Menyusun Persamaan Kuadrat

Pada artikel sebelumnya penulis telah membahas tentang cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat $ax^{2}+bx+c=0$. Di artikel kali ini, adalah sebaliknya. Penulis akan memaparkan cara menyusun persamaan kuadrat.

Jika $p$ dan $q$ adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat tersebut ditentukan oleh rumus:

$x^{2}-(p+q)x+pq=0$

Agar lebih jelas, perhatikan beberapa contoh soal berikut.

Soal 1

Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya $2$ dan $3$.
Pembahasan.
Kita misalkan $p=2$, dan $q=3$, maka:
$\begin{align*}x^{2}-(p+q)x+pq&=0\\x^{2}-(2+3)x+(2)(3)&=0\\x^{2}-5x+2&=0\end{align*}$
Jadi, persamaan kuadrta yang akar-akarnya $2$ dan $3$ adalah $x^{2}-5x+6=0$.

Soal 2

Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\frac{-2}{3}$ dan $\frac{1}{2}$.
Pembahasan.
Misllkan $\begin{align*}p=-\frac{2}{3}\end{align*}$, dan $\begin{align*}q=\frac{1}{3}\end{align*}$, maka:
$\begin{align*}x^{2}-(p+q)x+pq&=0\\x^{2}-\left(-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}\right)x+\left(-\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{2}\right)&=0\\x^{2}-\left(-\frac{1}{6}\right)x-\frac{2}{6}&=0\\6x^{2}+x-2&=0\end{align*}$
Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya $-\frac{2}{3}$ dan $\frac{1}{2}$ adalah $6x^{2}+x-2=0$.

Soal 3

Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya $1+\sqrt{7}$ dan $1-\sqrt{7}$.
Pembahasan.
Misalkan $p=1+\sqrt{7}$, dan $q=1-\sqrt{7}$
$\begin{align*}p+q&=(1+\sqrt{7})+(1-\sqrt{7})=2\\pq&=(1+\sqrt{7})(1-\sqrt{7})=-6\end{align*}$
Dengan demikian;
$\begin{align*}x^{2}-(p+q)x+pq&=0\\x^{2}-(2)x+(-6)&=0\\x^{2}+2x+6&=0\end{align*}$
Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya $1+\sqrt{7}$ dan $1-\sqrt{7}$ adalah $x^{2}-2x-6=0$.

Soal 4

Tentukanlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\begin{align*}\frac{2+\sqrt{10}}{2}\end{align*}$ dan $\begin{align*}\frac{2-\sqrt{10}}{2}\end{align*}$
Pembahasan.
Misalkan $\begin{align*}p=\frac{2+\sqrt{10}}{2}\end{align*}$ dan $\begin{align*}q=\frac{2-\sqrt{10}}{2}\end{align*}$.
Selanjutnya;
$\begin{align*}p+q&=\left(\frac{2+\sqrt{10}}{2}\right)+\left(\frac{2-\sqrt{10}}{2}\right)=2\\pq&=\left(\frac{2+\sqrt{10}}{2}\right)\left(\frac{2-\sqrt{10}}{2}\right)=-\frac{3}{2}\end{align*}$
Dengan demikian;
$\begin{align*}x^{2}-(p+q)x+pq&=0\\x^{2}-(2)x+\left(-\frac{3}{2}\right)&=0\\x^{2}-2x-\frac{3}{2}&=0\\2x^{2}-4x-3&=0\end{align*}$

Baca Juga

Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya $\begin{align*}\frac{2+\sqrt{10}}{2}\end{align*}$ dan $\begin{align*}\frac{2-\sqrt{10}}{2}\end{align*}$ adalah $2x^{2}-4x-3=0$.

Dalam beberapa kasus, sering kali ditemukan soal terkait menyusun persamaan kuadrat yang mana akar-akarnya memiliki hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya. Soal-soal tersebut seringkali ditemukan pada soal ujian nasional atau pun soal tes masuk perguruan tinggi. Simaklah beberapa contoh soal berikut.

Soal 1

Soal UN 2007
Persamaan kuadrat $x^{2}-5x+6=0$ mempunyai akar-akar $x_{1}$ dan $x_{2}$. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_{1}-3$ dan $x_{2}-3$ adalah ....
A.  $x^{2}-2x=0$
B.  $x^{2}-2x+30=0$
C.  $x^{2}+x=0$
D.  $x^{2}+x -30=0$
E.  $x^{2}+x-10=0$
Pembahasan.
Cara pertama
Kita boleh terlebih dahulu menentukan akar-akar $x^{2}-5x+6=0$, sebagai berikut:
$\begin{align*}x^{2}-5x+6&=0\\(x-2)(x-3)&=0\\x=2\;\;\;\textrm{atau}\;\;&=3\end{align*}$
Selanjutnya, misalkan
$p=x_{1}-3=2-3=-1$
$q=x_{2}-3=3-3=0$
Maka persamaan kuadrat yang dimaksud adalah;
$\begin{align*}x^{2}-(p+q)x+pq&=0\\x^{2}-(-1)x+0&=0\\x^{2}+x&=0\end{align*}$

