Persamaan Eksponen adalah persamaan yang mana pangkatnya memuat variabel (peubah) dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokok (basis) juga memuat variabel. Menyelesaikan persamaan eksponen artinya kita mencari nilai pengganti variabel yang terdapat pada persamaan. Nilai pengganti variabel yang memenuhi persamaan eksponen disebut penyelesaian.
Berikut ini akan dibahas beberapa bentuk persamaan eksponen berikut contoh-contoh soalnya.
Persamaan Eksponen Berbentuk $a^{f(x)}=a^{n}$
Persamaan Eksponen Berbentuk $a^{f(x)}=a^{n}$
Sifat 1
Jika $a^{f(x)}=a^{n}$, dengan $a>0$ dan $a\neq1$, maka $f(x)=n$
Contoh 1
Penyelesaian
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $2^{3x-1}=2^8$!
Penyelesaian
$\begin{align*} 2^{3x-1}&=2^8\\ 3x-1&=8\\ 3x&=9\\ x&=3 \end{align*}$
Jadi, penyelesaiannya adalah $\begin{align*} \left \{ 3\right \} \end{align*}$.
Contoh3
Penyelesaian
$\begin{align*} 3^{x^{2}-8x+14}&=9\\ 3^{x^{2}-8x+14}&=3^{2}\\ x^{2}-8x+14&=2\\ x^{2}-8x+12&=0\\ (x-2)(x-6)&=0\\ x=2\;\;\;\textrm{atau}\;\;\;x&=6 \end{align*}$
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\begin{align*} 3^{x^{2}-8x+14}&=9 \end{align*}$
Penyelesaian
$\begin{align*} 3^{x^{2}-8x+14}&=9\\ 3^{x^{2}-8x+14}&=3^{2}\\ x^{2}-8x+14&=2\\ x^{2}-8x+12&=0\\ (x-2)(x-6)&=0\\ x=2\;\;\;\textrm{atau}\;\;\;x&=6 \end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya $\begin{align*} \left \{ 2,6 \right \} \end{align*}$.
Contoh 3
$\begin{align*} \frac{1}{81^{2x-5}}&=9\\ \frac{1}{9^{2(2x-5)}}&=9\\ 9^{-2(2x-5)}&=9\\ -4x+10&=1\\ -4x&=-9\\ x&=\frac{9}{4} \end{align*}$
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\begin{align*} \frac{1}{81^{2x-5}}=9 \end{align*}$
Penyelesaian$\begin{align*} \frac{1}{81^{2x-5}}&=9\\ \frac{1}{9^{2(2x-5)}}&=9\\ 9^{-2(2x-5)}&=9\\ -4x+10&=1\\ -4x&=-9\\ x&=\frac{9}{4} \end{align*}$
Jadi, penyelesaiannya adalah $\begin{align*} \left \{\frac{9}{4}\right \} \end{align*}$
Sifat 2
Jika $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, dengan $a>0$ dan $a\neq1$, maka $f(x)=g(x)$
Contoh 1
$\begin{align*} 8^{2x+3}&=2^{5x-1}\\ 2^{3(2x+3)}&=2^{5x-1}\\ 6x+9&=5x-1\\ x&=10 \end{align*}$
Tentukan nilai $x$ yang memenuhi persamaan $8^{2x+3}=2^{5x-1}$
Penyelesaian$\begin{align*} 8^{2x+3}&=2^{5x-1}\\ 2^{3(2x+3)}&=2^{5x-1}\\ 6x+9&=5x-1\\ x&=10 \end{align*}$
Jadi, nilai $x$ sama dengan $10$.
Contoh 2
Penyelesaian
$\begin{align*} \sqrt{8^{x^2-4x+3}}&=\frac{1}{32^{x-1}}\\ 8^{\frac{x^2-4x+3}{2}}&=32^{-1(x-1)}\\ 2^{3(\frac{x^2-4x+3}{2})}&=2^{-5(x-1)}\\ \frac{3x^{2}-12x+9}{2}&=-5x+5\\ 3x^{2}-12x+9&=-10x+10\\\ 3x^{2}-2x-1&=0\\ 3x^{2}-3x+x-1&=0\\ (3x^{2}-3x)+(x-1)&=0\\ 3x(x-1)+(x-1)&=0\\ (x-1)(3x+1)&=0\\ x=1\;\;\;\textrm{atau}\;\;\;x&=-\frac{1}{3} \end{align*}$.
Penyelesaian persamaan $\begin{align*} \sqrt{8^{x^2-4x+3}}=\frac{1}{32^{x-1}} \end{align*}$ adalah $p$ dan $q$, dengan $p>q$. Tentukan nilai dari $p+6q$!
Penyelesaian
$\begin{align*} \sqrt{8^{x^2-4x+3}}&=\frac{1}{32^{x-1}}\\ 8^{\frac{x^2-4x+3}{2}}&=32^{-1(x-1)}\\ 2^{3(\frac{x^2-4x+3}{2})}&=2^{-5(x-1)}\\ \frac{3x^{2}-12x+9}{2}&=-5x+5\\ 3x^{2}-12x+9&=-10x+10\\\ 3x^{2}-2x-1&=0\\ 3x^{2}-3x+x-1&=0\\ (3x^{2}-3x)+(x-1)&=0\\ 3x(x-1)+(x-1)&=0\\ (x-1)(3x+1)&=0\\ x=1\;\;\;\textrm{atau}\;\;\;x&=-\frac{1}{3} \end{align*}$.
