC=KD$.

$\begin{align*}KC&=\sqrt{KB^{2}+BC^{2}}\\&=\sqrt{4^{2}+8^{2}}\\&=\sqrt{16+64}\\&=\sqrt{80}\\&=4\sqrt{5}\end{align*}$

Selanjutnya:

$\begin{align*}KH&=\sqrt{KD^{2}+DH^{2}}\\&=\sqrt{(4\sqrt{5})^{2}+8^{2}}\\&=\sqrt{80+64}\\&=\sqrt{144}\\&=12\end{align*}$

Perhatikan segitiga $HKC$.

Misalkan $CK'=x$ dan dengan menggunakan "Dalil Proyeksi" pada segitiga di atas, diperoleh:

$\begin{align*}KH^{2}&=CH^{2}+CK^{2}-2CH.CK\\12^{2}&=(8\sqrt{2})^{2}+(4\sqrt{5})^{2}-2.8\sqrt{2}.x\\144&=128+80-16\sqrt{2}x\\16\sqrt{2}x&=64\\x&=\frac{64}{16\sqrt{2}}\\x&=2\sqrt{2}\end{align*}$

Selanjutnya akan dihitung jarak titik $K$ ke garis $HC$, sebagai berikut.

$\begin{align*}KK'&=\sqrt{KC^{2}-CK'^{2}}\\&=\sqrt{(4\sqrt{5})^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}\\&=\sqrt{80-8}\\&=\sqrt{72}\\&=6\sqrt{2}\end{align*}$

Jadi, jarak titik $K$ ke garis $HC$ adalah $6\sqrt{2}$.

Contoh 4
Diketahui kubus $ABCD.EFGH$ dengan panjang rusuk $4$ cm. Titik $P$ adalah titik potong $AH$ dengan $ED$ dan titik $Q$ adalah titik potong $FH$ dengan $EG$. Jarak titik $B$ dengan garis $PQ$ adalah .... (UN 2010)

Pembahasan
Lukislah segitiga yang melalui titik $B$, $P$, dan $Q$. Segitiga tersebut adalah segitiga $BPQ$ seperti terlihat pada gambar berikut.

$B'$ adalah proyeksi titik $B$ pada garis $PQ$ sehingga $BB'$ adalah jarak titik $B$ ke $PQ$. $BP$, $PQ$, dan $BQ$ ditentukan sebagai berikut.

$\begin{align*} BL&=\sqrt{AB^{2}+AL^{2}}\\ &=\sqrt{4^{2}+2^{2}}\\ &=\sqrt{16+4}\\ &=\sqrt{20}\\ &=2\sqrt{5} \end{align*}$

$\begin{align*} BP&=\sqrt{BL^{2}+PL^{2}}\\ &=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}+2^{2}}\\ &=\sqrt{20+4}\\ &=\sqrt{24}\\ &=2\sqrt{6} \end{align*}$ 

$\begin{align*} PQ&=\sqrt{KP^{2}+KQ^{2}}\\ &=\sqrt{2^{2}+2^{2}}\\ &=\sqrt{4+4}\\ &=\sqrt{8}\\ &=2\sqrt{2} \end{align*}$ 

$\begin{align*} BQ&=\sqrt{BF^{2}+FQ^{2}}\\ &=\sqrt{4^{2}+(2\sqrt{2})^{2}}\\ &=\sqrt{16+8}\\ &=\sqrt{24}\\ &=2\sqrt{6} \end{align*}$

Oleh karena $BP=BQ=2\sqrt{6}$, maka segitiga $BPQ$ adalah segitiga sama kaki dan $B'$ adalah titik tengah $PQ$. Dengan demikian:

$\begin{align*} BB'&=\sqrt{BP^{2}-PB'^{2}}\\ &=\sqrt{(2\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{2})^{2}}\\ &=\sqrt{24-2}\\ &=\sqrt{22} \end{align*}$

Jadi, jarak titik $B$ ke $PQ$ sama dengan $\sqrt{22}$.

Contoh 5
Pada kubus $ABCD.EFGH$ yang panjang rusuknya $4$ cm dengan titik $P$ dan $Q$ berturut-turut titik tengah garis $AB$ dan $DH$. Jarak titik $Q$ ke garis $PG =….$ cm.
A. $\begin{align*}\frac{\sqrt{20}}{4}\end{align*}$
B. $\begin{align*}\frac{2}{3}\sqrt{29}\end{align*}$
C. $\begin{align*}\frac{\sqrt{20}}{3}\end{align*}$
D. $\begin{align*}\frac{\sqrt{29}}{8}\end{align*}$
E. $\begin{align*}\frac{\sqrt{39}}{6}\end{align*}$

Pembahasan
Lukislah segitiga $QPG$, kemudian buatlah garis dari titik $Q$ tegak lurus garis $PG$ di titik $Q'$. Dengan kata lain, titik $Q'$ adalah proyeksi titik $Q$ pada $PG$.

Sehingga jarak titik $Q$ dengan garis $PG$ sama dengan panjang $QQ'$.  Supaya panjang sisi-sisi segitiga $QPG$ diketahui, terlebih dahulu dicari panjang $PD$ dan $PC$ dimana $PD=PC$.

$\begin{align*}PD&=\sqrt{AD^{2}+AP^{2}}\\&=\sqrt{4^{2}+2^{2}}\\&=\sqrt{16+4}\\&=\sqrt{20}\\&=2\sqrt{5}\end{align*}$

Selanjutnya menentukan panjang sisi-sisi segitiga $QPG$, sebagai berikut:

$\begin{align*}QP&=\sqrt{PD^{2}+QD^{2}}\\&=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}+2^{2}}\\&=\sqrt{20+4}\\&=\sqrt{24}\\&=2\sqrt{6}\\PG&=\sqrt{PC^{2}+CG^{2}}\\&=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}+4^{2}}\\&=\sqrt{20+16}\\&=\sqrt{36}\\&=6\end{align*}$

Dari gambar di atas jelas bahwa $QG=PD=2\sqrt{5}$. Perhatikan segitiga $PQG$ berikut.

Misalkan $GQ'=m$ dan dengan "Dalil Proyeksi" pada segitiga tersebut, diperoleh:

$\begin{align*}QP^{2}&=QG^{2}+PG^{2}-2PG.GQ'\\(2\sqrt{6})^{2}&=(2\sqrt{5})^{2}+6^{2}-2.6.m\\24&=20+36-12m\\24&=56-12m\\12m&=32\\m&=\frac{8}{3}\end{align*}$

Selanjutnya akan dihitung jarak titik $Q$ ke garis $PG$, yaitu sebagai berikut:

$\begin{align*}QQ'&=\sqrt{20-m^{2}}\\&=\sqrt{20-\left(\frac{8}{3}\right)^{2}}\\&=\sqrt{20-\frac{64}{9}}\\&=\sqrt{\frac{116}{9}}\\&=\frac{2}{3}\sqrt{29}\end{align*}$

Jadi, jarak titik $Q$ ke garis $PG$ adalah $\begin{align*}\frac{2}{3}\sqrt{29}\end{align*}$

Jika ditemukan kesalahan pada artikel ini, silakan dikomentari pada kolom komentar yang telah tersedia di bawah ini. Terima kasih dan semoga bermanfaat.