Cara Kedua
Cara lain dalam menyelesaikan tipe soal ini adalah dengan memanfaatkan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.
$\begin{align*}x_{1}+x_{2}&=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{1}=5\\x_{1}.x_{2}&=\frac{c}{a}=\frac{6}{1}=6\end{align*}$
Selanjutnya;
$\begin{align*}(x_{1}-3)+(x_{2}-3)&=x_{1}+x_{2}-6\\&=5-6\\&=-1\\(x_{1}-3)(x_{2}-3)&=x_{1}.x_{2}-3(x_{1}+x_{2})+9\\&=6-3(5)+9\\&=0\end{align*}$
Dengan demikian;
$\begin{align*}x^{2}-(p+q)x+pq&=0\\x^{2}-(-1)+0\\x^{2}+x&=0\end{align*}$
Jadi, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah $x^{2}+x=0$.

Soal 2

Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akat persamaan kuadrat $x^{2}-4x+3=0$, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya $x_{1}^{2}$ dan $x_{2}^{2}$ adalah ....
A.  $x^{2}+10x+9=0$
B.  $x^{2}-10x+9=0$
C.  $x^{2}+4x+3=0$
D.  $x^{2}+4x-3=0$
E.  $x^{2}-4x-9=0$
Pembahasan
$x_{1}$ dan $x_{2}$ adalah akar-akar persamaan $x^{2}-4x+3=0$, maka:
$\begin{align*}x_{1}+x_{2}&=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4\\x_{1}x_{2}&=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3\end{align*}$
Akan ditentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_{1}^{2}$ dan $x_{2}^{2}$, sebagai berikut.
$\begin{align*}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}&=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}.x_{2}\\&=(4)^{2}-2(3)\\&=10\end{align*}$
$\begin{align*}x_{1}^{2}.x_{2}^{2}&=(x_{1}.x_{2})^{2}\\&=(3)^{2}\\&=9\end{align*}$
Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah:
$\begin{align*}x^{2}-(10)x+(9)&=0\\x^{2}-10x+9&=0\end{align*}$

Soal 3

Persamaan kuadrat $-2x^{2}+3x-2=0$ akar-akarnya $α$ dan $β$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\begin{align*}\frac{2}{3α^{2}}\end{align*}$ dan $\begin{align*}\frac{2}{3β^{2}}\end{align*}$ adalah ....

Pembahasan
Dari persamaan kuadrat $-2x^{2}+3x-2=0$ diperoleh:
$\begin{align*}α+β&=\frac{3}{2}\\αβ&=1\\α^{2}+ β^{2}&=(α+β)^{2}-2αβ\\&=\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-2(1)\\&=\frac{9}{4}-2\\&=\frac{1}{4}\end{align*}$

Misalkan;
$\begin{align*}p=\frac{2}{3α^{2}}+\frac{2}{3β^{2}}&=\frac{6(α^{2}+β^{2})}{(3αβ)^{2}}\\&=\frac{6\left(\frac{1}{4}\right)}{(3.1)^{2}}\\&=\frac{39}{18}\end{align*}$
$\begin{align*}q=\left(\frac{2}{3α^{2}}    \right)\left(\frac{2}{3β^{2}}\right)&=\frac{4}{(3αβ)^{2}}\\&=\frac{4}{9}\end{align*}$
Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $\begin{align*}p=\frac{2}{3α^{2}}\end{align*}$ dan $\begin{align*}q=\frac{2}{3β^{2}}\end{align*}$ adalah:
$\begin{align*}x^{2}-(p+q)x+pq&=0\\x^{2}-\left(\frac{39}{18}\right)+\frac{4}{9}&=0\\18x^{2}-39x+8&=0\end{align*}$

Soal 4

Diketahui persamaan kuadrat $4x^{2}+5x-2=0$. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya dua akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui adalah ....
A. $x^{2}+5x+8=0$
B. $x^{2}-10x+6=0$
C. $2x^{2}+5x-4=0$
D. $2x^{2}+5x+4=0$
E. $2x^{2}+10x+4=0$

Pembahasan
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat $4x^{2}+5x-2=0$ adalah $m$ dan $n$.

$\begin{align*}m+n&=-\frac{5}{4}\\mn&=-\frac{1}{2}\end{align*}$

Pada soal disebutkan bahwa persamaan kuadrat baru akar-akarnya dua kali akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui. Dengan demikian akar-akar persamaan kuadrat baru yang dimaksud adalah $2m$ dan $2n$.

$\begin{align*}2m+2n&=2(m+n)\\&=2\left(-\frac{5}{4}\right)\\&=-\frac{5}{2}\\(2m)(2n)&=4mn\\&=4\left(-\frac{1}{2}\right)\\&=2\end{align*}$

Persamaan kuadrat yang dimaksud sebagai berikut.

$\begin{align*}x^{2}-(2m+2n)x+(2m)(2n)&=0\\x^{2}-\left(-\frac{5}{2}\right)x+2&=0\\2x^{2}+5x+4&=0\end{align*}$