Menentukan Rumus Suatu Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Fungsi Lainnya Diketahui

Baca Juga

Pada postingan sebelumnya telah dibahas mengenai bagaimana caranya mengkomposisikan dua buah fungsi menjadi fungsi komposisi disini. Seandainya ada pertanyaan seperti ini, "Bisa ga sih kita menentukan rumus suatu fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi lainnya diketahui?" Jawabannnya "tentu saja bisa". Perhatikan gambar ini.

Dari gambar itu, penjelesan sederhananya begini.

Jika fungsi $f(x)$ dan $(f\circ g)(x)$ pada soal diketahui, maka fungsi $g(x)$ dapat ditentukan.

Jika fungsi $f(x)$ dan $(g\circ f)(x)$ pada soal diketahui, maka fungsi $g(x)$ dapat ditentukan.

Begitu juga untuk dua kasus terakhir.

Nahh.. biar paham bacalah beberapa contoh soal berikut. eittt.. jangan cuma dibaca tetapi juga dipahami.

CONTOH SOAL 1

Diketahui $f(x)=x+2$ dan $f\circ g)(x)=3x-5$. Tentukanlah rumus $g(x)$.

PEMBAHASAN

$\begin{align*} \textrm{Diketahui}:\;f(x)&=x+2\\ (f\circ g)(x)&=3x-5\\ \textrm{Ditanya}:\;g(x)&=? \end{align*}$

Penyelesaian:

$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=3x-5\\ f(g(x))&=3x-5\\ g(x)+2&=3x-5\\ g(x)&=3x-5-2\\ g(x)&=3x-7 \end{align*}$ 

Jadi, rumus $g(x)=3x-7$

CONTOH SOAL 2

Suatu pemetaan $\begin{align*} f:R\rightarrow R,\;g:R\rightarrow R \end{align*}$  dengan $(g\circ f)(x)=2x^{2}+4x+5$ dan $g(x)=2x+3$, tentukan rumus $f(x)$.

PEMBAHASAN

$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=2x^{2}+4x+5\\ g(f(x))&=2x^{2}+4x+5\\ 2f(x)+{\color{Red} 3}&=2x^{2}+4x+5\\ 2f(x)&=2x^{2}+4x+5-{\color{Red} 3}\\ f(x)&=\frac{2x^{2}+4x+2}{2}\\ f(x)&=x^{2}+2x+1\\ \end{align*}$ 

Jadi, rumus $f(x)=x^{2}+2x+1$

CONTOH SOAL 3

Diketahui $\begin{align*} f:R\rightarrow R \end{align*}$  dan $\begin{align*} f:R\rightarrow R \end{align*}$ dinyatakan oleh $f(x)=x+2$ dan $(g\circ f)(x)=2x^{2}+4x+1$, maka tentukan $g(2x)$.

PEMBAHASAN

$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=2x^{2}+4x+1\\ g(f(x))&=2x^{2}+4x+1\\ g(x+2)&=2x^{2}+4x+1\\ \end{align*}$ 

Misalkan $x+2=y$ maka $\begin{align*} x={\color{Red} y}{\color{Red} -}{\color{Red} 2} \end{align*}$  sehingga:

$\begin{align*} g(y)&=2({\color{Red} y}{\color{Red} -}{\color{Red} 2})^{2}+4({\color{Red} y}{\color{Red} -}{\color{Red} 2})+1\\ g(y)&=2(y^{2}-4y+4)+4y-8+1\\ g(y)&=2y^{2}-8y+8+4y-7\\ g(y)&=2y^{2}-4y+1\\ g(x)&=2x^{2}-4x+1\\ g(2x)&=2(2x)^{2}-4(2x)+1\\ g(2x)&=8x^{2}-8x+1\\ \end{align*}$
Jadi, $g(2x)=8x^{2}-8x+1$

CONTOH SOAL 4

Diketahui fungsi $g(x)=2x-1$ dan $(f\circ g)(x)=4x^{2}+10x+11$. Tentukan nilai $f(-2)$.

PEMBAHASAN

$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=4x^{2}+10x+11\\ f(g(x))&=4x^{2}+10x+11\\ f(2x-1)&=4x^{2}+10x+11\\ \end{align*}$ 

Misalkan: $\begin{align*} 2x-1=y \end{align*}$, maka $\begin{align*} x=\frac{y+1}{2} \end{align*}$  sehingga:

$\begin{align*} f(y)&=4\left ( \frac{y+1}{2} \right )^{2}+10\left ( \frac{y+1}{2} \right )+11\\ f(y)&=4\left ( \frac{y^{2}+2y+1}{4} \right )+5y+5+11\\ f(y)&=y^{2}+2y+1+5y+16\\ f(y)&=y^{2}+7y+17\\ f(x)&=x^{2}+7x+17\\ f(-2)&=(-2)^{2}+7(-2)+17\\ f(-2)&=4-14+17\\ f(-2)&=7 \end{align*}$

Jadi, $f(-2)=7$.

CONTOH SOAL 5

Diketahui $(g\circ f)(x)=4x^{2}+4x$ dan $g(x)=x^{2}-1$. Tentukanlah nilai $f(x-2)$.

