Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku merupakam salah satu sub materi yang sangat penting dipahami dan dikuasai, supaya materi-materi trigonometri berikutnya mudah dipahami. Berikut ini penulis mencoba memaparkan secara sederhana materi tersebut.
Misalkan kita memiliki sebuah segitiga siku-siku seperti gambar berikut.
Segitiga siku-siku $ABC$ dengan sudut-sudut siku-sikunya ada di $B$ dan $\begin{align*}\angle BAC=\theta\end{align*}$ . Misalkan:
$AB=x$ yang selanjutnya kita sebut sebagai sisi samping $\theta$.
$BC=y$ yang selanjutnya kita sebut sebagai sisi di depan $\theta$.
$AC=r$ yang selanjutnya kita sebut sebagai sisi miring.
Perbandingan Trigonometri untuk sudut $\theta$ pada segitiga siku-siku $ABC$ di atas didefenisikan sebagai berikut:
$AB=x$ yang selanjutnya kita sebut sebagai sisi samping $\theta$.
$BC=y$ yang selanjutnya kita sebut sebagai sisi di depan $\theta$.
$AC=r$ yang selanjutnya kita sebut sebagai sisi miring.
Perbandingan Trigonometri untuk sudut $\theta$ pada segitiga siku-siku $ABC$ di atas didefenisikan sebagai berikut:
(a) $\textrm{sinus}\;\theta=\frac{\textrm{sisi depan }\theta}{\textrm{sisi miring}}=\frac{BC}{AC}=\frac{y}{r}$
(b) $\textrm{cosinus}\;\theta=\frac{\textrm{sisi samping }\theta}{\textrm{sisi miring}}=\frac{AB}{AC}=\frac{x}{r}$
(c) $\textrm{tangen}\;\theta=\frac{\textrm{sisi depan }\theta}{\textrm{sisi samping}\theta}=\frac{BC}{AB}=\frac{y}{x}$
(d) $\textrm{cosecan}\;\theta=\frac{\textrm{sisi miring}}{\textrm{sisi depan}\;\theta}=\frac{AC}{BC}=\frac{r}{y}$
(e) $\textrm{secan}\;\theta=\frac{\textrm{sisi miring}}{\textrm{sisi samping}\;\theta}=\frac{AC}{AB}=\frac{r}{x}$
(f) $\textrm{cotangen}\;\theta=\frac{\textrm{sisi samping}\;\theta}{\textrm{sisi depan}\;\theta}=\frac{AB}{BC}=\frac{x}{y}$
(b) $\textrm{cosinus}\;\theta=\frac{\textrm{sisi samping }\theta}{\textrm{sisi miring}}=\frac{AB}{AC}=\frac{x}{r}$
(c) $\textrm{tangen}\;\theta=\frac{\textrm{sisi depan }\theta}{\textrm{sisi samping}\theta}=\frac{BC}{AB}=\frac{y}{x}$
(d) $\textrm{cosecan}\;\theta=\frac{\textrm{sisi miring}}{\textrm{sisi depan}\;\theta}=\frac{AC}{BC}=\frac{r}{y}$
(e) $\textrm{secan}\;\theta=\frac{\textrm{sisi miring}}{\textrm{sisi samping}\;\theta}=\frac{AC}{AB}=\frac{r}{x}$
(f) $\textrm{cotangen}\;\theta=\frac{\textrm{sisi samping}\;\theta}{\textrm{sisi depan}\;\theta}=\frac{AB}{BC}=\frac{x}{y}$
Selanjutnya perhatikan uraian berikut.
Berdasarkan gambar tampak segitiga $ABC$ sebangun dengan segitiga $PQR$, sebab perbandingan sisi-sisi yang bersesuai sama, yaitu sebagai berikut.
- $\begin{align*}\frac{AB}{PQ}=\frac{8}{4}=2\end{align*}$
- $\begin{align*}\frac{BC}{QR}=\frac{6}{3}=2\end{align*}$
- $\begin{align*}\frac{AC}{PR}=\frac{10}{5}=2\end{align*}$
Dan salah satu sudut yang bersesuai sama besaar yaitu $\begin{align*}\angle BAC=\angle QPR=\theta \end{align*}$ . Selanjutnya akan kita lihat perbandingan sisi-sisi dari masing-masing kedua segitiga tersebut berdasarkan defenisi perbandingan trigonometri di atas, sebagai berikut.
