Processing math: 100%

Sudut istimewa atau biasa juga disebut sudut khusus adalah sudut-sudut yang nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditentukan tanpa harus menggunakan alat bantu (seperti kalkulator dan tabel trigonometri). Sudut-sudut istimewa tersebut adalah 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°. Nilai-nilai sudut-sudut istimewa ini sering kita jumpai di buku-buku cetak, rangkuman, dan lain-lainnya. Bahkan ada yang sudah yang hafal. Tetapi yang jadi pertanyaan, adakah yang tau dari mana asal-usul nilai tersebut. Buat yang belum tau dari mana nilai-nilai tersebut, tanang!!! Karena pada kesempatan kali ini, penulis mencoba menjelaskan secara sederhana asal-asul nilai-nilai tersebut.

Untuk menentukan nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa yang dimaksud, kita dapat meggunakan konsep Lingkaran Satuan. Apa itu lingkaran saatua? Lingkaran satuan adalah lingkaran yang berjari-jari satu satuan seperti pada gambar berikut.
Lingkaran satuan itulah yang akan kita pakai.

Perbandingan Trigonometri untuk sudut 0°.
Perhatikan lingkaran satuan berikut!
Dari gambar OP=r=1 maka koordinat P(1,0) atau x=1, dan y=0. OP berhimpit dengan sumbu X dan akibatnya besar XOP=0°. Berdasarkan defenisi perbabdingan trigonometri pada segitiga siku-siku, diperoleh:
sin0°=y1=01=0
cos0°=x1=11=1
tan0°=yx=01=0
Jadi, nilai perbandingan trigonometri sin 0°, cos 0°, dan tan 0° berturut-turut adalah 0, 1, dan 0.

Perbandingan trigonometri untuk sudut 30°
Perhatikan gambar berikut!
Perhatika OPP, siku-siku di P. Besar POP=30, maka besar OPP=60. Perhatikan OPQ, dimana OPQ adalah hasil pencerminan OPP terhadap sumbu X sehingga OPP dan OPQ kongruen. Oleh karena kongruen, maka POQ=OPQ=OQP=60, dan OP=OQ=PQ=1. P adalah titik tengah PQ, maka PP=12PQ=12. Panjang OP dapat ditentukan dengan menggunakan Teorema Pythagoras, sebagai berikut.
(OP)2=(OP)2(PP)2(OP)2=12(12)2(OP)2=114(OP)2=34OP=34OP=123 
Jadi, panjang OP=123. Dengan demikian:
sin30°=PPOP=121=12
cos30°=OPOP=1231=123
tan30°=PPOP=12123=133
Jadi, nilai dari sin 30°, cos 30°, dan tan 30° berturut-turut adalah 12, 123, dan 133.

Perbandingan trigonometri sudut 45 
Perhatikan gambar berikut!
Perhatikan OPP, siku-siku di P. Besar POP=45, OPP=90, dan OPP=45. Oleh karena POP=OPP=45, maka segitiga OPP adalah segitiga siku-siku sama kaki, yaitu OP=PP. Panjang OP atau PP dapat ditentukan dengan teorema pythagoras seperti berikut.
(OP)2+(PP)2=(OP)2(PP)2+(PP)2=122(PP)2=1(PP)2=12PP=122 
Dengan demikian OP=PP=122.
Selanjutnya, akan kita tentukan perbandingan trigonometri untuk sudut 45, sebagai berikut.
sin45=PPOP=121=12 
cos45=OPOP=121=12 
tan45=PPOP=1212=1

Perbandingan trigonometri untuk sudut 60°
Perhatikan gambar berikut!
Besar POP=60, dan P adalah proyeksi titik P pada sumbu X sehingga besar OPP=90, dan OPP=30. Oleh karena OP=OQ=1, maka OPQ adalah segitiga sama sisi, sehingga P adalah titik tengah OQ. Dengan demikian OP=12. Panjang PP dapat ditentukan dengan teorema pythagoras, sebagai berikut.
(PP)2=(OP)2(OP)2(PP)2=12(12)2(PP)2=114(PP)2=34PP=123
Selanjutnya, nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 60 sebagai berikut:
sin60=PPOP=1231=123
cos60=OPOP=121=12
tan60=PPOP=12312=3
Jadi, nilai dari sin 60, cos 60, dan tan 60 berturut-turut adalah 123,12, dan 3.