Jadi, nilai $p=1$ dan $\begin{align*} q=-\frac{1}{3} \end{align*}$, sehingga:
$\begin{align*} p+6q&=1+6\left ( -\frac{1}{3} \right )=1-2=-1 \end{align*}$
Contoh 3
Penyelesaian
$\begin{align*} 11^{x^{2}-3x+2}&=121^{x^{2}-3x+2}\\ 11^{x^{2}-3x+2}&=11^{2(x^{2}-3x+2)}\\ x^{2}-3x+2&=2x^{2}-6x+4\\ x^{2}-3x+2&=0\\ (x-1)(x-2)&=0\\ x=1\;\;\;\textrm{atau}\;\;\;x&=2 \end{align*}$
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:
$11^{x^{2}-3x+2}=121^{x^{2}-3x+2}$
Penyelesaian
$\begin{align*} 11^{x^{2}-3x+2}&=121^{x^{2}-3x+2}\\ 11^{x^{2}-3x+2}&=11^{2(x^{2}-3x+2)}\\ x^{2}-3x+2&=2x^{2}-6x+4\\ x^{2}-3x+2&=0\\ (x-1)(x-2)&=0\\ x=1\;\;\;\textrm{atau}\;\;\;x&=2 \end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya $\left \{ 1,2 \right \}$.
Contoh 4
Penyelesaian
$\begin{align*} 10^{2x+3}&=\sqrt[x-1]{{10^{2x+7}}}\\ 10^{2x+3}&=10^{\frac{2x+7}{x-1}}\\ 2x+3&=\frac{2x+7}{x-1}\\ (2x+3)(x-1)&=2x+7\\ 2x^{2}-2x+3x-3&=2x+7\\ 2x^{2}+x-3&=2x+7\\ 2x^{2}-x-10&=0\\ 2x^{2}+4x-5x-10&=0\\ (2x^{2}+4x)-(5x+10)&=0\\ 2x(x+2)-5(x+2)&=0\\ (x+2)(2x-5)&=0\\ x=-2\;\;\;\textrm{atau}\;\;\;x&=\frac{5}{2} \end{align*}$
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $\begin{align*} 10^{2x+3}=\sqrt[x-1]{{10^{2x+7}}} \end{align*}$!
Penyelesaian
$\begin{align*} 10^{2x+3}&=\sqrt[x-1]{{10^{2x+7}}}\\ 10^{2x+3}&=10^{\frac{2x+7}{x-1}}\\ 2x+3&=\frac{2x+7}{x-1}\\ (2x+3)(x-1)&=2x+7\\ 2x^{2}-2x+3x-3&=2x+7\\ 2x^{2}+x-3&=2x+7\\ 2x^{2}-x-10&=0\\ 2x^{2}+4x-5x-10&=0\\ (2x^{2}+4x)-(5x+10)&=0\\ 2x(x+2)-5(x+2)&=0\\ (x+2)(2x-5)&=0\\ x=-2\;\;\;\textrm{atau}\;\;\;x&=\frac{5}{2} \end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaian $\left \{ -2,\frac{5}{2} \right \}$.
Sifat 3
Jika $a^{f(x)}=b^{f(x)}$, dengan $a>0$ dan $a\neq1$, $b>0$ dan $b\neq1$, maka $f(x)=0$
Contoh 1
$\begin{align*} 3^{3x-6}&=4^{3x-6}\\ 3x-6&=0\\ 3x&=6\\ x&=2 \end{align*}$
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan $3^{3x-6}=4^{3x-6}$
Penyelesaian$\begin{align*} 3^{3x-6}&=4^{3x-6}\\ 3x-6&=0\\ 3x&=6\\ x&=2 \end{align*}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya $\left \{ 2 \right \}$ .
Contoh 2
$\begin{align*} \frac{1}{9}\times3^{2x^{2}-4}&=5^{2x^{2}-6}\\ 3^{-2}\times3^{2x^{2}-4}&=5^{2x^{2}-6}\\ 3^{2x^{2}-6}&=5^{2x^{2}-6}\\ 2x^{2}-6&=0\\ x^{2}-3&=0\\ (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})&=0\\ x=-\sqrt{3}\;\;\;\textrm{atau}\;\;\;x&=\sqrt{3} \end{align*}$
Tentukan solusi dari persamaan $\begin{align*} \frac{1}{9}\times3^{2x^{2}-4}=5^{2x^{2}-6} \end{align*}$
Penyelesaian$\begin{align*} \frac{1}{9}\times3^{2x^{2}-4}&=5^{2x^{2}-6}\\ 3^{-2}\times3^{2x^{2}-4}&=5^{2x^{2}-6}\\ 3^{2x^{2}-6}&=5^{2x^{2}-6}\\ 2x^{2}-6&=0\\ x^{2}-3&=0\\ (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})&=0\\ x=-\sqrt{3}\;\;\;\textrm{atau}\;\;\;x&=\sqrt{3} \end{align*}$
Jadi, solusi dari persamaan tersebut adalah $\left \{ -\sqrt{3},\sqrt{3} \right \}$.
Demikianlah beberapa bentuk persamaan eksponen berikut contoh soalnya. Bentuk-bentuk persamaan eksponen lainnya akan dibahas pada artikel berikutnya. Semoga bermanfaat!
Note:
Mohon koreksinya pada kolom komentar jika ditemukan kesalahan pada artikel ini.
إرسال تعليق