Pada $\triangle ABC$, berlaku:
- $\begin{align*}\textrm{sin}\;\theta=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\end{align*}$
- $\begin{align*}\textrm{cos}\;\theta=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5} \end{align*}$
- $\begin{align*}\textrm{tan}\;\theta=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} \end{align*}$
Pada $\triangle PQR$, berlaku:
- $\begin{align*}\textrm{sin}\;\theta=\frac{QR}{PR}=\frac{4}{5}\end{align*}$
- $\begin{align*}\textrm{cos}\;\theta=\frac{PQ}{PR}=\frac{3}{5}\end{align*}$
- $\begin{align*}\textrm{tan}\;\theta=\frac{QR}{PQ}=\frac{3}{4}\end{align*}$
Berdasarkan uraian di atas, tampak bahwa nilai perbandingan sisi-sisi masing-masing kedua segitiga untuk suatu sudut tertentu bernilai sama, meskipun ukuran sisi-sisi kedua segitiga berbeda. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa :
Perbandingan trigonometri untuk suatu sudut pada segitiga siku-siku tidak bergantung pada panjang sisi-sisi segitiga tersebut, melainkan bergantung pada besar sudut.
Selanjutnya akan diberikan beberapa contoh soal mengenai perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku. Simak dan perhatikanlah.
Contoh 1
Perhatikan gambar berikut!
Pembahasan
Sisi di depan sudut $\theta$ adalah $BC$, dimana $BC=18$satuan.
Sisi di samping sudut $\theta$ adalah $AB$, dimana $AB=24$ satuan.
Sisi miring adalah $AC$ dimana $AC=30$ satuan.
Dengan demikian:
- \[\textrm{sin}\;\theta=\frac{BC}{AC}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}\]
- \[\textrm{cos}\;\theta=\frac{AB}{AC}=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}\]
- \[\textrm{tan}\;\theta=\frac{BC}{AB}=\frac{18}{24}=\frac{3}{4}\]
Contoh 2
Diketahui $\begin{align*}\textrm{cos}\;\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}$ . Tentukan nilai perbandingan trigonometri yang lainnya.
Pembahasan
Nilai perbandingan $\begin{align*}\textrm{cos}\;\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}$, yang berarti:
Sisi samping $=AB=\sqrt{3}$ dan sisi miring $=AC=2$, seperti tampak pada gambar $∆ABC$ berikut.
Sisi $BC$ dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras:
$\begin{align*}BC^{2}&=AC^{2}-AB^{2}\\ BC^{2}&=2^{2}-\left ( \sqrt{3} \right )^{2}\\ BC^{2}&=4-3\\ BC^{2}&=1\\ BC&=1 \end{align*}$
Dengan demikian, perbandingan trigonometri yang lain dapat ditentukan sebagai berikut:
- $\begin{align*}\textrm{sin}\;α=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}\end{align*}$
- $\begin{align*}\textrm{tan}\;\alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}\end{align*}$
- $\begin{align*}\textrm{csc}\;\alpha=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{1}=2\end{align*}$
- $\begin{align*}\textrm{sec}\;\alpha=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{3} \end{align*}$
- $\begin{align*}\textrm{cot}\;\alpha=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}\end{align*}$
Contoh 3
Pada gambar berikut:
Panjang sisi $PR=7$ cm dan $PQ=24$ cm. Jika $\angle PRQ=\alpha$, tentukan nilai $\textrm{sin}\;\alpha$ dan $\textrm{tan}\;\alpha$ .
Pada gambar berikut:
PembahasanSisi $QR$ dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras, sebagai berikut.
$\begin{align*} QR^{2}&=PR^{2}+PQ^{2}\\ QR^{2}&=7^{2}+24^{2}\\ QR^{2}&=49+576\\ QR^{2}&=625\\ QR&=\sqrt{625}\\ QR&=25 \end{align*}$
Dengan demikian:
$\begin{align*} \textrm{sin}\;\alpha=\frac{PQ}{QR}=\frac{24}{25} \end{align*}$
$\begin{align*} \textrm{tan}\;\alpha=\frac{PQ}{PR}=\frac{24}{7} \end{align*}$
Demikianlah uraian singkat mengenai perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku. Ternyata cukup gampang. Suatu materi akan mudah dipahami jika menguasai konsep dasarnya, dan selalu belajar dan berlatih mengerjakan soal secara rutin.
إرسال تعليق