Perbandingan trigonometri untuk sudut 60°
Perhatikan gambar berikut!
Jika besar sudut yang dibentuk oleh OP dengan sumbu X adalah 90, maka OP berhimpit dengan sumbu Y seperti tampak gambar.  Dengan demikian koordinat titik P adalah (0,1) atau nilai x=0, dan y=OP=1. Perbandingan trigonometri untuk sudut 90, sebagai berikut.
sin90=yOP=11=1 
cos90=xOP=01=0 
tan90=yx=10=tak terdefenisi
Jadi, nilai dari sin 90, cos 90, dan tan 90 berturut-turut adalah 1, 0, dan tak terdefenisi.

Dari uraian di atas, nilai-nilai perbandingan trigonomotri untuk sudut 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90° dapat dirangkum seperti tabel berikut.
Selanjutnya, nilai-nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa tersebut dapat digunakan untuk menentukan panjang (ukuran) sisi dari suatu segitiga siku-siku, tinggi suatu gedung, tinggi pohon dan lain sebagainya. Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh soal berikut.

Contoh 1
Perhatikan gambar berikut!
Jika besar A=30, BC=12 cm, tentukan panjang AB dan AC.
Pembahasan
Panjang AB
tanA=BCABtan30=12BC133=12ABAB3=36AB=363AB=123
Panjang AC
sinA=BCACsin30=12AC12=12ACAC=24
Jadi, panjang AB dan AC berturut-turut adalah123 cm dan 24 cm.

Contoh 2
Perhatikan gambar di bawah ini.
Jika panjang BC=10 cm, maka panjang AB=.... cm.(A). 1035
(B). 15103
(C). 633
(D). 1035
(E). 10(31)
Pembahasan
Panjang CD
Perhatikan segitiga siku-siku BCD.
tanB=CDBCtan45=CD101=CD10CD=10

Perhatikan segitiga ACD.
Misalkan panjang AB=x, maka AC=(10+x) cm.
tanA=CDACtan30=1010+x133=1010+x(10+x)3=30103+x3=30x=301033x=303303x=10310x=10(31)
Jadi, panjang AB=10(31) cm.

Contoh 3
Perhatikan gambar di bawah ini.

Diketahui BAD=30BCD=45, dan AB=10 cm. Tentukan panjang CD.
Pembahasan
Panjang BD
Perhatikan BAD,berlaku:
sinA=BDABsin30=BD1012=BD10BD=10×12BD=5 
Selanjutnya, perhatikan BCD, akan ditentukan panjang CD sebagai berikut.
sinC=BDCDsin45=5CD122=5CDCD2=2×5CD=102CD=52
Jadi, panjang CD=52

Contoh 4
Perhatikan gambar berikut!

Gambar di atas menunjukkan seorang anak berada pada jarak 32 meter dari kaki sebuah gedung. Ia melihat puncak gedung dan helicopter dengan sudut elevasi masing-masing 30° dan 45°. Hitunglah tinggi helicopter tersebut dari atas gedung.
Pembahasan
Ketinggian pesawat dari atas gedung adalah panjang CD.
Perhatikan segitiga ABC, BAC=30, maka:
tanBAC=BCABtan30=BC32133=BC32BC=3233
Selanjutnya, perhatikan segitiga ABD, BAD=45, maka:
tanBAD=BDABtan45=BD321=BD32BD=32 
Tinggi pesawat = BDBC, yaitu sebagai berikut.
CD=BDBCCD=323233CD=32(1133) 
Jadi, tinggi pesawat dari atas gedung 32(1133) meter.

Contoh 5
Tentukan nilai dari: sin60×cos30cos60×sin30
Pembahasan
sin60×cos30cos60×sin30=123×12312×12=3414=24=12

Contoh 6
Tentukan nilai dari: sin30tan30+cos30tan60sin45+cos45
Pembahasan
sin30tan30+cos30tan60sin45+cos45=12133+123122+122=11333=313

Demikianlah yang bisa penulis bagikan. Apabila ditemukan kesalahan dan keliruan segera dikomentari di kolom komentar agar dapat diperibaiki. Semoga bermanfaat.

Post a Comment

أحدث أقدم