PEMBAHASAN

$\begin{align*} (g\circ f)(x)&=4x^{2}+4x\\ g(f(x))&=4x^{2}+4x\\ f^{2}(x)-1&=4x^{2}+4x\\ f^{2}(x)&=4x^{2}+4x+1\\ f(x)&=\sqrt{4x^{2}+4x+1}\\ f(x-2)&=\sqrt{4(x-2)^{2}+4(x-2)+1}\\ f(x-2)&=\sqrt{4(x^{2}-4x+4)+4x-8+1}\\ f(x-2)&=\sqrt{4x^{2}-16x+16+4x-7}\\ f(x-2)&=\sqrt{4x^{2}-12x+9}\\ f(x-2)&=\sqrt{(2x-3)^{2}}\\ f(x-2)&=2x-3 \end{align*}$

Jadi, $f(x-2)=2x-3$

CONTOH SOAL 6

UN 2017
Diketahui $f:\rightarrow R$ dan $g:\rightarrow R$ dengan $g(x)=-x+3$ dan $(f\circ g)(x)=4x^{2}-26x+32$,maka nilai $f(1)$ adalah ....
(A) $-5$
(B) $-4$
(C) $-3$
(D) $3$
(E) $4$

PEMBAHASAN

$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=4x^{2}-26x+32\\f(g(x))&=4x^{2}-26x+32\\f(-x+3)&=4x^{2}-26x+32\end{align*}$
Misalkan $-x+3=y$ maka $x=3-y$ sehingga:
$\begin{align*} f(y)&=4(3-y)^{2}-26(3-y)+32\\ f(y)&=4(9-6y+y^{2})-78+26y+32\\ (y)&=36-24y+4y^{2}+26y-46\\ f(y)&=4y^{2}+2y-10\\ f(x)&=4x^{2}+2x-10\\f(1)&=4(1)^{2}+2(1)-10\\ f(1)&=4+2-10\\ f(1)&=-4\end{align*}$
Jadi, $f(1)=-4$.

CONTOH SOAL 7

UN 2006
Jika $g(x)=x+3$ dan $(f\circ g)(x)=x^{2}-4$,maka $f(x-2)=....$
(A) $x^{2}-6x+5$
(B) $x^{2}+6x+5$
(C) $x^{2}-10x+21$
(D) $x^{2}-10x-21$
(E) $x^{2}+10x+21$

PEMBAHASAN

$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=x^{2}-4\\f(g(x))&=x^{2}-4\\f(x+3)&=x^{2}-4\end{align*}$

Misalkan: $x+3=m$ maka $x=m-3$ sehingga:
$\begin{align*}f(m)&=(m-3)^{2}-4\\f(m)&=m^{2}-6m+9-4\\f(m)&=m^{2}-6m+5\\f(x)&=x^{2}-6x+5\\f(x-2)&=(x-2)^{2}-6(x-2)+5\\f(x-2)&=x^{2}-10x+21\end{align*}$

CONTOH SOAL 8

Diketahui $f:R\rightarrow R$ didefenisikan sebagai $\begin{align*} (f\circ g)(x)=\frac{2x-3}{x+4} \end{align*}$, dengan $x\neq -4$ dan $g(x)=1-x$, maka $f(x)=....$

(A) $\begin{align*} \frac{1-x}{x+4},\;x\neq-4 \end{align*}$ 

(B) $\begin{align*} \frac{2x+1}{x-5},\;x\neq 5 \end{align*}$ 

(C) $\begin{align*} \frac{7-x}{x+4},\;x\neq-4 \end{align*}$

(D) $\begin{align*} \frac{2x-1}{x+5},\;x\neq-5\end{align*}$ 

(E) $\begin{align*} \frac{3x+1}{x+4},\;x\neq-4 \end{align*}$

PEMBAHASAN

$\begin{align*} (f\circ g)(x)&=\frac{2x-3}{x+4}\\ f(g(x))&=\frac{2x-3}{x+4}\\ f(1-x)&=\frac{2x-3}{x+4}\\ \end{align*}$ 

Misalkan $1-x=a$ maka $x=1-a$ sehingga:

$\begin{align*} f(1-x)&=\frac{2x-3}{x+4}\\ f(a)&=\frac{2(1-a)-3}{(1-a)+4}\\ f(a)&=\frac{-2a-1}{-a+5}\\ f(a)&=\frac{2a+1}{a-5}\\ f(x)&=\frac{2x+1}{x-5}\\ \end{align*}$ 

Jadi, $\begin{align*} f(x)&=\frac{2x+1}{x-5} \end{align*}$

Semoga uraian dari beberapa contoh soal di atas mudah dipahami dan memberi manfaat bagi yang memerlukan. Seperti biasa, jika ditemukan kesalahan jawaban atau pun kesalahan dalam penulisan, penulis harap segera dikomentari pada kolom komentar di bawah. Untuk soal tingkat lanjut, akan segera penulis terbitkan. Oleh karena itu, pantengin terus yang blog ini...:)