Dalam matematika, lingkaran didefenisikan sebagai himpunan semua titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan dengan pusat lingkaran, sedangkan jarak tersebut dinamakan dengan jari-jari lingkaran.
Lingkaran bukan lagi istilah asing bagi anak-anak sekolah karena pada setiap jenjang pasti menemukan materi terkait lingkaran. Dalam tulisan ini, akan dibahas mengenai lingkaran secara analitik yang lebih dikhususkan bagi anak-anak SMA.
1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat di Titik O(0,0)
Perhatikan gambar berikut!
Gambar di atas menunjukkan sebuah lingkaran dengan titik pusat O(0,0) berjari-jari r dan titik P(x,y) terletak pada lingkaran, serta Q adalah proyeksi titik P pada sumbu X. Akibatnya △OPQ adalah segitiga siku-siku dengan siku-siku di titik Q. Dengan memanfaatkan teorema pythagoras kita peroleh:
OQ2+PQ2=r2(x−0)2+(y−0)2=r2x2+y2=r2
Dengan demikian, dapat disimpulkan:
Persamaan lingkaran dengan titik pusat O(0,0) dan berjari-jari r adalah:
x2+y2=r2
x2+y2=r2
Sekarang, kita perhatikan contoh soal berikut.
Soal 1
Tentukkan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari 5 satuan.
Jawab
Tentukkan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari 5 satuan.
Jawab
x2+y2=r2x2+y2=52x2+y2=25
Jadi, persamaan lingkaran dengan titik pusat O(0,0) dengan jari-jari 5 satuan adalah x2+y2=25
Soal 2
Tentukkan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari √3 satuan.
Jawab
Tentukkan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan berjari-jari √3 satuan.
Jawab
x2+y2=r2x2+y2=(√3)2x2+y2=3
Jadi, persamaan lingkaran dengan titik pusat O(0,0) dengan jari-jari √3 satuan adalah x2+y2=3
Soal 3
Tentukan jari-jari dan diameter lingkaran 4x2+4y2=1.
Jawab
Tentukan jari-jari dan diameter lingkaran 4x2+4y2=1.
Jawab
4x2+4y2=1x2+y2=14r2=14r2=(12)2r=12
Jadi:r=12satuanD=1satuan
2. Persamaan Lingkaran dengan Titik Pusat di P(a,b) dan berjari-jari r.
Perhatikan gambar berikut!
Gambar di atas menunjukkan sebuah lingkaran dengan titik pusat A(a,b), dan titik P(x,y) terletak pada lingkaran. Titik Q merupakan proyeksi titik P pada garis y=b, akibatnya terbentuk segitiga siku-siku AQP dengan siku-siku di Q. Perhatikan △AQP, dimana AQ=(x−a), PQ=(y−b), dan AP=r, sehingga dengan memanfaatkan teorema pythagoras pada segitiga tersebut diperoleh:
Perhatikan contoh soal berikut.
AQ2+PQ2=AP2(x−a)2+(y−b)2=r2
Oleh karena P sembarang titik pada lingkaran maka persamaan tersebut berlaku untuk setiap titik yang terletak pada lingkaran. Dari uraian tersebut, dapat dibuat kesimpulan sebagai berikut.
Persamaan lingkaran dengan titik pusat A(a,b) dan berjari-jari r adalah:
(x−a)2+(y−b)2=r2Perhatikan contoh soal berikut.
Soal 1
Tentukkan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,3) dan berjari-jari 5 satuan.
Jawab
Tentukkan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,3) dan berjari-jari 5 satuan.
Jawab
Misalkan titik pusat A(2,3) dan r=5
(x−a)2+(y−b)2=r2(x−2)2+(y−3)2=52(x2−4x+4)+(y2−6y+9)=25x2+y2−4x−6y−16=0
Jadi, persamaan lingkaran dengan titik pusat (2,3) dengan jari-jari 5 satuan adalah x2+y2−4x−6y−16=0
Demikianlah uraian materi pada kesempatan kali ini. Apabila dalam uraian materi ini ditemukan kesalahan dalam pembahasannya,segera dikomentari di kolom komentar di bawah ini. Semoga bermanfaat.
Salam Matematika....
إرسال تعليق